浙江省嘉兴市嘉善县陶庄中学高二数学理期末试题含解析

浙江省嘉兴市嘉善县陶庄中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把边长为a的正△ABC沿BC边上的高线AD折成60°的二面角,则点A到BC的距离是(

)A.a B. C. D.参考答案：D【分析】取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.【详解】取中点，连接，如下图所示：为边上的高

，即为二面角的平面角，即且平面正三角形

为正三角形又为中点

平面

，

平面又平面

即为点到的距离又，

本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.2.已知等差数列{an}中，a2=2，a4=6，则前4项的和S4等于（）A．8 B．10 C．12 D．14参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件先求出等差数列的首项和公式，求出前4项的和S4．【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a4=6，∴，解得a1=0，d=2，∴．故选：C．3.已知直线和，若∥，则的值为

(

)A.1或

B.1

C.

D.

参考答案：B4.设F为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A，B两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：C【分析】由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．【解答】解：不妨设OA的倾斜角为锐角，∵a＞b＞0，即0＜＜1，∴渐近线l1的倾斜角为（0，），∴==e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，∵2|AB|=|OA|+|OB|，OA⊥AB，∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=2（|OB|﹣|OA|）?|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∴|OB|﹣|OA|=|AB|，又|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴在直角△OAB中，tan∠AOB==，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（∠AOB），∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴==e2﹣1=，∴e2=，∴e=．故选：C．5.已知（其中i为虚数单位），则的虚部为(

)A.－i B.－1 C.1 D.2参考答案：B【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.【详解】因为,所以，故的虚部为－1，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，则的前10项和为A． B．

C．90

D．110参考答案：D7.如果直线与直线平行，则系数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知随机变量X服从二项分布.若，，则p=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解．【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).又E(X)=2,，所以np=2，np(1?p)=，解得：p=，故选：C.【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.9.设集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】数列{an}满足an+1=，a1=，可得an+3=an．即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a1=，∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…，∴an+3=an．则a2017=a672×3+1=．故选：D．【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．参考答案：充分不必要考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出?p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题?p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p?q为真且q?￢p为假命题，即?p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．12.已知圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则

。参考答案：113.如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为

.参考答案：略14.若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为_______。参考答案：15.∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若已知∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，则OC与平面α所成的角的余弦值等于________．

参考答案：【考点】直线与平面所成的角【解答】解：如图所示，

设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，

H为P在平面α上的射影，

∵∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，

∴OH平分∠AOB，

∴∠POH为OC与平面α所成的角，

∴cos∠POH=====．

故答案为：．

【分析】设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面α上的射影，由已知条件推导出POH为OC与平面α所成的角，由此能求出结果．

16.“若或，则”的逆否命题是

.参考答案：若，则且17.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，问锅炉的底面直径与高的比为多少时，造价最低？参考答案：底面与直径的比为b:a时，造价最低.19.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该企业的职工对该部门评分的平均值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知在[40，50）内的人数为2人，在[50，60）内的人数为3人，由此能求出此2人评分都在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，∴a=0.006．估计该企业的职工对该部门评分的平均值：=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在[40，50）内的人数为0.004×40×50=2（人），在[50，60）内的人数为0.006×10×50=3（人），设[40，50）内的两人分别为a1，a2，[50，60）内的三人为A1，A2，A3．则从[40，60）的受访职工中随机抽取2人，基本事件有（a1，a2），（a1，A1），（a1，A2），（a1，A3），（a2，A1），（a2，A2），（a2，A3），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共10种，其中2人评分都在[40，50）内的基本事件有（a1，a2）共1种，所求的概率为p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）=c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求出a，根据函数过（1，0）点，求出b，即可求出函数f（x）的解析式；（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；（3）构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为f′（x）=3x2+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，即3+2a=﹣3，所以a=﹣3；又因为函数过（1，0）点，即﹣2+b=0，所以b=2，所以f（x）=x3﹣3x2+2（2）由f（x）=x3﹣3x2+2，f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，可得f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）max=f（0）=2，f（x）min=f（t）=t3﹣3t2+2；②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：x0（0，2）2（2，t）tf′（x）0﹣0++f（x）2递减﹣2递增t3﹣3t2+2f（x）min=f（2）=﹣2，f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个，f（t）﹣f（0）=t3﹣3t2=t2（t﹣3）＜0，所以f（x）max=f（0）=2，综上，函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是﹣2．（3）令g（x）=f（x）﹣c=x3﹣3x2+2﹣c，g′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．在x∈上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在上恰有两个相异的实根，则，解得﹣2＜c≤0．21.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。（Ⅰ）证明AD⊥D1F;（Ⅱ）求AE与D1F所成的角.

参考答案：（2）略22.国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：

支持不支持合计中老年组50中青年组50合计

100（1）根据以上信息完成2×2列联表；（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：