山西省太原市古交第三中学高二数学理测试题含解析

山西省太原市古交第三中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆x2+y2?4x+6y+3=0的圆心坐标是

(A)(2,3)

(B)(?2,3)

(C)(2,?3)

(D)(??2,?3)参考答案：C2.下列函数中有2个零点的是

A、

B、

C、

D、参考答案：A3.函数在区间[－1，1]上的最大值是（

）A.4 B.2 C.0 D.－2参考答案：B【分析】先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.4.等差数列中，且，是数列的前n项的和，则下列正确的是(

)A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0

B.S1,S2,…S5均小于0,S6,S7…均大于0

C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0

D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0

参考答案：C略5.设是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则参考答案：C试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.6.设椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点(,0)分成3:1的两段，则此椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：C7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与另外的四个面都相交．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．8.设集合，A={1,3,5,7,8}，B={2,4,6,8}，则（

）A.{2,4,6,7} B.{2,4,5,9}C.{2,4,6,8} D.{2,4,6}参考答案：D【分析】先求出,再求得解.【详解】由题得，所以=.故选：D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.9.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．10.下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（）A．=（﹣2，3） B．=（2，﹣3） C．=（3，﹣2） D．=（﹣3，﹣2）参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由=﹣4+9=5，=4﹣9=﹣5，=6﹣6=0，=﹣6﹣6=﹣12，能求出与向量=（2，3）垂直的向量．【解答】解：∵=﹣4+9=5，=4﹣9=﹣5，=6﹣6=0，=﹣6﹣6=﹣12，∴与向量=（2，3）垂直的是．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件.附：若，则，.参考答案：3413【分析】可以根据服从正态分布，可以知道，根据，可以求出，再根据对称性可以求出，最后可以估计出质量在区间内的产品的数量.【详解】解:，，质量在区间内的产品估计有件.【点睛】本题考查了正态分布，正确熟悉掌握正态分布的特点以及原则是解题的关键.12.已知P(－2，－2)，Q(0，－1)，取一点R(2，m)，使|PR|＋|RQ|最小，则m＝________.参考答案：－13.过抛物线的焦点，方向向量为的直线方程是▲．参考答案：略14.已知抛物线焦点为F,,P为抛物线上的点,则的最小值为参考答案：315.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n

≥

1),则a5=

参考答案：256，略16.若正数a，b满足+=1，则+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，则+=+=+4（a﹣1）≥2=4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．∴+的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．17.从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_____________参考答案：60【分析】首先要分有0和没有0进行考虑，由于最后是奇数，所以有0时，0只能在中间，没有0时，偶数只能在前两位，然后分别求解即可.【详解】解：分两类考虑，第1类：有0，0只能排中间，共有种；第2类：没有0，且偶数只能放在前两位，共有；所以总共有12+48=60种故答案为：60.【点睛】本题主要考查计数原理的运用，采用先取后排的原则，排列时要注意特殊优先.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x﹣1）+f（x+3）=，利用一次函数的单调性可求f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集；（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（），只需证证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，再作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x﹣1）+f（x+3）=|x﹣2|+|x+2|=，当x＜﹣2时，由﹣2x≥6，解得x≤﹣3；当﹣2≤x≤2时，f（x）=4≥6不成立；当x＞2时，由2x≥6，解得x≥3．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集为{x|x≤﹣3，或x≥3}．

（Ⅱ）证明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，∴要证f（ab）＞|a|f（），只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，b2﹣1）＞0显然成立，19.（本题满分10分）如图,AD是外角的平分线,与的外接圆交于点D,N为BC延长线上一点,交的外接圆于点.求证:

(1)DB=DC;(2).参考答案：证明:(1),而与是同弧上的圆周角,即.又A、B、C、D四点共圆,.,(2)连接CM.B,C,M,D四点共圆,.由(1)知,.又∽..略20.已知复数z1=sinx+λi，z2=（sinx+cosx）-i（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=i?z2，且x∈(0,)，求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，且⊥，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+cosx）i，又λ，x∈R，∴，又，故x=，λ=1．（2）由，可得sinx（sinx+cosx）﹣λ=0，又λ=f（x），故f（x）==+，故f（x）的最小正周期T=π，又由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），可得kπ+≤x≤kπ+，故f（x）的单调递减区间为，（k∈Z）．21.如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，T为抛物线的准线与x轴的交点.（1）若，求直线l的斜率；（2）求的最大值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）设直线：，，联立直线方程和抛物线方程消元后得到，利用韦达定理化简可得.（2），利用点在抛物线上可得与的函数关系式，由基本不等式可得的最大值从而得到的最大值.【详解】（1）因为抛物线的焦点为，.当轴时，，，此时，与矛盾，所以可设直线的方程为，，代入，得，则，，①所以，所以.②因为，所以，将①②代入并整理得，，所以.（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以的最大值为.【点睛】当直线与抛物线相交时，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，点在上，且.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面.参考答案：（1）以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则，，

--------2分∴，.∵平面∴为平面的法向量，，