中考数学第一轮复习详解：一元二次方程(含中考真题解析)

专题08一元二次方程

W解读考点

知识点名师点睛

一元二次方程的概念会识别一元二次方程。

一元二1.

次方程

的概念2.一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。

解法步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程。

b2-4ac是一元二次方程

根的判

ax2+bx+c=0（a≠0）的判别会判断一元二次方程根的情况。

别式

式

根与系

bc

数的关会灵活运用根与系数的关系解决问题。

系xl+x2=U,xlx2=U

一元二

由实际问题抽象出一元二次方要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系.

次方程

程最后要检验结果是不是合理.

的应用

KT2年中考

【题组】

1.（来宾）已知实数。，葭满足"+工=7,'L12,则以。为根的一元二次方

程是（）

A.V7ι*l2=OB.'∙7`+12=0c.×1÷7x-l2=0

D.'7V120

【答案】A.

【解析】

试题分析：以「为根的一元二次方程'>-R0,故选A.

考点：根与系数的关系.

2.（河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）

A.1\♦I二（）B4τ-21÷I=0c'412r<36=0

D.','〕∙l

【答案】C.

t解析】

试题分析：A∙方程/-x+l=O,∙.∙2∖=l-4V0,方程无实额根；

B.方程4∕+2x+l=0,VΔ=4-16<0,方程无实数根J

c.方程/+I2χ+36=O,∙.∙a=ι∙μ-μμ=o,方程有两个相等的实数根；

ɔ.方程/+χ-2=o,∙∙∙a=ι+s>o,方程有两个不相等的实数根；

故选C.

考点：根的判别式.

3.(贵港)若关于X的一元二次方程("-∣)K-2r+2"有实数根，则整数a的最大值为

()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B.

【解析】

试题分析：；关于X的一元二次方程3-D∕-2x+2∙0有实数根，...4=(-2>-8("-l)

,3

=12X"∙()且“1*0,Λ2且。工1,.∙.整数a的最大值为0.故选B.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

4.(钦州)用配方法解方程+∣0κ-9=0,配方后可得()

23

A.(1"=16b.(>*^∣,-Ic(t+IO)-91D(X+1O)-1O9

【答案】A.

【解析】

试题分析：方程/+∣0x+9=0,整理得：.T+∣0N=-9,配方得：Λ+IOx+25=16,

即“+"16,故选A.

考点：解一元二次方程-配方法.

5.(成都)关于X的一元二次方程八二2、I-"有两个不相等的实数根，则人的取值范

围是()

A.λ>B.人-1c.八0D.*-1KAʃ0

【答案】D.

【解析】

试题分析：是一元二次方程，••.人，0,•••有两个不想等的实数根，则A>0,则有

'［一』,'I卜」，.∙"，I且八（），故选D.

考点：根的判别式.

6.（攀枝花）关于X的一元二次方程（'〃、，''"有两个不相等的正

实数根，则m的取值范围是（）

331.3、

m>—m>---<m<2-<m<2

A.4B.4且加W2C.2D.4

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据题意得力一2=0且a=（2m+l）;-4（m-2X物—2）>0,解得且物k2,

ɔwɪ1M7-2

设方程的两根为人3贝必+6=-^——>Q,ab=一ɪ=1>0,而2次+1>0一・.花-2<0,即加<

w-2W-2

；.M的取值范围为；<W<2.故选D∙

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

7.（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程1-4」3-“的根，则该三

角形的周长可以是（）

A.5B.7C.5或7D.10

【答案】B.

【解析】

试题分析：解方程'-J'+、-0，（X-1）（χ-3）=0,解得'','-I

••・当底为3,腰为1时，由于3>1+1,不符合三角形三边关系，不能构成三角形；

；•等腰三角形的底为1,腰为3；

.∙.三角形的周长为1+3+3=7.

故选B.

考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质；4.分

类讨论.

8.（巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降

价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为X,下面所列的方程中正确

的是（）

A2（Wl-Il1尸B.Vh（M-Il5Q5^<K∣-2«ι5

D.560(I-X”315

【答案】B.

【解析】

试题分析：设每次降价的百分率为X,由题意得：560(I-Xy=315,故选B.

考点：1.由实际问题抽象出一元二次方程；2.增长率问题.

(m-2)x:-—=O

9.(达州)方程4有两个实数根，则m的取值范围()

5,5

m>-m≤-

A.2B.2且c.a?1D."L'且加'2

【答案】B.

【解析】

ΛJ-2MO

<3-∕w≥O

Δ=(~<j3-m)2-4(m-2)×ɪ≥Om≤--

试题分析：根据题意得：4,解得2且故

选B.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

10.(泸州)若关于X的一元二次方程'>+4R∙∣。有两个不相等的实数根，则一次

【答案】B.

【解析】

试题分析：；丁一1「好一有两个不相等的实数根，.∙2=4-4(kb+l)>0,解得

kb<O,

A.k>0,b>0,即kb>O,故A不正确；

B.k>0,b<0,即kb<O,故B正确；

C.k<0,b<O,即kb>O,故C不正确；

D.k>0,b=O,即kb=O,故D不正确；

故选B.

考点：1.根的判别式；2.一次函数的图象.

11.(南充)关于X的一元二次方程》，八.二〃。有两个整数根且乘积为正，关于y的

一元二次方程”同样也有两个整数根且乘积为正•给出四个结论：①这两

个方程的根都是负根；②DI)?；③-I.2"，2/r1.其中正确结论的个

数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C.

【解析】

试题分析：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，xxxz=ln>0,V1V2=2W>0,

V1+v;≈-2n<0,再+X：=-2m<0，这两个方程的根都为负根，①正确；

②由根判别式有：△=—4&c=4"20,Δ=b^-4ac=4n*—8w≥0,4w*—8«=m^—2?7≥0,

4n:-8w=»?:-2w≥0,w:-2?«+l+»;:-2>7+l≥2,+(X-I)：22,②正确；

③*∙'Ji+V2=-In，yly2=2m,：.Im-In=y1+y2+y1v,,Vj1与此都是负整数，不妨令M=-3，

V；=-5，则:2nι-2)t=-S-15=7,不在-1与1之间，③错误，

其中正确的结论的个数是2,故选C.

考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式；3.综合题.

12.(佛山)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m,另一

边减少了3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()

【答案】A.

【解析】

试题分析：设原正方形的边长为xm,依题意有：(x-3)(χ-2)=20,解得：x=7或.故选

A.

考点：1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题.

13.（怀化）设。，。是方程\U的两个根，则阳,+L的值是（）

A.19B.25C.31D.30

【答案】C.

【解析】

,

试题分析：：内，毛是方程/+5x-3=0的两个根，..x1+X,=-5,XIW

:

xf+xj=（x1+x；）-2x1x,=25+6=31.故选C.

考点：根与系数的关系.

14.（安顺）若一元二次方程'2'，"二0无实数根，则一次函数,∣的

图象不经过第（）象限.

A.四B.ΞC.二D.—

【答案】D.

【解析】

试题分析：；一元二次方程T-11,10无实数根，，△<（）,；.Z∖=4-4（-m）=4+4m

<0,Λm<-1,Λm+I<l-1,即m+l<0,m-K-1-1,BPm-K-2,一次函数

J-I）'-ET的图象不经过第一象限，故选D.

考点：1.根的判别式；2.一次函数图象与系数的关系.

15.（山西省）我们解一元二次方程九’6ι=O时，可以运用因式分解法，将此方程化为

3"L’0,从而得到两个一元一次方程：0或'20,进而得道原方程的解为

∙vg,工2.这种解法体现的数学思想是（）

A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想

【答案】A.

【解析】

试题分析：我们解一元二次方程3ι'-6.10时，可以运用因式分解法，将此方程化为

M（Y2»0,从而得到两个一元一次方程："或120,进而得道原方程的解为

ʌ°,`2.这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A.

考点：解一元二次方程-因式分解法.

16.（枣庄）已知关于X的一元二次方程J+""-"-U的两个实数根分别为'

’,则m+n的值是（）

A.-10B.10C.-6D.2

【答案】A.

【解析】

试题分析：；关于X的一元二次方程/+wx+n=O的两个实数根分别为ɪi=-2,x2=4,：.-2+4=-m,

-2X4=«,解得：»1=~2,W=-S,.,.?ZJ+?!=-10,故选A.

考点：根与系数的关系.

(“-2>r?-I?u-1)v♦“+-="

17.（淄博）若a满足不等式组,则关于X的方程2

的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.以上三种情况都有可能

【答案】C.

【解析】

2u-∖≤∖

----->2（20*∙l）--4（α-2）（α∙—）

试题分析：解不等式组2,得a<-3,VΔ=2=2a+2,

（a-2）.v-（2a1）.v*u+ɪ=O

Va<-3,ΛΔ=2a+2<0,二方程2没有实数根，故选C.

考点：1.根的判别式；2.一元一次方程的解；3.解一元一次不等式组；4.综合题.

18.（烟台）如果'一一I（'一『'，那么X的值为（）

A.2或-1B.0或1C.2D.-1

【答案】C.

【解析】

试题分析：；''-IO",;.∖'II,即（x-2）（x+l）=O,解得：,,、，

T,当X=-I时，x+1=0,故X¥-1,故选C.

考点：L解一元二次方程-因式分解法；2.零指数幕.

19.（烟台）等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于X的一元二次方程3-6x∙〃-1二Q

的两根，则n的值为（）

A.9B.10C.9或10D.8或10

【答案】B.

【解析】

试题分析：三角形是等腰三角形，；.①平2,或打2,②金立两种情况：

①当a=2,或⅛=2时，∙.F,b是关于X的一元二次方程/-6X+H-I=O的两根，.∙.x=2,把户2代入

2

x-6x+"-l=0得,4-6×2+ji-l=0,解得:『9,当归9,方程的两根是］和4，而2,4,2不能组成

三角形，故，尸9不合题意；

②当一时，方程/-6x+,7-1=0有两个相等的实数根，:.△=(-6)：7GLD=0,解得：，尸10,故

选3.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.等腰直角三角形；4.分类讨论.

20.(大庆)方程"「5)的根是

=17

【答案】15,'-3.

【解析】

试题分析：方程变形得："、"ς'",分解因式得：‘、川"”',可

1717

得X5()或"17=0,解得：'；\3.故答案为：`

考点：解一元二次方程-因式分解法.

21.(甘孜州)若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程``7VH2ɪ0的两个实数

根，则矩形ABCD的对角线长为

【答案】5.

【解析】

试题分析：方程/-7x+l2=O,gp(x-3Xx-4)=0j解得：X1=3,0=4,则矩形

ABCD的对角线长是：V'4,=5.故答案为：5.

考点：1.矩形的性质；2.解一元二次方程-因式分解法；3.勾股定理.

22.(达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎

接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平

均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少

元？设每件童装应降价X元，可列方程为

【答案】(40-x)(20+2x)=1200.

【解析】

试题分析:设每件童装应降价X元，可列方程为：(40-χ)(20-2x)=1200.故答案为:(40-χ)(20-2x)

=1200.

考点：I.由实际问题抽象出一元二次方程；2.销售问题.

23.（广元）从3,0,—1,-2,一3这五个数中抽取一个敖，作为函数J八和关

于X的一元二次方程*1l'*w'-1"中m的值.若恰好使函数的图象经过第一、三

象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是.

【答案】2.

【解析】

试题分析：；所得函数的图象经过第一、三象限，.∙.<5,二3,0,-

1,-2,-3中，3和-3均不符合题意，

将m=0代入"八-IU中得，「-1rθ,Z∖=-4<0,无实数根；

将加=T代入（'"-D'""八7=°中得，7+1=0,X=I,有实数根，但不是一元

二次方程；

将WJ=2代入<吁1八*〃八-I=U中得,.V-2VI<∣,Δ=4+4=8>0,有实数根.

故m=2.故答案为：2.

考点：1.根的判别式；2.一次函数图象与系数的关系；3.综合题.

nm

24.（凉山州）已知实数m,n满足3"+6≡-5=0,3”+6"-5=0,且mw”，则∣wn

■2一?

【答案】-5.

【解析】

试题分析：V"时，则m,n是方程3J-6-5-O的两个不相等的根，,加•"-2,

5

mn=一-

2'-2x（-；）22

m3+Λ2（m+〃）'2mn55^22

；・原式=WM==,故答案为：5.

考点：1.根与系数的关系；2.条件求值；3.压轴题.

25.（泸州）设空、L是一元二次方程VCI="的两实数根，贝『丫的值

为.

【答案】27.

【解析】

试题分析：;百、七是一元二次方程x：-5x-l=O的两实数根，二百+上=5,x1x.=-1,

z:

+x2=（x1+x;）-2xlx∙*25-2≡2^,故答案为：

考点：根与系数的关系.

26.（绵阳）关于m的一元二次方程、"〃；'“的一个根为2,则"'

【答案】26.

【解析】

试题分析：把m=2代入、？"°得4、,〃-2〃2=°,整理得：

，，.后〃+—=2«（Λ+-）2-2C不?ɔ

〃"=2、，”所以n,所以原式=n=（-、＞-=26.故答案为：

26.

考点：一元二次方程的解.

II,

27.（内江）已知关于X的方程'6v+A"的两根分别是。，L,且满足'1,

则k的值是.

【答案】2.

【解析】

试题分析：Y关于X的方程『（＞'+人"的两根分别是'6,'v-k,

J1V÷Λ6.

—♦—-=--------=——3

VJ-''A,解得：k=2,故答案为：2.

考点：根与系数的关系.

28.（咸宁）将'∙C'+'配方成"的形式，则m=.

【答案】3.

【解析】

试题分析：x2+6x+3=（x+3）2-6=（x+w）2+n,则W=3,故答案为：3.

考点：配方法的应用.

29.（荆州）若m,n是方程/7ɪ＜）的两个实数根，则，J-.”的值为

【答案】0.

【解析】

试题分析：：m,n是方程'•，I="的两个实数根，•••〃，一〃-I,，〃•，”I,则

原式=（川-〃…W）=I-I=0,故答案为：0.

考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解.

30.（曲靖）一元二次方程'5」<有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若C

是整数，则C=.（只需填一个）.

【答案】故答案为：1,2,3,4,5,6中的任何一个数.

【解析】

试题分析：•••一元二次方程-有两个不相等的实数根，-

25

解得’4,：'+一',''T'c是整数，.∙.c=l,2,3,4,5,6.故答案为：

1,2,3,4,5,6中的任何一个数.

考点：L根的判别式；2.根与系数的关系；3.开放型.

31.（呼和浩特）若实数a、b满足ILI-'",则"•/'=.

A

【答案】2或1.

【解析】

试题分析：设“•A=χ,则由原方程，得：4'14『?|s0,整理，得：□'IH'h0,

ɪ_£_£

解得、"^2,4l,则。一八的值是一、或1.故答案为：或L

考点：换元法解一元二次方程.

32.（吉林省）若关于X的一元二次方程'A+m（J有两个不相等的实数根，则m的值

可能是（写出一个即可）.

I

m<—

【答案】答案不唯一，只要4即可，如：0.

【解析】

试题分析：：一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，；.△=1-4根>0,解得加<；,故答

案为：答案不唯一，只要崔即可，如：0.

考点：1∙根的判别式；2.开放型.

I2

33.（毕节）关于X的方程'-』r+3-0与K-I-K-U有一个解相同，则a=

【答案】1.

【解析】

试题分析：由关于X的方程'41+10,得：6-1）6-3）=0,；«-1=0,或*-3=0,

I2I2

aaaaaaιIBBHBfl

解得x=l或x=3；当x=l时，分式方程'I''a无意义；当x=3时，3ɪ3，”,解

得a=l,经检验a=l是原方程的解.故答案为：1.

考点：1.分式方程的解；2.解一元二次方程-因式分解法；3.分类讨论.

34.（毕节）一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同

样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是L.

【答案】20.

【解析】

40—X

40-X----------∙χ=IO

试题分析：设每次倒出液体xL,由题意得：40,解得：χ=60（舍去）

或x=20.故答案为：20.

考点：一元二次方程的应用.

35.（日照）如果m,n是两个不相等的实数，且满足加：3,那么代数

式？”mu-1»i∙2∣∣lς-.

【答案工

【解析】

zz

试题分析:由题意可知:叫“是两个不相等的实数,且满足m-m=3,n-n=3,所以叫“是V-x-3=0

的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：咕+，日，小产-3,又/=»+3,则

2w:-ww+2w+2015=2（?i+3）-?«?!+2»1+2015=2>»+6-?M?!+2»r+2015=2（»r+?i）->»«+2021=2×1-（-3）

+2021=2+3+2021=2026.故答案为：2026.

考点：根与系数的关系.

36.（成都）如果关于X的一元二次方程，Z'一'一<°有两个实数根，且其中一个根为另

一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法，正确的是

.（写出所有正确说法的序号）.

①方程'」-r-20是倍根方程；

②若O是倍根方程，贝U4"，：+5〃，〃+〃（）；

y≈-1

③若点（儿,/）在反比例函数、的图像上，则关于X的方程/'、是倍根方

程;

④若方程。J.八一，二°是倍根方程，且相异两点""+z∙”,“都在抛物线

5

v-αv+.+C上，则方程W'-ATr-O的一个根为4.

【答案】(2X3).

【解析】

试题分析：研究一元二次方程，八+M•，D是倍根方程的一般性结论，设其中一根为/,

则另一个根为2/,因此ur'+6xτ=3XTXX-川=加-3<"X+2∕Z,所以有

,9,9

H2—UC=OK=b`—Oc〃C

；我们记2,即Aj)时，方程W5AA•一二0为倍根方程；

下面我们根据此结论来解决问题：

,9

Λ?=Λ*-—R=10

对于①，二,因此本选项错误；

9

>X,一八K=(∕f-2mΓ—m(-2n)=0

对于②，植+(1〃一"3一2〃=(),而

(|，因此本选项正确;

o

,K≡3"%——pg≡0

对于③，显然M而2,因此本选项正确;

h_l÷∕+4-/_5

对于④，由M(l+∕∙”，N(4一/,"知2a^2,：.b=Sa,由倍根方

Yac=O>竺0at

程的结论知2,从而有9,所以方程变为：

卜一“，。，二”一3,七一^,因此本选项错误.

故答案为：②③.

考点：1.新定义；2.根与系数的关系；3.压轴题；4.阅读型.

I.x'÷4-ι≡4①

37.(黄石)解方程组：、'T.

×2=V5

【答案】

【解析】

试题分析：由②得2j=2-JGx③，把③代人①解答即可.

lx:+4ι'=4①L、L、

试题解析：，”Z由②得2j=2-√Jx③，把③代人①得：x*+（2-√3x）*=4,整理得：

[√3x+2v=2θ

X2-ʌ/ɜɪ=0解得：X[=0,W=W,当Xl=O时，Ji=1;当々=J5时，J：=一2,所以方程组的

玉二O

解是《

U=I

VS2=——

*4ɔ

考点：高次方程.

38.（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2

的矩形场地，求矩形的长和宽.

r∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕i

【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米.

【解析】

试题分析：设垂直于墙的一边为X米，则邻边长为（58-2x）,利用矩形的面积公式列出方

程并解答.

试题解析：设垂直于墙的一边为X米，得：X（58-2x）=200,解得：v25,v-4,

另一边为8米或50米.

答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米.

考点：1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题.

39.（巴中）如图，某农场有一块长40m,宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行

于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2,求小路的宽.

【答案】2m.

【解析】

试题分析：本题可设小路的宽为XW,将4块种植地平移为一个长方形，长为(4。-X)，”，宽为(32-x)训.根

据长方形面积公式即可求出小路的宽.

试题解析：设小路的定为X依题意有：(40-：.)(32-;.)=1140,整理，得.√-Tar140=O.解得$=2,

X2=TO(不合题意，舍去).

答：小路的宽应是2加.

考点：1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题.

40.(广元)李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的锲丝剪成两段，并把每段首尾

相连各围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58。",,李明应该怎么剪这根铁丝？

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48(〃，’.你认为他的说法正确吗？请说

明理由.

【答案】(1)12Cm和28Cm；(2)正确.

【解析】

试题分析：(1)设剪成的较短的这段为XC，"，较长的这段就为(M-X〉C?".就可以表示出这两个正方形的

面积，根据两个正方形的面积之和等于5$C加建立方程求出其解即可；

(2)设剪成的较短的这段为21,校长的这段就为(40-，”)5.就可以表示出这两个正方形的面积，根

据两个正方形的面积之和等于48,归建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确.

试题解析：设剪成的串交短的这段为X3,较长的这段就为GO-X)c*两个正方形面积之和为SC肝，则

5=(£)：+(i2∑Ξ)∖5=--5x+100(其中0<x<40),当s=58时，58=--5x+100,解这

4488

个方程，得Xl=I2,X2=28,当x=12时，较长的为兆一12=28,当x=28时，较长的为40—28=12U8,

应舍去，二应将之剪成12c加和的两段；

(2)两正方形面积之和为4S时，48=≤-5x+100,x1-40x+416=0,；

8

(-40)2-4×l×416=-64<0,二该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为抬0标，李

明的说法正确.

考点：I.一元二次方程的应用；2.几何图形问题.

41.（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使''居者有其屋”.某市加快了廉租房的建设力

度，市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，投资6.75亿元人民币建设廉租

房，若在这两年内每年投资的增长率相同.

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，问建设了多少万平方米廉租房？

【答案】（1）50%；（2）18.

【解析】

试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为X.根据投资6.75亿元人民币建设廉租房，列

方程求解；

（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果.

试题解析：（1）设投资平均增长率为X,根据题意得：“∣-nC7、，解得'

^25（不符合题意舍去）

答：政府投资平均增长率为50%；

⑵12（1+8）、18（万平方米）

答：建设了18万平方米廉租房.

考点：1.一元二次方程的应用；2.增长率问题.

42.（崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工

成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC±,

（1）求证：Z∖AEFsAABC:

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少？

【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400.

【解析】

试题分析：（I）根据正方形的对边平行得到BC"",即可判定ZUEFSZU5C;

FFAK

（2）设EG=*x,用X表示XK,根据FSA二C列比例式一=二可计算正方形边长,

BCBC

<3）设EG=Sx,根据人近心八二。用X表示EF,根据矩形面积公式可以写出矩形面积关于X的二次

函数，根据二次函数即可求出矩形的最大值.

试题解析：（1）；四边形EFGA为正形，.∙.BC"EF,.∙.Λz5E2A"C;

（2）设边长为X，"，"，；矩形为正方形，二印"3C,EGHAD,设EG=EF=X,则一\D=x,A∖=SO-χ,∙.,A4ZF

…C.EFAK80-x

SA_“c,；.—=——，解得A4S.

BCBC80

答：若这个矩形是正方形，那么边长是48"∣w;

FF4KFFRA-γ2

（3）设HG=J2>x,贝JT炸$0-x.TZUEFSAUC,/.一=：—,即一=—Ξ-..∖∑F=SQ--x,

BCBC120802

...矩形面积葬X1120■三X）=-三/+120A-三（X-40尸+24。。，故当户4Q时，此时矩形的面积最大，最大

面积为2400?«»»-.

考点：1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题；3.最值问题；4.压轴题.

43.（淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格

出售，每天可售出IOO斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低01元，每天可多售

出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低X元，则每天的销售量是斤（用

含X的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【答案】（1）100+200x;（2）1.

【解析】

试题分析：（1）销售量=原来销售量-下降销售量，列式即可得到结论;

（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论.

试题解析：〈D将这种水果每斤的售价降低X元，则每天的销售量是1W+FX20=100+200X斤J

0.1

（2）根据题意得：（4-2-xX100+200x）=300,解得：AW或E,「每天至少售出260斤，:1。0+2QoX

三260,ΛxS=O.S,Ar=1.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

考点：1∙一元二次方程的应用；2.销售问题；3.综合题.

44.（遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.

令234,则

L,1

(I-∕χ∕+-)-(zI-/--)/

原式=>>

一r-/--/

555

问题：(1)计算

„111l,lI111,„111I11、，111I、

23420142345201523452014201S2342∏M

；

(2)解方程(、'5一|八一

I

【答案】(1)2015.(2)'",λ:^^5.

【解析】

试题分析：⑴设=+!+工+…+』一=，，则原式=(ITXr+」■T)-(IT-1"，进行计算即可;

234201420152015

<2)设/+5x=r,则原方程化为：(f+l)(r+7)=7,求出r的值，再解一元二次方程即可.

试题解析：(D设:+!+…+J：='，

2342014

则原式=(ITxr+-ɪ-)-(l-r--J-)?

111

=f4--------/2--------z-r+r;+-------1

201520152015

1

=20155

(2)设/+5x=r,则原方程化为：(r+l)(r+7)=7,.∙.∕+8,=0,解得：r=0或，=一8,

当r=0时，X2+5x=0,X(X+5)=0,再=0,F=-5；

当r=-8时，xz+5x=-3,X2+5X+8=0,Δ=∂2-4ΛC=25-4×l×S<0,此时方程无解;

即原方程的解为：Xι=0,X2=-5.

考点：L换元法解一元二次方程；2.有理数的混合运算；3.换元法；4.阅读型；5.综

合题.

45.（十堰）已知关于X的一元二次方程J-Q"'5'-2∙',.

（1）若方程有实数根，求实数〃;的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为。，'，且满足‘''',-,求实数加的值.

…_L

【答案】（1）12；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）若方程有实数根，则解不等式即可：

（2）由根与系数的关系得到'+t=2m+3,Nf=/+2,由XR=M+2>0和

v'''得到A.L"一、'一即''一，I=2'「，代人即可得到

结果.

试题解析：（1）••・关于X的一元二次方程‘一-2-"有实数根，.∙.4≥O,

m≥-----

即(2"-3)"-4(,”-2)?O口；

2w

（2）根据题意得'+∕=+3,X/2=・I+2,∙.∙JCt*2*Λ√+2>O,...ks∣=x也,

V<+v：υ+∣vJ,...M+W=3l-S:,'j-,E

'''',解得m=2,m=-14（舍去），.∙.m=2.

考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.综合题.

46.（潜江）已知关于X的一元二次方程4一用（）.

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为、，、，且满足幻2,求实数加的值.

【答案】（1）m≤4;（2）m=-12.

【解析】

试题分析：3)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式≥0,求出，”的取值范围；

(2)根据根与系数的关系得到XI+x：=4,x1x,=m,再由5$+2xz=2,求出xl,xz,由m=X1∙x;

即可得到结论.

试题解析：3):方程有实数根，.∙.A=5L4αc=(7f-4M≥O,.∙.m54;

ββ

(2).xl+x:=4,5xl+2xz=2,.二七=-2>x：=6,/.W=x1∙x:=-2×6=-12.

考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系.

47.(鄂州)关于X的一元二次方程V+,?,'-Hv-A--I”有两个不等实根。，V.

(1)求实数k的取值范围.

(2)若方程两实根‘：满足J=KK求k的值.

3

【答案】(1)k>4；(2)k=2.

【解析】

试题分析：(I)由方程有两个不相等的实数根可得△=44Rf，求出k的取值范围；

(2)首先判断出两根均小于0,然后