湖南省益阳市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题含答案

益阳市2022年下学期期末质量检测

局一数学

注意事项：

L本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题

四部分，共4页，时量120分钟，满分150分.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按答题卡的

要求在答题上上卡作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合"={°'1'2}]={123},则（）

A.0B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】根据并集的定义和运算直接得出结果.

【详解】由题意知，

AB={0,1,2}{1,2,3}={0,1,2,3}.

故选：D.

2.已知夕：sinx=siny，4：x=y,则0是q的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题.

【详解】当％=0,y=兀时，sinO=sinTT,但则命题p推不出命题q；

当左=y时，sinx=siny,则命题q推出命题p,

所以命题p是命题q的必要不充分条件.

故选：B.

3.函数/(x)=e，+ln(2x+l)的定义域为()

1D.L+oo

A.(-co,+co)B.(0,+oo)C.—,+co

212

【答案】c

【解析】

【分析】根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域.

【详解】/(x)=eA+ln(2x+l)有意义，则2x+l>0nx>—；,

所以函数定义域为-g,+8.

故选：C.

l-cos2x

4.化简:

A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosX

【答案】C

【解析】

【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案.

l-cos2xl-(l-2sin2x)2sin2x8.

【详解】「一"=----------=—=2smx

JIsin%sinx

COS5—1

故选：C

x2-x,x>0/、

5.已知函数/(%)=<则〃-2=()

|x|+l,x<0

A.6B.3C.2D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】将x=—2代入分段函数，即可得到了(—2)的值.

【详解】由题意,

x2-x,x>0

在/(x)=<中,

|x|+l,x<0

/(-2)=|-2|+1=3,

故选：B.

6.下列函数中是奇函数，且在区间（0,+8）上是增函数的是（）

A.》=丁B.y=lwc

C.y=e*+eTD.y=tanx

【答案】A

【解析】

【分析】对选项函数的奇偶性和单调性逐个判断，即可得到本题答案.

【详解】A、D为奇函数，B为非奇非偶函数，C为偶函数，排除B、C,

y=tanx在—：+左肛g+左"（左eR）上单调递增，不满足题意，排除D,

易知y=_?在区间（0,+。）上为增函数.

故选：A

=2sin[%-W

7.为了得到函数y的图象,只要把y=2sinx的图象上的所有的点（)

ir7T

A.向左平移二个单位长度B.向右平移二个单位长度

66

7TTT

C.向左平移乙个单位长度D.向右平移二个单位长度

33

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换可得结论.

【详解】为了得到函数y=2sin[x-的图象，只需把函数y=2sinx的图象上所有的点向右平移器个

单位长度.

故选：B

8.已知函数y=/（x）的部分图像大致如图所示，则其解析式可以是（）

r2„2

B

A.7(x)=ln(|x|+l)-—-7(x)=ln(|%|+l)--

C./(x)=eY+e"%-x2D./(x)=ev-e-x-2x3

【答案】A

【解析】

【分析】通过分析各个函数的单调性和奇偶性，与所给图像的单调性和奇偶性进行对比，即可得出正确的解

析式.

【详解】解：由题意及图像可知，

/(0)=0,函数关于x轴对称，故为偶函数,

在-8到(-1,0)的某点处单调递增，在(-1,0)的某点处到。处单调递减；

在o处到(0,1)的某点处单调递减，在(0,1)的某点处到+8处单调递减.

对于A,

2/\22

在/(力=如(国+1)_5中,/(-%)=In(|-%|+1)---3-=ln(W+l)-""(x)'

-1x2-x-1

当xvO时，/(x)=ln(-x+l)-—/'(x)=-------x-.........

-X+1-X+1

当r(x)=o时，解得：

当尤<二5时函数单调递增，当口5<%<0时函数单调递减,

22

当x>0时，y(x)=ln(x+l)-5,=~~Y~X=~——

当了'(%)=o时，解得：

•.•当0<X<避二1时函数单调递增，当X>避二1时函数单调递减,

22

与所给图像相同，故A正确.

对于B,

2/\22

在/(%)=皿国+1)_?中，/(-%)=In(|-%|+1)---^=ln(|x|+l)-^-=/(x)

/、/、drf/\~1XX1—X—2

当尤<0时，/(x)=ln(-x+l)-T>八"=痴—5=

当/'(x)=0时，解得：%=-1,

...当x<—1时函数单调递增，当—1<%<0时函数单调递减，

当了>。时，〃x)=ln(x+l)-1，外力=百-5==(Hl)'

当/'(x)=0时，解得：%=1,

...当0<x<1时函数单调递增，当％>1时函数单调递减，

与图像不符，故错误.

对于C,

xxx2

在/(x)=e'+尸—三中，/(_%)=e-+e'—(—九)2=e-+e-x=f(x),/(0)=2w0,

故C错误.

对于D项，

在/'(x)=e"—尸—2丁中，/(—%)=e-v-ev-2(-%)3=ex-e-r+2dw/(%),

故D错误.

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=2siiu,则()

A./(力是R上的奇函数B.7(%)的最小正周期为27

C./(%)有最大值1D./(%)在［0,可上为增函数

【答案】AB

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】A：函数的定义域为R,且/（一%）=2sin（—无）=-2sinx=—/（尤），为奇函数，故A正确;

2〃

B：函数的最小值正周期为7=7=2〃，故B正确；

C：-l<sinx<l,得/（x）=2sinx的最大值为2,故C错误；

7C

D：函数/（x）=2sinx的单调增区间为-5+2^71,5+2®（左eZ）,

7C7C7C7C

当左=0时，—不+24兀,5+24兀]=[—不，不，即函数在0,—上为增函数，故D错误.

故选：AB.

10.下列命题正确的是（）

A.若a>b，则/

B.若a3>）3,则

C.若〃>01>0,且a+Z?=6,则"<3

D.若〃>—1,则一1—+

〃+1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据特例判断A,由作差法可判断B,由均值不等式可判断CD.

【详解】对A,0>-1成立，但。2>（_1）2不成立，故A错误；

对B,/0/一匕3>0<^>（^-Z?）（fl2+（2&+/72）>0,

〃3

而〃2+次?+/=（〃+—）2+—Z?3〉0（“力不同时为零），所以〃一Z?>0,即故B正确；

24

对C,由均值不等式可得（"与2=9,故不成立，故C错误；

2

对D,”〃>一1,/.^+1>0,—-—+a+122A——-（a+1）=2,即一--l-a>l,故D正确.

a+1\a+1。+1

故选：BD

11.已知a=0,Z?=log2g，c=log32,则（）

A.a>bB.b>C

C.a>CD.ac<l

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合对数函数的单调性可判断瓦c的大小范围，结合y=6的单调性可判断。的取值范围，从而可判

断选项A,B,C的正误;通过比较215,3的大小，可判断出ac=log32&<log33=l,即可判断选项D的正误.

【详解】解:因为>=正在(0,+8)单调递增，

所以即1<。<1.5,

因为y=log2x,y=log3x在(0,+。)单调递增，

所以人=log2j=-log23<0,0=log31<c=log32<log33=1,

综上:b<c<〃,故选项B错误，选项A、C正确；

因ac=V21og32=log32^，且*<=g=枢<也=3,

即2&<3，所以ac=log32点<log33=1,故选项D正确.

故选:ACD

12.已知函数〃尤)=6sin3x+cos3x-21g(;c+l)的所有非负零点从小到大依次记为X1,%,•，七，贝U

()

A.n=8B.n=9

104兀13171

C.+,+X.T>—^―D,X；+%2+.+xn>—^~

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合

判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.

【详解】由/(x)=V3sin3x+cos3x-21g(x+1)=2sin(3x+-^)-2lg(x+1)=0,

TT

可得sin(3x+—)=lg(x+1)，

6

TT

即y=sin(3x+与与y=lg(x+1)的图象在第一象限交点横坐标即为，玉，

6

77

因为y=sin(3x+—)«l,y=lg(x+l)=l时，x=9,如图，

由图可知，共有9个符合要求的交点，所以〃=9,

*...7C.<ATI/口-TC_r3兀,_nrt47c,_

令sm(3xd——)=-1,解得3xd——=2kn-\---,左eZ,即％=-----1-----,keZ,

66239

47r27r47r47r47r67r47r

故由图象可知X]+%2>2x—,毛+%4>2x(—+—),x5+x6>2x(—+—),毛+%8>2x(—+—),

biic52兀104»

所以百+九2++玉>2X———=-,

Ltd104兀什13171

因为玉+%++%>---，右芯+%2+''+九8+九9>9'

27兀

则需％9>.=3兀，由图知，尤9<9<3兀，故不成立,

综上可知，BC正确，AD错误.

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算:&.

27

【答案】77

64

【解析】

【分析】将分数指数塞转化为根式形式,求出值即可.

14.已知点？(一3,4)为角a终边上的一点，贝Ijsintz=

4

【答案】-

【解析】

【分析】根据三角函数的定义计算可得;

44

【详解】解：点尸(—3,4)为角a终边上的一点，所以sin。=

3+425

4

故答案为：—

15.科学家研究发现，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+1.5M,记里氏9.0级地震、7.0级地震所释放出来的能量分别为耳、石2,则兽=__________.

七2

【答案】IO?##10()0

【解析】

【分析】把9.0和7.0代入到lg£=4.8+L5M,然后两式相减，即可得到本题答案.

【详解】由题可得，Igg=4.8+1.5x9.0=18.3,坨£*2=4.8+1.5x7.0=15.3,

FF

所以坨4TgE?=3力=3,得』=101

E,E2

故答案为：l()3##1000

16.己知定义在R上的奇函数y=/(x)满足y=/(x+l)是R上的偶函数，且则

/(1)+/(2)++/(2022)=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】通过讨论函数的奇偶性、对称性和周期性，即可计算出所求的式子的值.

【详解】由题意，xeR,

在y=/(x)中,"X)是奇函数,y=/(*+1)是偶函数,

••./(%)=-/(-%),/(x+l)=/(-X+1),/(。)=。,

.•./(x)=/(x-l+l)=/(-(x-l)+l)=/(2-x),

：.f(2-x)=-f{-x),贝厅(x)+/(x+2)=0,

.-./(2-%)=/(2+x),BP/(x)=/(x+4),

函数/(x)是以4为周期的周期函数，/(0)+/(2)=0,

,-./(2)=/(0)=0./(3)=/(-1)=-/(1)=-1,〃4)=-7•⑵=0，

•••/（1）+/（2）++/（2022）=505x[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]+/（l）+/（2）=505x0+1+0=1.

故答案为：

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)已知,ABCcosA二』，求tanA的值.

13

(2)求证：1+sin2x=©os元+sinx.

cosx+sinx

【答案】(1)y;(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据同角的基本关系求解即可;

(2)根据二倍角的正弦公式及同角基本关系即可得证.

【详解】(1)A是.ABC的内角，二人武。,兀)，又cosA=《

sinA=Vl-cos*2A=—

13

,sinA12

/.tanA=----=—

cosA5

/0TH口+斗1+sin2xsin2x+cos2%+2sinxcosx

(2)证明：左边二----------二------------------------

cosx+sinxcosx+sin%

_(sinx+cosx)2

cosx+sinx

=cosx+sinx=右边

所以等式成立.

18.设集合A={JT|2X-5<1},5={%|X>1-Q}.

(1)当a=2时，求AcB;

(2)若求〃的取值范围.

【答案】(1)AnB={x|-l<x<3}

(2)(-2,+co)

【解析】

【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；

⑵结合⑴，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

A={x|2x-5<1}={x|x<3}

当a=2时，B={x\x>—1},

AnB=1x|x<3}n{x|x>-l}={x|-l<x<3}；

【小问2详解】

由⑴知，A={x|x<3},

Acw0,1—a<3,解得：a>—2,

所以。的取值范围是(—2,W).

19.已知函数=-2mx+2,xeR

(1)若/(X)>O对一切实数尤都成立，求加的取值范围；

(2)已知加=2,请根据函数单调性的定义证明/(%)在(—,2)上单调递减.

【答案】(1)(-72,72)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据判别式小于。求解即可；

(2)利用定义法证明函数的单调即可.

【小问1详解】

VXGR,有/(X)>0,即d—2mx+2〉0恒成立，

/.A=4m2-8<0,

解得-0<根<0，所以用的取值范围是卜后,四)

【小问2详解】

由已知有=*-4x+2,任取内，9设石<々，

贝犷(七)一f(•^2)k—4/+2—4+4/一2=(七一9)(%+W—4),

e(-oo,2),玉<巧玉一/<0,/+/—4<0,

所以/(七)一/(W)>。，即/(%)>/(%2),

\"X)在(—8,2)上单调递减.

20.已知函数/(x)=0sin(0x+9)°〉0,闸＜]的图象与y轴交于p点(o,i),若土,马,凡是方程

/(尤)一1=0的三个连续的实根，且为+%+退=--

88

(1)求/(尤)的解析式;

(2)求“X)的单调递增区间.

【答案】(1)/(x)=6sin4也+；

(keZ)

【解析】

【分析】(1)根据三角函数的对称性求出函数的最小正周期，进而求得。，将点尸的坐标代入求出。，即可

求解；

(2)利用整体代换法结合正弦函数的单调增区间即可求解.

【小问1详解】

西,马，%是方程/(尤)一1=°的三个连续的实根，且不+%=L々+%=，，

88

记％=%4，%=%是三根之间从左到右的两条相邻对称轴，

12几

T=2(%5—%)=5，即0=^^=4兀，

再将点P代入得：l=0sin0,且|。|〈:■得夕=：■，

〃x)=A/2sin^4^x+^.

【小问2详解】

由一二十24兀44兀%十二4工+24兀(keZ)

242v7

3k1k

解之得:-----1--<九<----1--，左£Z

162162

-3k1k~

\/(%)的单调递增区间为一记记+'(kwZ).

21.生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w进行监测.第一次监测时的总量为“

（单位：吨），此时开始计时，时间用/（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数

关系：①w=+②w=Z?log“（/+l）+%（a>0且。/1）.

（1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；

（2）根据第3,4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小函数模型；甲发现总量w由飞翻一番时

经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量卬再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：

lg3»0.48,lgl7«1.23）

【答案】（1）w-y/2t+2；w=210g3。+1）+2

（2）24个月

【解析】

【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案；

（2）分别把/=8和f=16代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把vv=8代

入到攻=21og3±+1）+2,解出即可得到本题答案.

【小问1详解】

2="%（dwr.=2

将前2列数据代入解析式①得：《L，解之得：\「，

4=cy/2+6?w0[C=A/2

.二①w=yflt+2；

2—VHx14M—2

将前2列数据代入解析式②得：471:，解之得：7L，

4=bloga3+w0[b=210g3〃

.,.②w=21og3tzlogfl（t+l）+2=2log3a'"+D+2-21og3（?+l）+2.

【小问2详解】

当/=8时，模型①w=4+2=6,模型②w=21og39+2=6；

21gl7〜…

当。=16时，模型①匹=4亚+227.66模型②w=21og317+2=—^+227.13.

Ig3

二选模型②；

当总量W再翻一番时有：8=21og3(r+l)+2,解之得t=26,

即再经过26-2=24个月时，总量w能再翻一番.

22.已知函数=

C

(1)若函数/(九)是R上的奇函数，求。的值；

(2)若函数/(尤)的在R上的最小值是20，确定。的值；

(3)在(2)条件下，设8(力=/田""小)(加>0且〃-1),若g⑺在［0,4］上的最小值为1,请

确定加的值.

【答案】(1)1(2)a=-2

(3)机=^/5

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的定义可得/(-力+/(力=0,即可求出。，验证即可；

⑵当a<0时，利用基本不等式计算即可求解；当。之0时，利用定义法证明函数/(x)=e'-W在R上单

e

调递增，没有最小值；

⑶由⑵可得g(x)=/2(止硒止4=加,3在［0,4］上的最小值为1,根据指数函数的性质知当0〈根<1时

Mmax(x)=°，当勿>1时％n(x)=。.利用换元法得〃(。=产—皿―+

«=/(%)),结合分类讨论的思想和二次函数的性质求出对应的加值即可.

【小问1详解】

/(九)是R上奇函数，.•・/(—x)+/(x)=0

即e'—ae'+ex—ae