2019版高中全程练习方略配套资料：互斥事件

第六节互斥事件内容要求ABC互斥事件及其发生的概率√…………高考指数:★1.互斥事件及对立事件(1)互斥事件定义不能_____发生的两个事件称为互斥事件.推广如果事件A1,A2,…，An中的_____________________，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.同时任何两个都是互斥事件必有一个发生

【即时应用】(1)两个事件互斥是这两个事件对立的________条件.(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是__________(填序号).①至少有1个白球，都是白球②至少有1个白球，至少有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至少有1个白球，都是红球【解析】(1)互斥不一定对立，但对立一定互斥，故互斥是对立的必要不充分条件.(2)①、②中的两个事件不互斥，当然也不对立；③中的两个事件互斥，但不对立；④中的两个事件不但互斥，而且对立.所以正确答案应为③.答案：(1)必要不充分(2)③2.互斥事件及对立事件的概率计算公式(1)互斥事件的概率加法公式记法设A，B为互斥事，若___________________发生，我们把这个事件记作A+B基本公式

如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=__________.推广公式如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那P(A1+A2+…+An)=____________________.事件A，B至少有一个P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)1【即时应用】(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽验一只是正品(甲级)的概率为______.(2)若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A+B)＝0.7，则P(B)＝______.(3)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________.排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04【解析】(1)记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.(2)∵A、B为互斥事件，∴P(A+B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A+B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(3)P=1-(0.1+0.16)=0.74答案：(1)0.92(2)0.3(3)0.74互斥事件与对立事件的判定【方法点睛】1.互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系；(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的．2.从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

【例1】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解题指南】应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.【规范解答】(1)是互斥事件，不是对立事件.原因是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件，也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件，也是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件.

【反思·感悟】判断两事件的关系时，一是要考虑试验的前提条件；二是考虑事件间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析.对于较难作出判断关系的情况，也可列出全部结果，再进行分析.【变式训练】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可能同时发生，但其中必有一个发生.(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生.【变式备选】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件？如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与事件E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E必不发生，且事件E不发生则事件B一定发生，故事件B与事件E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能：“甲、乙两种报都不订”，“只订甲报”，“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.

互斥事件、对立事件的概率【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.【提醒】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和.

【例2】(1)在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为________.(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：求该射击队员射击一次①射中9环或10环的概率；②至少命中8环的概率.命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；(2)该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率.【规范解答】(1)分别记小明的成绩“在90分及以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”为事件B、C、D、E、F，这五个事件彼此互斥.所以小明的成绩在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69(2)记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.①记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.②设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.【互动探究】在本例(1)中条件不变，求小明在数学考试中及格的概率.【解析】方法一：由例题知小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明考试不及格的概率是0.07，记“小明考试及格”为事件A.所以小明考试及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.所以小明在数学考试中及格的概率是0.93.【反思·感悟】互斥事件概率公式应用的条件必须明白事件A、B互斥的条件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【变式备选】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出的1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.【解析】记事件A1={任取1球为红球}；A2={任取1球为黑球}；A3={任取1球为白球}；A4={任取1球为绿球}，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=.方法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意知，事件A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：(1)取出1球为红球或黑球的概率为(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为方法二：(利用对立事件求概率的方法)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4.所以取得一红球或黑球的概率为：(2)A1+A2+A3的对立事件为A4,所以【满分指导】互斥事件主观题的规范解答【典例】(14分)(2011·陕西高考)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间

(分钟)10～2020～3030～4040～5040～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解题指南】(1)读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；(2)根据频率的计算公式计算；(3)计算选择不同的路径，在允许的时间内赶到火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．【规范解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.………………3分(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

…………………6分所用时间

(分钟)10～2020～3030～4040～5040～60选择路径L1

的频率0.10.20.30.20.2选择路径L2

的频率00.10.40.40.1(3)用A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；用B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，P(A1)>P(A2)，甲应选择路径L1；……………12分P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B2)＞P(B1)，乙应选择路径L2.……………14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示

解答本题时有两点容易造成失分：(1)思维受阻，不能将概率问题转化为频率来进行估计；(2)在解答第(3)问时，不能正确地把所求事件转化为几个互斥事件的和，导致计算错误.备考建议解决互斥事件的概率问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不判断事件是否彼此互斥，盲目套用概率加法公式导致错误；(2)事件较复杂时，不能用对立事件求其对立面来简化求解过程；(3)解决互斥与对立事件问题时，由于对事件的互斥与对立关系不清楚，不能正确判断互斥与对立事件的关系而致错.1.(2012·常州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点.已知P(A)=P(B)=则出现奇数点或2点的概率是______.【解析】由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件.∵P(A)=P(B)=∴根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率答案：2.(2011·大纲版全国卷改编)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为______.【解析】设该车主购买乙种保险的概率为