山东省淄博市淄川区实验中学高二数学理上学期期末试卷含解析

山东省淄博市淄川区实验中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2

B．4 C．6 D．4参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．【解答】解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．2.复数等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.下列命题错误的是（） A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0” B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．命题“?x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件 参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑． 【分析】A．根据否命题的定义进行判断． B．根据复合命题的真假关系进行判断． C．根据含有量词的命题的否定进行判断． D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”，正确， B．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误， C．命题“?x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，正确， D．由＜得x＞2或x＜0，即“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，正确， 故选：B 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大． 4.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是（ ）A.12 B.24 C.48 D.56参考答案：C根据题意可知，第1,3组的频数为6,18，前3组的频率和为，所以抽取的学生总人数为，故选C.

5.已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，试求：

（I）直线AB的方程；

（II）椭圆C2的方程.参考答案：（I）由e=，得=，a2=2c2,b2=c2。

...........2分

设椭圆方程为+=1。又设A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。

又+=1，+=1，两式相减，得+=0。

∴

...........5分

∴直线AB的方程为y－1=－(x－2)，即y=－x+3。

...........6分（II）将y=－x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0。

...........8分由|AB|=|x1－x2|==,得·=。解得

b2=8，

...........11分故所求椭圆方程为+=1

...........12分略6.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1参考答案：B【分析】根据复数为纯虚数的概念，得到复数的实部为0，并且虚部不为0求出m．【详解】因为复数z=m（m+1）+（m2－1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以，解得m=0；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．7.在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（）A． B． C．D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h，∵，，∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，∴=．∴=．故选：D．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．8.在下列区间中，函数的零点所在的区间为A. B. C. D.参考答案：C9..“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为（

）A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形参考答案：B【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提.【详解】∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，

∴大前提一定是矩形的对角线相等.故选B.【点睛】本题考查用三段论形式推导一个命题成立，是常见的考查形式，三段论中所包含的三部分，每一部分都可以作为考查的内容，属于基础题10.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）A．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：在A中：“至少有一个黑球”和“没有黑球”既不能同时发生，也不能同时不发生，故这两个事件是对立事件，故A错误；在B中：“至少有一个白球”和“至少有一个红球”能够同时发生，故这两个事件不是互斥事件，故B错误；在C中：“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”不能同时发生，但能同时不发生，故这两个事件是互斥而不对立的事件，故C正确；在D中：“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”能够同时发生，故这两个事件不是互斥事件，故D错误．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}通项公式为an=

．参考答案：6n﹣4【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为sn，由已知可得，可求得sn，再利用an=sn﹣sn﹣1求得通项【解答】解：设数列{an}的前n项和为sn，由已知可得，∴，当n≥2时，；当n=1时，a1=s1=2适合上式，∴an=6n﹣4．故答案为：6n﹣4【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，利用an与Sn的关系是解决本题的关键，属于基础题．12.已知抛物线的准线方程为，则____________．参考答案：略13.母线长为1的圆锥的侧面积为，则此圆锥展开图的中心角为

▲

参考答案：14.若三角形内切圆的半径为，三边长为,,，则三角形的面积等于根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分是,,，则四面体的体积______________.参考答案：略15.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1参考答案：D【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得等差数列{an}的前三项为0，1，2或2，1，0，由此能求出该数列的第四项．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，∴等差数列{an}的前三项为0，1，2或2，1，0，∴该数列的第四项为3或﹣1．故选：D．16.设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___

__.w.参考答案：17.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分)已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.(1)求四棱锥的体积；

(2)是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；参考答案：解：(1)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且.………………3′..

∴,即四棱锥的体积为….7′

(2)不论点在何位置，都有.

证明如下：连结，∵是正方形，∴.

∵底面，且平面，∴.

又∵，∴平面.

∵不论点在何位置，都有平面.

-∴不论点在何位置，都有.

……14′19.已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.（1）求椭圆的标准方程；（2）求m的取值范围.（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.参考答案：解：（1）依题意可得解得

从而所求椭圆方程为…4分（2）直线的方程为由可得该方程的判别式△=＞0恒成立.设则………………5分可得设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分线段PQ的垂直平分线方程为 令，由题意………………7分 又，所以0＜＜…………………8分

（3）点M到直线的距离

于是

由可得代入上式，得即＜＜.…………10分设则而＞00＜m＜＜0＜m＜所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值……11分所以当时，△MPQ的面积S有最大值…12分略20.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形,,对角线与交于点,底面.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.参考答案：(Ⅰ)证明

在等腰梯形中,知,

又,所以,故,

即,又底面,得,

且,所以面,即.………5分(Ⅱ)由,

于是,得.法一

由两两垂直,故以为原点,

分别以为轴建系如图;

则,

,

设平面的法向量为,则由

得,令,得,即

同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,

则,又,故.……………12分

法二

过点作于点,连接,则

由知面,

所以(三垂线定理)

所以为二面角的平面角.

由等面积知,故,,由余弦定理有,即,即求.21.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程.(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.参考答案：(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根据题意,得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.略22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形