陕西省2023年中考数学试卷

陕西省2023年中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算：3-5=（）

A.2B.-2C.8D.—8

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（)

)

B.46°C.72°D.82°

A.3%4ysB.一3%4y5C.3%3y6D.—3%3y6

5.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=%+a（a为常数，a<0）的图象可能是（)

6.如图，DE是△ABC的中位线，点F在上,

若8C=6,则线段CM的长为（）

A.专B.7

第7题图

7.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一,图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形

状示意图.法是。0的一部分，D是油的中点，连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,

碗深CD=8cm,则O。的半径。力为（）

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

1

8.在平面直角坐标系中，二次函数、=%2+小%+„12一小伽1为常数）的图象经过点（（），6））其对称轴在y

轴左侧，则该二次函数有（）

A.最大值5B.最大值呈C.最小值5D.最小值呈

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.如图，在数轴上，点4表示值，点B与点力位于原点的两侧，且与原点的距离相等.则点B表示的数

是.

.B,一

-3-2-I0I23

第9题图第10题图

10.如图，正八边形的边长为2,对角线48、CD相交于点E.则线段BE的长为.

点E是菱形ABC。的对称中心，ZF=56°,连接ZE,则NB/E的度数为

12.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,户均在％轴正半轴上，点。在

边BC上，BC=2CD,48=3.若点8,E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式

是.

第13题图

13.如图，在矩形/BCO中，AB=3,8。=4.点£在边4。上，且EO=3,M、N分别是边力B、BC上的

动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为

三'解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.解不等式：与至＞2久.15.计算：V5x（-V10）-（I）-1+|-23|.

2

3a1、2a—1

16.化简:

17.如图.已知角△ABC,ZB=48。，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P.使PB=PC.且

NPBC=24。.（保留作图痕迹，不写作法）

18.如图，在△ABC中，NB=50。，ZC=20。.过点4作AE_LBC,垂足为E,延长E4至点D.使AD=AC.

在边AC上截取AF=连接OF.求证：DF=CB.

19.一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1,1,2,3.这些小球除标

有的数字外都相同.

（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为:

（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，

记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的

概率.

20.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本

的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.

21.一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高如图所示，

当小明爸爸站在点。处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得。F=2.4m；当小明站在爸爸影子的

顶端F处时，测得点A的仰角a为26.6。,已知爸爸的身高CD=l.&n,小明眼睛到地面的距离EF=1.6m,

点F、D、B在同一条直线上，EF1FB,CD1FB,AB1FB.求该景观灯的高4B.(参考数据：sin26.6°»0.45,

cos26.6°«0.89,tan26.6°*0.50)

22.经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3徵处的直径)越大，树就越高.通过对

某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径的一次函数.已知这种树的胸径为0.2小时，树

高为20瓶；这种铜的胸径为0.286时，树高为22m.

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？

23.某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红

柿的个数.其数据如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,50,54,54,54,54,55,60,62,62,

63,64.通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：

分组频数组内小西红柿的总个数

25<x<35128

35<%<45n154

45<%<559452

55<x<656366

根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全频数分布直方图：这20个数据的众数是上;

(2)求这20个数据的平均数;

4

(3)“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西缸柿的总个数.

24.如图，△ABC内接于。0,ZFXC=45°,过点B作BC的垂线，交。。于点。，并与CA的延长线交

于点E,作BF14C,垂足为M,交。。于点F.

(1)求证：BD=BC；

(2)若。。的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.

25.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为487n3,

还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门

图形放入平面直角坐标系中，如图所示:

方案-，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PELON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度ON，=8m,拱高PE=6m.其中，点N'在％轴上，P'E'1O'N',O'E'=E'N'.

要在拱门中设置高为37n的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架4BCD

的面积记为Si，点4、。在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABO的面积记为S2,点4,

2

D'在抛物线上，边8。在。N'上.现知，小华已正确求出方案二中，当49=3m时，S2=12V2m,请你根

据以上提供的相关信息，解答下列问题:

5

(1)求方案一中抛物线的函数表达式;

(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架力BCD的面积Si并比较Si，S2的大小.

26.(1)如图①，在AOAB中，0A=OB,AAOB=120°,=24.若。。的半径为4,点P在。。上,

点M在上，连接PM,求线段PM的最小值；

图①

(2)如图②所示，五边形4BCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个

交通枢纽.已知：/.A=Z.ABC=Z.AED=90°,AB=AE=10000m,BC=CE=6000次根据新区的自然环

境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为307n的圆型环道。。；过圆心。，作0Ml

AB,垂足为M,与。。交于点N.连接BN,点P在。。上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的

三条道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道。0的圆心。

到4B的距离OM的长.

6

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：3-5=2

故答案为：-2.

【分析】本题考查的是有理数的加减运算，利用有理数加减运算法则计算即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A错误；

B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，B错误；

C、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，C正确：

D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D错误.

故答案为：C.

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形;

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，

vZ1=108°,

•1•Z3=Z1=108°,

vIIIAB,

Z.A+Z3=180°,z.2=乙B,

24=180°—/3=72°,

乙4=2Z.F,

乙B=36°,

Z2==36°.

故答案为：A.

【分析】本题考查的是平行线的性质，利用角与角之间的等角关系求解.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：6%y2.(_*x3y3)=6X(-乡.％1+3y2+3=一3%4y5.

7

故答案为：B.

【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数基分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积

的因式.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：对于y=ax

/c=QV0,

二y随x的增大而减小，

对于y=%+a

v/c=1>0,

二y随久的增大而增大，

当x=0时，，y=a<0,

二y=x+a与y轴交点在X轴下方.

故答案为：D.

【分析】本题考查的是一次函数图象的性质，根据比例系数判断函数的增减性.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：•••BC=6,DE是△4BC的中位线，

•••DE||BC,DE=^BC=3,

:.乙FDE=4FBM,乙FED=乙FMB,

・•・△FDE〜△FBM,

DF_DE

丽二两’

・・・DF=2BF,

13

315

・・・CM=BM+BC=/6=今，

故答案为：C.

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和中位线的性质，通过线段之比求线段长度.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：设半径OA=r,

:.OA=OD=r,

•・,CD=8cm,

・•・OC=OD-CD=(r—8)cm,

•・•D是诵的中点，AB=24cm,

8

•••/-OCA=90°,AC=^AB=12cm,

-.OA2=AC2+OC2,

r2=(r-8)24-122,

r=13,

.・・OA=13cm.

故答案为：A.

【分析】先利用垂径定理得到直角三角形及AC的长，再利用勾股定理列方程，求得半径.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：把(0,6)代入)/=%2+M工+m2—根，得

m2—m=6,

m1=m，2=-2,

・・・二次函数对称轴在y轴左侧，

bm

"_2^=_T<0,

Am>0,

Am=3,

2r,(3\215

.・.y=%，+3%+6=1%+引4-4,

•••当》=-|时，y有最小值竽，

故答案为：D.

【分析】先用待定系数法解出函数解析式，再将一般式化为顶点式，得到函数的最值.

9.【答案】一百

【解析】【解答】解：•.•点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，

•••小B互为相反数，

•.•点A表示V5,

二点B表示一V3.

故答案为：—遍.

【分析】本题考查的是相反数的定义，根据定义直接得出结果即可.

10.【答案】2+2V2

【解析】【解答】解：连接G”，

9

•••正八边形的边长为2,

AC=CH=HB=2,AB||CH,CD||HG,AB1CD,Z.EAC=/.ECA,

•••四边形CEFH是平行四边形，/.AEC=乙CEF=90°,

EF=CH=2,Z.EAC=^ECA=45°,

:.AE=^AC=0，

同理可得BF=鱼，

BE=EF+BF=2+V2,

故答案为：2+e.

【分析】本题考查的是正八边形的性质、等腰直角三角形和矩形的性质，利用线段之间的数量关系求出

BE的长.

11.【答案】62°

【解析】【解答】解：如图，

•••四边形ABC0是菱形，乙4BC=56。，

1

^LABE=^ABC=28°,Z-AEB=90°,

/.BAE=180°-Z.AEB-LABE=180°-90°-28°=62°,

故答案为：62°.

【分析】本题主要考查了菱形的性质，先求出4ABE和乙4EB的度数，再通过三角形内角和得到^BAE的

度数.

12.【答案】丁=竺

【解析】【解答】解：设cr=a,

•.•四边形DCEF是正方形，

・•・CD=CF=EF=a,

・・•BC=2CD,

：・BC=2a,

10

•・•四边形OABC是矩形，AB=3,

.・.0C=AB=3,

；・B（3,2a）,E（3+a，a）,

•:点、B,E在同一个反比例函数的图象上，

k—3x2a=a（3+CL）,

Qi=。（舍去），a2=3,

fc=3x2a=18,

・・・反比例函数的表达式为y=¥，

故答案为：y——.

【分析】先根据矩形、正方形的性质设点坐标，再利用反比例函数的性质求出k的值.

13.【答案】2V2

【解析】【解答】解：如图，作点N关于EC的对称点N，，连接PN',

：.CD=AB=3,AB||CD,=4。=乙BCD=90°,

vED=3,

ACD=DE,

・・・zDCE=45°,

・•・(BCE=乙DCE=45°,

•・•点N、点N'关于EC对称，

•,点N在CD上,CN=CN;PN=PN;

・・・PM+PN=4,

・•・PM+PN'=4,

vBC=4,

:・PM+PN'=BC,即点M、P、V三点共线且MN'=BC,MN'||BC,

・・.四边形MBCN'是矩形，

:・BM=CN\乙PN'C=90。,

•:BM=BN,CN=CN',

1

.・・BN=CN=^BC=2,

11

PC=V2C/V'=V2CW=2V2,

故答案为：2&.

【分析】观察图形可发现PM、PN的关系类似于将军饮马模型中的图形特点，故作点N的对称点，然后

可得出点M、P、N三点共线这一结果，再利用矩形的性质求PC的长.

14.【答案】解：与三>2%,

去分母，得3x-5>4%,

移项，得3%-4x>5,

合并同类项，得一%>5,

不等式的两边都除以-1,得x<-5.

【解析】【分析】本题考查的是解不等式，最后一步不等式两边同时除以-1时，需要改变不等号方向，这是

本题的易错点.

15.【答案】解：原式=_5近一7+|-8|

=-5V2-7+8

=-5A/2+1.

【解析】【分析】先计算负指数幕、绝对值和乘法运算，再进行实数的加减运算.

知•【答案】解：(■一£),得

3aa+1a+1

’(a-l)(a+l)(a-2a-1

3a-(a+1)a+1

(a+1)(Q—1)2a—1

=2a—11

CL—12a—1

1

=arl,

【解析】【分析】先对括号里的分式进行通分，再对分式的分子、分母进行因式分解，然后约分化简.

17.【答案】解：如图，点P即为所求.

4

【解析】【分析】要使PB=PC,则点P在BC的垂直平分线上，而NPBC=4乙4BC,故点P在乙4BC的

角平分线上，所以点P是BC的垂直平分线与NABC的角平分线的交点.

18.【答案】证明：在△ABC中，ZB=5O°,ZC=20°,

12

/.Z.CAB=180°-zB-zC=110°.

•・,AE1BC.

・・・Z71EC=90°.

・・・乙DAF=^AEC+ZC=110°,

:.Z-DAF=乙CAB.

在△£MF和△C/B中,

AD=BC

乙DAF=LCAB,

AF=AB

.­.ADAF^ACAB(SAS).

・・・DF=CB.

【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，通过三角形的内角和与外角和，得到对应角相等,

进而证明三角形全等得出结论.

19.【答案】(1)1

(2)树状图如下:

I123II23II231I23

两贬积1123112322463369

由上可得，一共有16种等可能性,其中两数之积是偶数的可能性有7种,

•••摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率，.

1O

【解析】【解答】解：(1)P=9=5

4Z

故答案为:I

【分析】(1)标有数字1的小球个数占总数的比例与摸出它的概率一致.

(2)本题的易错点在于前后两次摸球时，球的总数没变，借助树状图列出所有可能再求出概率.

20.【答案】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是4元，则小笔记本的单价是(％-3)元，

•••买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，

:.4%+6(%-3)=62,

解得：%=8；

答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.

【解析】【分析】根据条件中的数量关系列出方程，然后求解即可.

13

21.【答案】解：过点E作EH1/B,垂足为H,

由题意得：EH=FB,EF=BH=1.6m,

设EH=FB=xm,

在中，乙4£77=26.6。，

:.AH=EH-tan26.6°«0.5x(m),

・・・AB=AH+BH=(0.5x4-1.6)m,

vCD1FB,ABLFB,

.・・乙CDF=4ABF=90。，

vZ-CFD=Z.AFB,

・•・△CDFs二ABF,

.CD_DF

’而二丽’

1.8_2.4

J，AB=-f

：

•AB=4

3

••-4rX=0.5x+1.6,

解得：x=6.4,

3

•••力B=/=4.8(m),

该景观灯的高AB约为4.8m.

【解析】【分析】本题考查的是三角函数的实际应用及相似三角形的判定与性质，根据题意构造所需要的直

角三角形是解题的关键，然后利用三角函数和相似比表示出对应边的代数式，再通过方程求解.

22.【答案】(1)解：设丫=0),

根据题意，得监卷梵；2?。2，

解之，＜：翁

•••y=25%+15：

(2)当％=0.3m时，y=25X0.3+15=22.5(m).

当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m.

【解析】【分析】(1)根据条件所给的数值，利用待定系数法求出函数表达式.

14

1

(2)%=x(28+154+452+366)=50.

.•.这20个数据的平均数是50；

(3)所求总个数：50x300=15000(个).

.•・估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个.

【解析】【分析】(1)频数总和等于植株总数；众数是指一组数据中出现次数最多的数.

(2)小西红柿的总个数除以植株总数的商就是数据的平均数.

(3)平均数与植株总数的乘积就是小西红柿的总个数.

24.【答案】(1)证明：如图，连接OC,

vBD1BC,

・・・乙BCD=90°-Z-BDC=45°,

・•・乙BCD=(BDC.

・•・BD=BC；

(2)解：如图，・・・NDBC=90。,

.1•CD为。0的直径，

ACD=2r=6.

15

:.BC=CD♦sinZ-BDC=6x¥=3夜,

・・.EC=y/BE2+BC2=J62+(3a)2=3显,

•・•BF1AC,

:•乙BMC=^EBC=9。。,(BCM=CBCM,

・•・△BCMs^ECB.

.BC_BM_CM

''~EC~~EB~~CB，

BC-EB3&X6„"BC2(3含)2r-

•••BM=―=7?—=——T=-=2V3,CM==---=76,

EC376EC376

连接CF,则zF=NBDC=45。，NMCF=45。，

MF=MC=V6.

BF=BM+MF=2^3+V6.

【解析】【分析】(1)本题主要考查的是圆周角定理，再结合三角形的内角和可以得到△BCD是等腰直角三角

形.

(2)本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先通过圆周角定理求出小BCD的边长，再利用相似得到BM、

CM的边长，然后根据圆周角关系得到ACMF是等腰直角三角形，即可得到BF的长.

25.【答案】(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4),

设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4,

把0(0,0)代入得：0=矶0-6)2+4,

解得：a=—i,

y

八

・，•y=一1,可(x—62)I+A4=-1g2*।+4可％；

.,•方案一中抛物线的函数表达式为y=-1x2+1x；

(2)在y=一义/+1%中，令y=3得：3=-^x2

解得％=3或%=9,