2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组8-1空间几何体的三视图表面积和体积

8.1空间几何体的三视图、表面积和体积

考点一空间几何体的三视图与直观图

1.（2016天津文,3,5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体

的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧（左）视图为（）

答案B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.

该几何体的侧视图为选项B中图形.故选B.

评析本题主要考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生的空间想象能力和识图、画图

能力.

2.（2014课标1,8,5分,0.795）如图，网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何

体的三视图，则这个几何体是（）

ʌ.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

答案B由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱，故选B.

3.（2014北京理,7,5分）在空间直角坐标系0-χyz中,已知

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,e).若S”S2,A分别是三棱锥D-ABC在xθy,yθz,zθx

坐标平面上的正投影图形的面积,则()

A.S1=S2=S3B.Sz=S］且S

C.Sa=&且S3≠S2D.s3⅛⅛s3≠s,

答案D三棱锥D-ABC如图所示.

Sl=S=∣X2X2=2,

S2=i×2×√2=√2,

S3=∣×2×√2=√2,

.∙.S2⅛1LS,≠S3,故选D.

4.（2014课标I理，12,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的

三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为（）

Λ.6√2B.6

答案B由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC_L

面BCD,ΔABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DML面ABC,在等腰

ΔBCD中，BD=DC=2√5,BC=DM=4,所以在RtΔΛMD中，ΛD=√AI^+D.^=√42+22+42=6,又在

RtΔΛBC中,ΛC=4√2<6,故该多面体的各条棱中，最长棱为AD,长度为6,故选B.

2

评析本题考查空间几何体的三视图与直观图之间的互相转化,考查面面垂直性质定理的应

用.同时考查考生的空间想象能力和运算求解能力.正确画出三棱锥的直观图是解决本题的

关键.

5.(2013课标II,理7,文9,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系0-χyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以ZoX平面为投影面,

则得到的正视图可以为(

答案A设0(0,0,0),八(1,0,1),8(1,1,0),(：(0,1,1),将以0、A、B、C为顶点的四面体补

成一正方体后，由于OAlBC,所以该几何体以ZOX平面为投影面的正视图为A.

方法归纳由几何体直观图画三视图的要求:①注意三个视图对应的观察方向;②注意视图

中虚线与实线的区别;③画出的三视图要符合“长对正,高平齐,宽相等”的基本特征.

6.(2013湖南理,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方

体的正视图的面积不可能等于()

√2-l

A.1B.√2cr∙-rD与

答案C若该正方体的放置方式如图所示,当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时,正视

图的面积最小,其值为1,当正视的方向与正方体的对角面BDDB或ACCA垂直时,正视图的面

积最大,其值为北,

由于正视的方向不同，因此正视图的面积S∈[1,√2].故选C.

评析本题考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生空间想象能力及有关知识的应用能

力,解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围，而不应该逐项计算.

3

7.（2011课标理,6文,8,5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示,则相应的

侧视图可以为（）

答案D由几何体的正视图和俯视图可知I,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面垂直

于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧视图应为D选项.

错因分析将组合体看成半圆柱和三棱锥的组合或不注意C和D中中线实虚的含义，易误选

A或C.

评析本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的识图能力和空间想象能力.

考点二空间几何体的表面积与体积

1.（2018课标I文,5,5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为0,,0”过直线OQ的平面截

该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（）

A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π

答案B本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.

设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2北,.∙.圆柱的表面积

S=2πr2+2πr∙h=4π+8π=12JI.故选B.

解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.

2.（2016课标II文,4,5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

（）

A.12πB.^πC.8πD.4π

3

答案A设正方体的棱长为a,则1=8,解得a=2.

4

设球的半径为R,则2R=√5a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选ʌ.

方法点拨对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对

角线的一半.

3.（2016课标ΠI,理10,文11,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多

面体的三视图,则该多面体的表面积为（）

A.18+36√5B.54+18√5

C.90D.81

答案B由三视图可知,该几何体是底面为正方形（边长为3）,高为6,侧棱长为3代的斜四

棱柱.其表面积S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故选B.

易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致

错.

4.（2015课标1理,11,5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体,

该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则

r=（）

A.1B.2

C.4D.8

5

答案B由已知条件可知I,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为

2πr2+πr2+4r2+2π/=5πr2+4r2.由5£r2+4r2=16+20π得r=2.故选B.

5.（2015北京理,5,5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

正住）视图制左）视图

A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5

答案C由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示,其中PA=I,BC=2,取BC的中点M,连接

AM,MP,则ΛM=2,AM_LBC,故AC=AB=√6A+A/=√ΓΠ=√5,由正视图和侧视图可知PA_L平面

ABC,因此可得PC=PB=√为2+A∕=√∏Γ^=√δ,PM=√Λ42+A^=√H74=√5,所以三棱锥的表面积

×2×2+^×√5×l+∣×√5×14∣×2×2+2C.

为SΔΛK+SΔPΛB+SΔPΛC+SΔPBC=∣晶=倔故选

6.（2015陕西，理5,文5,5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）

A.3πB.4冗C.2五+4D.3π+4

答案D由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表前R

S=2×-×JtXl2+πXlX2+2X2=3π+4.

2

评析本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象能

力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键.

7.（2015课标∏,理9,文10,5分,0.685）已知A,B是球0的球面上两点,ZA0B=90o,C为该

球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0的表面积为（）

A.36πB.64πC.144πD.256π

6

答案C∙.∙SAOMi是定值,且VoTBC=VC一OW

...当0C_L平面OAB时,Vc如B最大,即Vo-ABC最大.设球0的半径为R,则

（VUC）X照XR=⅛3=36,.∙.R=6,...球0的表面积s=4ɪɪR?=4Jt×62=144π.

（BJZO

思路分析由aOAB的面积为定值分析出当OCJ_平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而

根据已知条件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球0的表面

积.

导师点睛点C是动点,在三棱锥O-ABC中，如果以面ABC为底面,则底面面积与高都是变量,

而SAMs为定值,因此转化成以面OAB为底面,这样高越大,体积越大.

8.（2014浙江理,3,5分）某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的表面积是

（）

,一4一4一,,一3»3一,

H-----÷-----HH-*h~~H

ɪiɪɜm

正视图恻视图

3

3

俯视图

A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2

答案D由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成（如图），其表面积

为S=3×5+2×^×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).

9.（2014福建文,5,5分）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周

所得圆柱的侧面积等于（）

A.2πB.πC.2D.1

答案A由题意得圆柱的底面半径r=l,母线1=1.

圆柱的侧面积S=2πrl=2n.故选A.

10.（2018浙江,3,4分）某几何体的三视图如图所示（单位:Cm）,则该几何体的体积（单位:cm'）

是（）

7

A.2B.4C.6D.8

答案C本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.

由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为

lcm,2cm,高为2cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V甘X2X2=6cπf.

思路分析（D利用三视图可判断几何体是直四棱柱；

（2）利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.

11.（2016山东理,5,5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何

体的体积为（）

俯视图

.1,21√21,√2

A.-+-πBn.lπrC.-+—nπD.l+-π

3333366

答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直

径等于正四棱锥底面正方形的对角线的长,所以球的直径2R=√5,即R所以半球的体积为

2

N邛lt,又正四棱锥的体积为ι×ι=i,所以该几何体的体积为9⅞n.故选C.

əO333b

易错警示不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=∣.

评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图并准确地计算

是解题关键.

8

12.（2016北京,6,5分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（）

其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积IxlXl=.故

ɔLO

选A

13.（2015课标I,理6,文6,5分,0.451）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思

为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米

堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，

圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

答案B设圆锥底面的半径为R尺，由［X2"R=8得R=⅛从而米堆的体积

V=χ"Nx5牛2（立方尺），因此堆放的米约有罟黑二七22（斛）.故选B.

4Joɪɪ«5^1.b/ɔɪ

14.（2015课标Il,理6,文6,5分,0.426）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三

视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

9

A∙IB∙?c∙lD∙I

答案D如图，由已知条件可知,在正方体ABCD-ABCD中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部

分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为⅛Γ',剩余部分

的体积为a4a⅛a3.它们的体积之比为故选D.

665

15.（2015重庆理,5,5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

A.⅛πB.-e,ɪɪD.，

3632

答案B由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为

22

1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为TXgXπ×lxi+π×1×2=ɪ,故选B∙

16.（2015浙江理,2,5分）某几何体的三视图如图所示（单位:Cm）,则该几何体的体积是

（）

10

正视图侧视图

俯视图

A.8cm3B.12cm3

c.>3小,

答案C由三视图知，该几何体是由棱长为2cm的正方体和底面边长为2cm,高为2cm的正

四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=24×22×2=≡cm3,故选C.

17.（2015山东理,7,5分）在梯形ABCD中，NABCq,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD

所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

.2∏.4π厂5元门小

A.—-Br."-C.--D.2H

333

答案C如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆

锥，故所求体积V=2π-∣=^

评析本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.

18.（2015湖南文，10,5分）某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积

尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利

用率为（材料利用率=S≡）

11

3,333

侧视图

.824(√2-l)3D8(修1)3

A.—βr

9π∙F7

答案Λ由三视图可知1,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为2近,

新工件是该圆锥的内接正方体,

如图,此截面中的矩形为正方体的对角面,

设正方体的棱长为X,

则牵嗡,解得X4

3

所以正方体的体积v,=（^）岑，

2

又圆锥的体积V2=Iπ×l×2√2=^π

所以原工件材料的利用率为故选A.

19.（2014陕西理,5,5分）已知底面边长为1,侧棱长为虎的正四棱柱的各顶点均在同一个球

面上,则该球的体积为（）

A.空B.4π

C.2πD.—

3

答案D如图为正四棱柱AC,.根据题意得AC=©,.•.对角面ACe冏为正方形，.∙.外接球直径

2R=A∣C=2,.∙.R=1,,VMi与故选D.

12

20.（2014课标∏,理6,文6,5分,0.506）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,

图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切

削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

答案C该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为“X22χ4+"X32χ2=34Bcm',

圆柱体毛坯的体积为“×32×6=54πcm3,

所以切削掉部分的体积为54π-34π=20πcm3,

所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为需专,故选C.

21.（2014课标II文,7,5分,0.495）正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为窝,D为BC

中点,则三棱锥A-BJ）C的体积为（）

Λ.3B=C.1D.^

22

答案C在正三棱柱ABC-ABQ中，・・・AD_LBC,AD_LBB|,BBmBC=B,・・・AD_L平面BMc“

••口小瓦DG=^S△瓦DG*AD=∣×∣×2×V3×V3=l,故选C.

22.（2013课标I,理8,文11,5分,0.718）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（）

13

ʌ.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π

答案A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成,其中长方体的长、宽、高分别

为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+∣π×22×4=16+8π.

故选A.

思路分析由三视图分析该几何体的构成,从而利用三视图中的数据计算几何体的体积.

23.（2013浙江文,5,5分）已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示,则该几何体的体积是

ʌ.108cm3B.100cm,C.92cm,D.84cmi

答案B由三视图可知,该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥,结合所给数据,可得其

体积为6X6X3qxgx4X4X3=100（cm3）,故选B.

24.（2012大纲全国，理7,文7,5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几

何体的三视图，则此几何体的体积为（）

A.6B.9C.12D.18

14

答案B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥S-ABC,其中底面AABC为等腰三角

形,底边AC=6,AC边上的高为3,SBL底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积

V=i×i×6×3X3=9.故选B.

评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何

体的直观图是求解的关键.

25.（2011陕西文,5,5分）某几何体的三视图如图所示,则它的体积为（）

A.8-—B.8」C.8-2πD.?

333

答案A由给出的三视图可得原几何体为正方体中挖去一圆锥,且此圆锥以正方体的上底

面内切圆为底，以正方体的棱长为高.

故所求几何体的体积为8—XπXI2X2=8-^.

评析三视图是考查空间想象能力很好的一个题材,正确解答此类题目的关键是平时空间想

象能力的培养,对文科学生来说,本题属中等难度题.

26.（2016课标I,6,5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相

垂直的半径.若该几何体的体积是空,则它的表面积是（）

A.17πB.18π

15

C.20πD.28π

答案A由三视图知该几何体为球去掉了?所剩的几何体（如图），设球的半径为R,则

O

gx]R'彗,故R=2,从而它的表面积s=^×4πR2+∣XπR2=17π.故选Λ.

27.（2016课标II,6,5分）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表

面积为（）

A.20πB.24π

C.28πD.32π

答案C由三视图可得圆锥的母线长为√22+（2√5）2=4,.∙.Smw=πX2X4=8n∙又SBIma

=2nX2X4=16π,S皿=4JI,Λ该几何体的表面积为8π+16π+4π=28τ.故选C.

思路分析先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后

求该几何体的表面积.

28.（2017课标II文,15,5分）长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则

球O的表面积为.

答案14π

解析本题考查长方体和球的性质，考查了球的表面积公式.

由题意知长方体的体对角线为球0的直径,设球0的半径为R,则（ZR）FS+/=",得R2=∣,

所以球O的表面积为4πR2=14π.

疑难突破明确长方体的体对角线为球0的直径是求解的关键.

易错警示易因用错球的表面积公式而致错.

16

29.（2013课标∏,15,5分,0.158）己知正四棱锥O-ABCD的体积为苧,底面边长为心,则以0

为球心,OA为半径的球的表面积为.

答案24π

解析设底面中心为E,连接0E,AE,

则IAEl用ACl《

：体积VWXlABl2χ∣0EI=IOE吟

：.|0A|2=|AEr+：0E|2=6.

从而以OA为半径的球的表面积S=4"∙'0Λ∣2=24π.

思路分析先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾

股定理求出OA最后根据球的表面积公式计算即可.

30.（2013课标I,15,5分,0.123）已知H是球0的直径AB上一点,AH：HB=I：2,ABJ_平面α,H

为垂足，ɑ截球0所得截面的面积为∏,则球0的表面积为.

答案ɪ

解析平面a截球0所得截面为圆面,圆心为H,设球0的半径为R,则由AH：HB=I:2得

OHwR,

由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,

2

所以（9+I2=R2,得出R2=∣.所以球0的表面积S=4πR2=4π∙∣=∣π∙

31.（2013福建理，12,4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的

正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积

是.

17

答案12π

解析由三视图知:棱长为2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为2g,即为球的直

径.所以球的表面积为S=4π•（竽）=12π.

32.（2017江苏,6,5分）如图,在圆柱Oa内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相

切.记圆柱Oa的体积为％,球0的体积为V2,则£的值是.

答案I

解析本题考查空间几何体的体积.

设圆柱内切球的半径为R,

则由题设可得圆柱Oa的底面圆的半径为R,高为2R,

.匕_n层.2R_3

v

2，庐2,

33.（2018天津理,11,5分）已知正方体ABCD-ABeD的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余

各面的中心分别为点E,F,G,H,M（如图）,则四棱锥M-EFGH的体积为.

答案⅛

解析本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积.

由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为当即底面面积为右由正方体的性质知，四棱

锥的高为;.故四棱锥M-EFGH的体积V4×∣×⅛

34.（2016天津理，∏,5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所

示（单位：m）,则该四棱锥的体积为一£

18

俯视图

答案2

解析四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其面积为2X1=2∏Λ四棱锥的高为3m,所以

四棱锥的体积V=∣X2X3=2∏Λ

易错警示该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数g易漏写;二是底面平行四边

形的面积易错误地写成3X1=3∏Λ

评析本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积.

35.（2016四川，13,5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图

如图所示,则该三棱锥的体积是.

h—√3""*∣*∙"T

正视图

答案ɪ

解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2√3,三棱锥的高为1,则三棱

锥的底面积为（X√22-（百）2X2寻聪,

，该三棱锥的体积为gx√5xl=y.

评析正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键.

36.（2014山东理，13,5分）三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体

积为V„P-ABC的体积为V2,则少________.

v2

答案ɪ

4

解析如图，设SΔΛBD=S,,SAPAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则

S2=2SI,hz=2h”vl⅛lh,,v2⅛h2,.,--JHTS-

33为S2∏24