高中数学考试压轴题讲义-动点轨迹成曲线坐标关系是关键（含答案）

专题2动点轨迹成曲线，坐标关系是关键

【题型综述】

1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：

(1)直译法：一般步骤为：①建系，建立适当的坐标系；②设点，设轨迹上的任一点P(x,y);③列式，列出动

点P所礴尺的关系式；④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，

并化简；⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)代入法(相关点法)：动点P(无，y)依赖于另一动点。(尤o,yo)的变化而变化，并且。(尤o,yo)又在某已知曲线

上，则可先用x,y的代数式表示尤o,州，再将电，涧代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(4)参数法：当动点尸(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将无，y均用一

中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

2.解轨迹问题注意：

(1)求点的•轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、

位置、大小等.

(2)要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程

解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

【典例指引】

类型一代点法求轨迹方程

例112017课标n,理】设。为坐标原点，动点M在椭圆C：—+y2=l±,过M作x轴的垂线，垂足

2

为M点P满足=

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x=-3上，且OPPQ=1。证明：过点P且垂直于。。的直线/过C的左焦点凡

【解析】

类型二定义法求轨迹方程

例2.1201-6高考新课标1卷】设圆12+,2+2%—15=0的圆心为4直线/过点8(1,0)且与无轴不重合,/

交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(-D证明|E4|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(II)设点E的轨迹为曲线G,直线/交Ci于MN两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边

形面积的取值范围.

【解析】

类型三参数法求轨迹方程

例3[2016高考新课标in文数]已知抛物线C：=2x的焦点为歹，平行于x轴的两条直线分别交C于

A3两点，交C的准线于P，。两点.

(I)若R在线段上，R是尸。的中点，证明AR//RQ；

(II)若APQE的面积是AA3R的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【解析】

类型四直译法求轨迹方程

例4.已知动圆c过点。。,0),且在y轴上截得的弦长为2.

(I)求圆心c的轨迹方程;

11

(II)过点。(1,0)的直线/交轨迹C于两点，证明:-----------1-----------

例Z以「为定值，并求出

这个定值.

【解析】

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题

涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、

定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

【扩展链接】

1.若一个圆G内含于另一个圆。2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦

点，其长轴长为两圆半径之和；

2.在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的

半径。

3.过两点的两条直线的斜率之积为一负常数加的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，

两定点间的距离为长轴长。（-1（加＜0时，焦点在X轴上；当加＜-1时，焦点在y轴上）

4.将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的加倍，该圆变成椭圆；

5.连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方

椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

6.两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点

向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

【新题展示】

1.12019河南郑州一模（节选）】设M点为圆c：x2+y2=4上的动点，点M在x轴上的投影为N,动点P满足

2PN=7^MN,动点P的轨迹为E.

（I）求E的方程;

【思路引导】

（I）设尸（x,y）,M（xo,yo）,由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；

22

2.12019四川绵阳二诊】己知椭圆C：++上二1的左右焦点分别为Fi,F2,直线1：y=kx+m与椭圆C交

84

于A,B两点.O为坐标原点.

（1）若直线1过点Fi,且IAF2I十IBF2I=吧2求直线1的方程；

3

（2）若以AB为直径的圆过点。，点P是线段AB上的点，满足OPLAB,求点P的轨迹方程.

【思路引导】

⑴设4（尤1,力），2（尤2,”）.联立12V=?+2）'整理得（1+2公）炉+8入+8q一8=0.根据弦长公式四|=峡,

"（x+2y-8=0,3

1+k22

代入整理得-----=-，解得k=±l.得到直线/的方程.

l+2k23

v—kx+m,

22'整理得（2N+l）N+4左mx+2M2-8=0.结

!x+2y-8=0,

-_8

合韦达定理及条件OA-OB二0,整理得3根2=8N+8.从而有|0尸F=-（定值），得到点尸的轨迹是圆，且去掉

3

圆与x轴的交点.写出点尸的轨迹方程即可.

3.12019安徽江南十校第二次联考】已知两个定点A（T,0），B（2,0）,动点P（x,y）到点A的距离是它到点B距离

的2倍.

(1)求P点的轨迹E；

(2)若过点C(l,l)作轨迹E的切线，求此切线的方程.

【思路引导】

(1)利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E的方程.(2)由于轨迹E是圆，故设切线方程为点

斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意,

由此求得题目所求的切线方程，有两条.

411

4.12019湖北黄冈、华师附中等八校联考(节选)】已知点F(4,0),H(—,0),△ABC的两顶点A(-2,0),B(一,0),

82

且点C满足|CA|=2|CB|

(1)求动点C的轨迹方程；

⑵设J=(5,0),，=(0,3),0c'=(>6c,b-6c)，求动点C’的轨迹方程；

【思路引导】

(1)设出C点的坐标，代入|CA|=2|CB|,化简后求得动点C的轨迹方程.(2)设出c'点的坐标，利用向量相等

列方程，转化为C的坐标，代入(1)中的方程可求得c'的方程.

5.【2019广东江门调研(节选)】在平面直角坐标系Oxy中，A(-2,0),B(2,0),P为不在x轴上的动点，直线PA、

PB的斜率满足kpA(<pB=---

(1)求动点P的轨迹「的方程；

【思路引导】

1

(1)设P(x,y),将kpAkpB=--利用斜率公式进行化简整理即可得点P轨迹方程；

6.12019广西柳州1月模拟(节选)】已知点F(-1,0),直线I：x=-4,P为平面内的动点，过点P作直线I的

垂线，垂足为点H,且?F-•(PF+；巾)=0.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

【思路引导】

(1)设动点P(x,y),则H(-4,y),由『F-；pj4a+=0展开计算得到x,y的关系式即可；

【同步训练】

1.在平面直角坐标系xoy中，设点/(1,0),直线/：%=—1,点p在直线/上移动，R是线段PF与y

轴的交点,年王点区做点Q满足：RQ^FP,PQll.

（1）求动点Q的轨迹的方程；

（2）记。的轨迹的方程为E,过点厂作两条互相垂直的曲线E的弦AB.CD,设AB.CD的中点分

别为M,N.问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由.

【思路引导】（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平•分线，点Q的轨迹E是

以F为焦点，1为准线的抛物线，写出抛物线标准方程.

（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N

的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点.

【详细解析】

2.已知点4为圆/+/=8上一动点，4N1X轴于点N,若动点Q满足的=加（以+（1—㈤力V（其中m为非零常

数）

（1）求动点Q的轨迹方程；

（2）若「是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当m=｝时，得到动点Q的轨迹为曲线

C,过点P（-4,0）的直线均曲线C相交于瓦F两点，当线段EF的中点落在正方形F内（包括边界）时，求直线I斜

率的取值范围.

【思路引导】（-1）由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段E,F中点坐标，点G在正方形F内（包括边界）的

4k8k2

,,,--------n-----------2+2,

条件是|"“叱即1+曹1授，解出来即可.

[V>-x-2,4k8k

------>--------2,

,1+2廿1+2k2

【详细解析】

3.在直角坐标系xOy中，已知定圆M:（x+l『+y2=36,动圆N过点E（l,0）且与圆加相切，记

动圆圆心N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设AP是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为3(异于点P),若直线AP,5P分别交x轴

于点S,T,证明：|OS|.|OT|为定值.

【思路引导】(1)由两圆关系得等量关系+=再根据椭圆定义确定轨迹形状及

标准方程，(2)解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与工

轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值.

【详细解析】

13

4.己知圆C］：*2+y2=「2(r>0)与直线by=］久+相切，点4为圆C］上一动点，4VJ.X轴于点N,且动点M满

足。％+2扇=(2遂-2)血，设动点M的轨迹为曲线C.

(1)求动点M的轨迹曲线C的方程；

(2)若直线I与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点。，求线段PQ长度的取值范

围.

【思路引导】(1)由圆。/2+'2=户”>0)与直线=在相切，可得「=望^=3.然后设动点

M(x,y)4(x0,y0),即可求解.

(2)设出直线珀勺，分斜率存在和不存在两种情形，以-PQ为直径的圆过坐标原点。可转化为丽•而=0.再

把直线方程和椭圆方程•联立

【详细解析】

2

5.己知椭圆亍+丁=1,过点”(—1,0)作直线/交椭圆于A5两点，。是坐标原点.

(1)求中点尸的轨迹方程；

(2)求A04B的面积的最大值，并求此时直线/的方程.

【思路引导】(1)利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点尸的轨迹方程；

(2)令/:x=/zy-1代入尤2+4>2=4,利用韦达定理，表示出A04B面积，利用函数的单调性，即可求

A04B面积的最大值•，及此时直线/的方程.

【详细解析】

6.已知圆。:/+y=4与％轴交于A3两点，点加为圆。上异于A3的任意一点，圆。在点M处

的切线与圆。在点A3处的切线分别交于C,。，直线AD和交于点P,设尸点的轨迹为曲线E.

A|一、JO«

\二__^

U—1;

(1)求曲线E的方程；

(2)曲线E与y轴正半轴交点为H,则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形

RtAGHK,若存在，求出所有满足条件的&AGHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请

说明理由.

【思路引导】(1)设皿册")，则M处的切线为％x+yQ=4,切线CD与AC,BD组方程组可求得C,D点

坐标，再直线AD,BC组方程组，解点交点P轨迹方程。注意消参，需要用到点M在圆上。同时注意曲线

方程变量范围。⑵设G：丁=履+1，则/侬：＞=一5x+1，/GH与椭,圆组方程组，可求得GH,同理求

k

得HK,再利用GH=HK进行分类讨论。

【详细解析】

7.在平面直角坐标系xOy中，点耳卜6,0),圆&:必+V一26工一13=0,以动点尸为圆心的圆经过

点片，且圆尸与圆鸟内切.

(I)求动点尸的轨迹E的方程；

(II)若直线/过点(1,0)，且与曲线E交于A3两点，则在1轴上是否存在一点。(7,0)(/。0),使得％轴

平分NADB?若存在，求出/的值；若不存在，•请说明理由.

【思路引导】⑴根据两圆内切得|产用+伊鸟|=4,再根据椭圆定义得动点P的轨迹E的方程；⑵工轴

平分就是直线的斜率相反，设直线/：x="y+l,根据斜率坐标公式得

2狙］%+(17)(%+%)=0，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得

”9-4)=0,即得/=4.

【详细解析】

8.已知点A(l,0)、6(4,0),动点p满足|尸目=2归山，设动点尸的轨迹为曲线C,将曲线C上所有点的

纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线E.

（1）求曲线£1的方程；

（2）A3是曲线E上两点，且|AB|=2,。为坐标原点，求AAOB面积的最大值.

【思路引导】⑴由直接法,即利用坐标表示条件|「目=2|尸山，并化简可得Y+>2=4,再根据伸缩变换

得曲线E的方程为二+丁2=1.（2）设直线A3方程为：y^kx+t,由点到直线距离公式可得三角形高

4-

d1“

d=r-^,由三角形面积公式可得5=彳*24=利用直线方程与椭圆方程联立方程，结合韦达

J1+左22J1+42

定理及弦长公式可得r=,代入消元可得S一元二次函数，利用二次函数性质求最值.

【详细解析】

9..已知点A3的坐标分别为（-后,0）,（、回,0）,直线AM,3"相交于点M,且它们的斜率之积是-g,

点M的轨迹为曲线E.

（I）求E的方程;

（H）过点尸（1,0）作直线/交曲线E于P,Q两点，交V轴于R点，若RP=4PF,RQ=X2QF,证明:

4+办为定值.

【思路引导】（1）设出动点M坐标为（x,y）,把斜率之积用坐标表示出来化简可得E的方程（注意有些点

不合要求）；

（2）解析几何中的定值问题，设点P,Q,R的坐标分别为尸,Q（%,%），氏（°，%）•由尺尸=4尸尸，

可求得玉,力,并代入曲线E的方程，得4的方程，同理得4的方程，这样发现4,劣是方程

X2+4X+2-2y0?=0的两个实数根，由韦达定理可得4+右.

【详细解析】

22

10.已知。为坐标原点，”（再，%），N（X2,为）是椭圆亍+]=1上的点，且占工2+2%%=0，设动

点P满足OP=OM+2ON.

（1）求动点P的轨迹C方程;

（2）若直线/：y=x+m（根RO）与曲线C相交于A,8两个不同点，求AOAB面积的最大值.

22

【思路引导】（1）利用向量关系OP=OM+2ON可得动点P的轨迹C的方程为—+^=1.

2010

（2）联立直线与椭圆的方程可得面积函数S^BC9义,苏义,。―病）/^义疗+（：—疗）=50,注

意等号成立的条件.

【详细解析】

11.已知圆C：（x—1），/=/（r>i）,设A为圆C与％轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM,

并使弦AM的中点恰好落在y轴上.

（I）求点M的轨迹E的方程；

（•II）延长交曲线后于点N,曲线石在点N处的切线与直线AM交于一点8,试判断以点5为圆心,

线段长为半径的圆与直线MN的位置关系，并证明你的结论.

【思路引导】（1）由题意得A（l一—,0）,设中点为。［0,］：则

CD1AM^CDAM=Q得到关于的方程就是点M的轨迹E的方程.（2）设直线的方程为

%=冲+1,求出直线4舷、BN的方程并联立得到3点坐标，由两点距离公式求出怛。再由点8到直线

MN的距离公式求出距离d,d=\BD\，则线段BC长为半径的圆与直线MN相切.

【详细解析】

12.已知点〃（-3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点N在直线尸。上，且满足

MPPN=0,PN=^NQ.

（1）当点尸在y轴上移动时，求点N的轨迹c的方程；

（2）过点T［-g,。］做直线/与轨迹C交于A3两点，若在工轴上存在一点E（x0,0）,使得AAE3是以点

E为直角顶点的直角三角形，求直线/的斜率上的取值范围.

【思路引导】（1）设动点N（x,y）,由于点P在丁轴上，点Q在光轴的正半轴上，于是可以根据条件

尸N=gNQ表示出p[o,£],Q（3x,O）,再根据〃尸.网=0,坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程，

注意曲线上点坐标的取值范围；

（2）由题分析，直线/的斜率显然存在且不为0,于是可设/方程为y=+左。0）,与曲线C的方

程联立，消去未知数x,得到关于y的一元二次方程，设于是得出力+%,%%，

根据弦长公式求出\AB\,若在x轴上存在一点£（xo,O）,使得AAE3是以为直角顶点的直角三角形，则点F

到％轴的距离不大于3M耳，转化为关于左的不等式，可以求出取值范围.

【详细解析】

专题2动点轨迹成曲线，坐标关系是关键

【题型综述】

1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：

(2)直译法：一般步骤为：①建系，建立适当的坐标系；②设点，设轨迹上的任一点P(x,y);③列式，列出动

点P所.满足的关系式；④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，

并化简；⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)代入法(相关点法)：动点尸(无，y)依赖于另一动点。(无o,阿的变化而变化，并且Q(xo,yo)又在某已知曲线

上，则可先用x,y的代数式表示xo,外，再将xo,以代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(4)参数法：当动点尸(无，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一

中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

2.解轨迹问题注意：

(1)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、

位置、大小等.

(2)要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程

解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

【典例指引】

类型一代点法求轨迹方程

例1【2017课标H,理】设。为坐标原点，动点M在椭圆C：万+/=1上，过M作无轴的垂线，垂足

为M点P满足=

(2)求点尸的轨迹方程；

(2)设点。在直线x=-3上，且=证明：过点P且垂直于0。的直线/过C的左焦点凡

【解析】⑴设尸刀(如先)：设N(毛,0),NP=(x-%=

由点=&而7得毛=乂盟=坐j。

21

因为“（如J'o）在C上，所以+1=

因此点P的轨迹方程为k+/=2。

（2）由题意知尸（一1,0）。设Q（—31）,尸（加间,则

OQ=（^-3,t^PF=（-1一m,-n）,OQ•PF=3+3m-tn,

OP=（m,n）,PQ=（一3—机/一〃）。

由QP・PQ=1得一3加一加2+m一〃2=1,又由（1）知用2+〃2=2,故

3+3m-tn=0o

所以0。,尸尸=0,即。。，夕尸。又过点尸存在唯一直线垂直于O。，所以过点尸且垂直于。。的直线/过

C的左焦点尸。学科&网

类型二定义法求轨迹方程

例2.【2016高考新课标1卷】设圆九2+,2+2X—15=0的圆心为4直线/过点8（1,0）且与无轴不重合』

交圆A于CQ两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+怛同为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线G,直线/交Ci于两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边

形MPNQ面积的取值范围.

【解析】（I）因为|XD曰4CI,E5//4C,故ZEBD=NACD=ZADC,

所以|届故|E4|+|W|=|E4|+|EDR4D|.

又圆A的标准方程为（x++y2=16从而|拉）|=4于斤以|EA\+\EB\=A.

由题设得4-1：0）,3（1,0）」1=2：由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

y+y=l＜J*0）.

（II）当/与x轴不垂直时,设/的方程为＞=奴工-1）（kH0）,,M（XI，M）,N（X2,乃＞

y=A(x-l)

22

由《/i，2得(4标+3)x-8公x+4k-12=0.

—+—=1

43

8k2_4左2—12

贝1J再+/=

—4/+3

所以|MN|=J1+K|凡—%1=1箕：；)

过点5(1,0)且与I垂直的直线m：y=--(x-l),A到m的距离为,2，所以

k"2+1

IPQ|=2^42-(-^==)^=4H.故四边形MPNQ的面积

可得当I与X轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为［12,873).

当/与x轴垂直时，其方程为x=1.||=3,|P。|=8,四边形MPNQ的面积为12.

综上,四边形MPNQ面积的取值范围为［12,88).学科&网

类型三参数法求轨迹方程

例3(2016高考新课标III文数］已知抛物线C：/=2%的焦点为F,平行于x轴的两条直线IJ分别交C于

A5两点，交C的准线于.P,Q两点.

(D若F在线段上，R是PQ的中点，证明AR//FQ；

(II)若APQR的面积是AA3R的面积的两倍，求A3中点的轨迹方程.

【解析】由题设下(；。).设。沙=。4"'=6,则劭工0,目

，吟,0),吟冷尸(_*)©(—;圾.

工工工工/工

记过A,B两点的直线为7,贝心的方程为2x-(a+b)y+ab=Q........3分

(I)由于尸在线段上，故1+而=0.

记⑷?的斜率为左，废的斜率为无2,则左=9二匕=孑心-=工=出=-6=%，

1+a'cT—abaa

所以4rAF。...........5分

（U）设/与x轴的交点为。（再⑨，

则SAABF=510—dED|=510一。山—5，SAPQF=L-^1-

11I1\ci—b\

由题设可得万心―4再—万=\i,所以王=0（舍去），西=1.

设满足条件的的中点为E（x,y）.

当AB与x轴不垂直时，由&B=左原可得——=」-（xwl）.

a+bx-1

而—=y,所以V=x—l（xwl）.学科&网

当A3与1轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为V=x—1....12分

类型四直译法求轨迹方程

例4.已知动圆C过点Q（1,O）,且在y轴上截得的弦长为2.

（I）求圆心C的轨迹方程；

（II）过点Q（1,O）的直线/交轨迹C于4（芯,乂）,8（々,%）两点，证明：J而+「审为定值，并求出

I丫八|I丫刀I

这个定值.

【解析】（I）设动图圆心c坐标为（XJ）,

由题意得：动圆半径厂=+）二

圆心到1轴的距离为卜I,

依题意有N2+l2=（g］『+y2j,

化简得V2=2x,即动圆圆心C的轨迹方程为：V'2=2x

（ID①当直线/的斜率不存在，则直线/的方程为：x=l

{:二得/=（L0）1（L-"|

y-xx

所以|04|=|2同=&,故1。+占=1为定值.

\QAf\QB\

②当直线/的斜率存在，则设直线/的方程为：），=左（》一1）（左工0）,

{'，（”“得左型-（2左2+2）x+无°=0,所以再+。=21y：再吃=1,

y=2xk

即」T=----------^5--------+----------n--------，

以|例（--1）+4（•一1）+月

2

又点/（再/）双孙丹）在抛物线丁=2x上，所以疗=2xv2=2巧，

T曰1111

于XE:+p-=-----i-----1------i-----

以I磔『（再—1）+2不优—1）+2七

11_再2+巧2+2

再，+1巧，+1再，-引+（xj+巧1+1

西.+乂-+2.

=—^=1.

项，+W，+2

综合①②＞■—p-+-—-2为定值，目定值为1-

IMI。叶

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉

及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定

值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

【扩展链接】

1.若一个圆G内含于另一个圆。2,则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦

点，其长轴长为两圆半径之和；

2.在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的

半径。•

3.过两点的两条直线的斜率之积为一负常数〃？的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，

两定点间的距离为长轴长。（-1〈根＜0时，焦点在x轴上；当机＜-1时，焦点在y轴上）

4.将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的加倍，该圆变成椭圆；

5.连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方

椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

6.两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点

向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

【新题展示】

1.12019河南郑州一模(节选)】设M点为圆(：/+丫2=4上的动点，点M在x轴上的投影为N,动点P满足

2PN=4MN,动点P的轨迹为E.

(I)求E的方程;

【思路引导】

(I)设尸(x,y),M(尤o,州)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；

【解析】

(I)设点。仅0，丫0),P(x,y),由题意可知N(Xo,O)

2PN=抑/IN，2(x0-x,-y)=向0,-y0),

2

即X0=X,y0=­y

又点M在圆c/+y?=4上XQ+YQ=4

22

代入得上+上=1

43

22

即轨迹E的方程为L+上=i

43

22

2.12019四川绵阳二诊】己知椭圆C：上+上二1的左右焦点分别为Fi,F2,直线1：y=kx+m与椭圆C交

84

于A,B两点.O为坐标原点.

(1)若直线1过点Fi,且IAF2I十IBF2I=理2求直线1的方程；

3

(2)若以AB为直径的圆过点O,点P是线段AB上的点，满足OP_LAB,求点P的轨迹方程.

【思路引导】

82.

(1)设A(xi,yi),B(X2,”).联立(2，管+2,整理得(1+2R)尤2+8/X+8R-8=0.根据弦长公式|4同=工

(x+2y-8=0,3

1+k2―

代入整理得-----=-，解得k=±l.得到直线/的方程.

1+21?3

V—kx+m,

22整理得(2N+l)N+4bnx+2zn2_8=0.结

{x+2y-8=0,

--8

合韦达定理及条件OA-OB=0,整理得3加2=8N+8.从而有|。尸F=-(定值)，得到点尸的轨迹是圆，且去掉

3

圆与x轴的交点.写出点尸的轨迹方程即可.

【解析】

82

(1)由椭圆定义得ABI+IAb2什固尸2|二4折8c,则|)引=工

3

因为直线/过点为(-2,0),所以根二2左即直线/的方程为产网x+2).

设A(xi,yi),B(X2,”).

联立[2V=+2)'整理得(1+2N)X2+8FX+8N_8=0.

|x+2y-8=0,

_KKKK_a।-------------------------------------------gJ

22

X1+X2=---------，X1X2=------.由弦长公式|AB|=1(1+k)[(xx+x2)-4X1X2]=一

l+2k2l+2k2,3

1+k22

代入整理得-----=-,解得k=±l.所以直线/的方程为y=±(x+2),

l+2k23

BPx-y+2=0或x+y+2=0.

(2)设直线/方程尸fcv+根，A(xi,yi),8(x2,yi).

联立!?及：m，整理得(242+1)x2+4的1¥+2/-8=0.

(x+2y-8=0,

-4km2m2-8--

Xi+X2=---------,X1X2=------.以AB为直径的圆过原点O,即OA・OB=0.

2k+12k2+1

OA•OB=»12+”丁2=0.将yi=履i+根，/二区2+根代入，整理得

-4km2m2-8、

(1+^2)XlX2+/：m(Xl+%2)+m2=0.将Xl+X2=----------，X1X2=------代入，

2k2+12k2+1

整理得3加2=8F+8.•.•点P是线段48上的点，满足。P1AB,

一m8

设点。到直线A8的距禺为d,・•・\OP\=d,于是|0尸|2=解=——=-(定值),

k2+13

点尸的轨迹是以原点为圆心，J为半径的圆，且去掉圆与X轴的交点.

,,8

故点P的轨迹方程为x+y=-(ywO).

3

3.12019安徽江南十校第二次联考】已知两个定点A(-l,0),B(2,0),动点P(x,y)到点A的距离是它到点B距离

的2倍.

(1)求P点的轨迹E；

(2)若过点C(l,l)作轨迹E的切线，求此切线的方程.

【思路引导】

(1)利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E的方程.(2)由于轨迹E是圆，故设切线方程为点

斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意,

由此求得题目所求的切线方程，有两条.

【解析】

2222

⑴设动点P(x,y),则|PA|=2|PB|,坐标代入得：J(x+l)+y=2j(X-2)+y>

化简得：(x-3『+y2=4

所以动点P的轨迹E是以(3,0)为圆心，以2为半径的圆；

(2)设1:丫-1=「-1)是圆£的切线,则有:

|2k+1|3

Jk2+14

当k不存在时，l:x=l恰好与圆E切于(2,0)点，

综合得：切线方程为：*=1或3乂-4丫+1=0.

411

4.【2019湖北黄冈、华师附中等八校联考(节选)】已知点F(4,0),H(—,0),△ABC的两顶点A(-2,0),B(一,0),

82

且点C满足|CA|=2|CB|

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)设J=(5,0),，=(0,3),OC'=(1・6c,B•6c)，求动点c'的轨迹方程；

【思路引导】

(1)设出C点的坐标，代入|CA|=2|CB|，化简后求得动点C的轨迹方程.(2)设出c'点的坐标，利用向量相等

列方程，转化为C的坐标，代入(1)中的方程可求得c'的方程.

【解析】

22

(1)设动点C(x,y),其中ywO.由J(x+2y+y?=2(x+,+y?得:x+y=Q)

x

'_X-'2'2

⑵设点c'(x,y')，由x=5x,得5代入⑴中的方程得：L+L=

(y=3y,1y259

y=-

3

即曲线c'的轨迹方程为上+-=l(y#O).

259

5.12019广东江门调研(节选)】在平面直角坐标系Oxy中，A(-2,0),B(2,0),P为不在x轴上的动点，直线PA、

1

PB的斜率满足kpA(<pB=―-

(1)求动点P的轨迹「的方程；

【思路引导】

1

(1)设P(x,y),将kpAkpB=--利用斜率公式进行化简整理即可得点P轨迹方程；

【解析】

yV1

(1)设P(x,y)为轨迹「上任意一点，依题意，——X——

x+2X-24

2

整理化简得：-+y=l(y^0)

4

6.12019广西柳州1月模拟(节选)】已知点F(-1Q),直线l：x=-4,P为平面内的动点，过点P作直线I的

垂线，垂足为点H,且(PF-；曲)•(PF+；由)=0.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

【思路引导】

(1)设动点P(x,y),则H(-4,y),由(PF-；叫屈+:力=0展开计算得到x,y的关系式即可；

【解析】

(1)设动点P(x,y),则H(-4,y),由(PF-；巾］(诟+:力=0,则而2=:而2,

所以(x+1)+y=-|x+4|,，化简得++上=1.

故点P的轨迹c的方程为1+上=1.

43

【同步训I练】

1.在平面直角坐标系xoy中，设点/(1,0),直线/：%=-1,点P在直线/上移动，R是线段「歹与y

轴的交点,—异壬点尺的点Q满足：RQLFP,PQLI.

(1)求动点。的轨迹的方程；

(2)记。的轨迹的方程为E,过点歹作两条互相垂直的曲线E的弦AB.CD,设AB.CD