高三数学第一学期第一次月考模拟卷（解析版）

高三数学第一学期第一次月考模拟卷一、单选题1．（2023秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用并集的运算求解即可.【详解】，，．故选：C．2．（2023·广东梅州·统考三模）复数满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用复数除法求出复数，再利用模长公式求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：C3．（2023秋·广东东莞·高二东莞市光明中学校考阶段练习）若函数的大致图像是A． B．C． D．【答案】D【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．【详解】，在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0，只有符合，故答案为【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于基础题．4．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．5．（2023春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列{}满足，，则称数列为斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用换得到数列{}，在数列{}的前10项中任取3项，则这3项之和为1的不同取法有（

）A．60种 B．63种 C．35种 D．100种【答案】B【分析】根据条件得到数列的前10项中，有7项为1，3项为，再结合组合的定义，即可求解.【详解】由题意得：数列中各项依次为奇数､奇数､偶数､奇数､奇数､偶数､，所以数列的前10项中，有7项为1，3项为，若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为的项，所以不同的取法种数为，故选：B.6．（2023秋·广东深圳·高三深圳市宝安第一外国语学校校考阶段练习）已知函数（且）过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先已知条件结三角函数的定义求得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可【详解】解：因为函数（且）过定点，而角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，所以，则.故选：B【点睛】此题考查任意角的三角函数定义，诱导公式，同角三角函数间的关系等知识，考查计算能力，属于基础题7．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知点是双曲线的右焦点，点是双曲线上位于第一象限内的一点，且与轴垂直，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的方程可得点坐标及渐近线方程，进而求得点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由双曲线方程可得，点坐标为，将代入双曲线方程，得，由于点在第一象限，所以点坐标为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，点到双曲线的渐近线的距离为．因为是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．故选：B．8．（2023·广东东莞·校考模拟预测）中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义图象能够将圆（为坐标原点）的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“太极函数”；③函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数是“太极函数”的充要条件为的图象是中心对称图形．其中正确结论的序号是（

）A．①② B．①②④ C．①③ D．①④【答案】A【分析】根据“太极函数”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，①正确.②，，所以的定义域为，，所以是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，，所以在上递减，画出大致图象如下图所示，由图可知，是太极函数，②正确.③，函数，的定义域为，，所以是偶函数，图象关于轴对称，所以函数不是某个圆的太极函数.④，是奇函数，图象关于原点对称，但不是太极函数，如图所示，所以④错误.所以正确的为①②.故选：A二、多选题9．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（

）

A．图中的值为0.020 B．这组数据的第80百分位数约为86.67C．这组数据平均数的估计值为82 D．这组数据中位数的估计值为75【答案】AB【分析】对于A选项，由频率直方图的各组频率之和等于，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，由百分位数的定义计算即可；对于C选项，频率分布直方图中，数据平均数的估计值等于各组区间中点值乘各组对应的频率之和；对于D选项，先计算中位数所在区间，再利用中位数对应频率为即可求解.【详解】由频率之和为1得：，解得：，A正确；前三个矩形面积和为0.6，前四个矩形面积和为0.9，所以这组数据的第80百分位数约为，故B正确；这组数据平均数的估计值为，C不正确；由频率分布直方图可知，的频率为，的频率为，则中位数在内，所以这组数据中位数的估计值为，所以D不正确；故选：AB10．（2023秋·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．是两个相等的集合B．命题：“至少有一个实数，使”，既是存在量词命题又是真命题C．命题：“若，则”，可以判断是的一个必要不充分条件D．函数的最小值为2【答案】BCD【分析】逐项判断每个选项的正误进行判断.【详解】对于A，且，所以P，Q两个集合不相等，A错误；对于B，存在，使，故既是存在量词命题又是真命题，B正确；对于C，p推断不出q，q能推断出p，所以p是q的必要不充分条件，C正确；对于D，，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，D正确.故选：BCD.11．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（

）A． B．－11是数列中的项C．数列的前n项和 D．数列的前7项和最大【答案】ABD【分析】计算得到，，计算通项公式得到A正确，验证得到B正确，计算得到C错误，根据，得到D正确，得到答案.【详解】，，，解得，，对选项A：，正确；对选项B：取，，正确；对选项C：，错误；对选项D：，，，故数列的前7项和最大，正确.故选：ABD12．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）定义在R上的函数满足，当时，，则函数满足（

）A． B．是奇函数C．在上有最大值 D．的解集为【答案】ABD【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D.【详解】令，则，故，A正确；令，则，即，故函数为奇函数，B正确；设，则，由题意可得，即，即，故函数为R上的减函数，∴在上的最大值为，C错误；等价于，又为R上的减函数，故，解得，即的解集为，D正确.故选：ABD三、填空题13．（2023春·广东深圳·高二校考期中）二项式展开式中的常数项为（用数字作答）．【答案】/【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以二项式展开式中的常数项为.故答案为：14．（2023春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）已知，，则在方向上的投影向量的坐标为.【答案】【分析】利用投影向量的定义化简即可求解.【详解】解：由题意可知，又因为，所以在方向上的投影向量为.故答案为：15．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数=.①若，则；②；③当时，【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数性质，写出满足要求的对数函数即可.【详解】，满足，的定义域为，且，当时，，恒成立.故答案为：16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为.【答案】【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可.【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，设圆半径为是球心，因为，，由余弦定理得，因为，则，所以，所以由正弦定理得，则，则，，平面，平面，则，所以，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，此时棱锥的高为，，所以棱锥体积为.故答案为：.四、解答题17．（2023春·广东汕头·高一金山中学校考阶段练习）已知在中，，，.(1)求；(2)求的面积S.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系求出，结合诱导公式和两角和的余弦公式即可求出结果；(2)根据正弦定理求出，，结合三角形的面积公式计算即可.（1）由，所以所以；（2）由(1)知，，所以，在中利用正弦定理可得：得，，所以.18．（2023春·广东汕头·高二校考期中）数列满足.(1)求证：是等比数列；(2)若，求的前项和为.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据对数的运算和等比数列的定义证明；（2）利用分组求和以及错位相减法求和.【详解】（1）所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，，所以，设设其前项和为，则①②减②得所以所以19．（2023春·广东深圳·高二校考期中）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直；（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以，又因为，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为正方形，所以，故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为，，所以，，因为平面，，所以平面，（2）由（1）可知：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，设平面与平面夹角为，故，故平面与平面夹角的余弦值为.20．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．(1)若乙得6分的概率，求；(2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？【答案】(1)(2)甲获胜的可能性大【分析】（1）求出乙得6分的概率，从而得到方程，求出；（2）设为甲累计获得的分数，则，从而求出期望值，设为乙累计获得的分数，得到的可能取值及相应的概率，求出分布列，得到期望值，比较后得到结论.【详解】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，其概率为，又，故，解得；（2）设为甲累计获得的分数，则，所以，设为乙累计获得的分数，则的可能取值为0，2，4，6，8，10，，，，，，，所以的分布列为：0所以，因为，所以甲获胜的可能性大21．（2023秋·广东深圳·高二红岭中学校考期末）已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1，为双曲线上任意一点（），过点的直线与圆相切于两点(1)求双曲线的标准方程(2)求点所在的直线方程(3)双曲线是否存在点，，使得的面积最大，若存在求出点的坐标，及的最大面积，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)，(3)存在点，使得面积最大，最大面积为.【分析】（1）求出渐近线，结合离心率及得到方程组，求出，，得到双曲线方程；（2）由几何性质得到四点共圆，且为直径，从而求出所在圆的方程，与圆联立得到所在的直线方程；（3）求出点到的距离，由垂径定理得，表达出的面积，由基本不等式求出面积的最大值及此时点坐标.【详解】（1）由题意得：焦点坐标为，，渐近线方程为，则焦点到渐近线距离为，又，故，解得：，所以双曲线标准方程为；（2）由题意得：，，设，，则，，因为⊥，⊥，所以四点共圆，且为直径，故所在圆的圆心坐标为，直径为，则所在圆的方程为，整理得：，圆与相交弦所在直线即为点所在的直线方程，联立得：，故点所在的直线方程为，；（3）因为，，故，点到的距离为，由垂径定理得：，故，由基本不等式得：，则，当且仅当，即时，等号成立，故的面积最大值为，此时，故点坐标为.【点睛】过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.过椭圆上一点的切线方程为，过双曲线上一点的切线方程为22．（2023春·广东清远·高二统考期末）已知函数.(1)若，求的图象在处的切线方程;(2)若有两个极值点，证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）对求导，求出，再由导数的几何意义求解即可；（2）根据给定条件可得有两个不相等的正实数根，转化为有两个不相等