新教材高中数学人教B版选择性第一册训练2-6-1双曲线的标准方程

第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为()A.y23x2=36 B.x23y2=36C.3y2x2=36 D.3x2y2=36答案A解析椭圆的标准方程为y264+x216=1,焦点为(0,±43),离心率为32,则双曲线的焦点在y轴上,c=43,e=23,从而a=6,b2=12,故所求双曲线的方程为2.(多选)当α∈π4,3π4时,方程x2sinα+y2cosα=A.两条直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线答案ACD解析当α∈π4,3π4时,sinα∈22,1,cosα∈-22,22,可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0).也可以是双曲线(sinα>3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1||PF2|=b,A.x24y2=1 B.xC.x2y24=1 D.x答案C解析由题意得|PF则该双曲线的方程为x2y24=4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点NA.3或7 B.6或14C.3 D.7答案A解析设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1||PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或35.动圆与圆x2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y28x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2||MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).6.已知双曲线x2m-y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x25+yA.2 B.3 C.4 D.5答案B解析由题意,双曲线x2m-y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x25+y∴4m+1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn≥135+24nm·m7.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1||PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有正确结论的编号).

①当d=0时,D为直线;②当d=1时,D为双曲线;③当d=2时,D与圆C交于两点;④当d=4时,D与圆C交于四点;⑤当d>4时,D不存在.答案①②⑤解析①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;②当d=1时,∵||PF1||PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.

答案x216解析设焦点F1(c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c=设双曲线方程为x2a2-y2∵双曲线过点(42,3),∴32a2又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216-9.已知与双曲线x216-y29=1解已知双曲线x216则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).故所求双曲线方程可写为x2a2∵点P-52∴-52化简得4a4129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254当a2=1254时,a2>c2,不合题意,舍去∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2y224=10.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(5,0),半径r1=1;圆F2:(x5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2||MF1|=3<10=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2a2=914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x29关键能力提升练11.(多选)已知方程x24-t+y2t-A.当1<t<4时,曲线C表示圆B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t<5D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4答案BCD解析由圆的定义可知,当4t=t1时,得t=52,此时方程x24-t+y2由双曲线的定义可知,当(4t)(t1)<0时,即t<1或t>4时,方程x24-t+y2t由椭圆的定义可知,当椭圆焦点在x轴上时,满足4t>t1>0,解得1<t<52,故C选项正确当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则4-t<0,t-综上所述,正确的选项为BCD.12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是()A.x2y24=1 B.x2yC.x2y215=1 D.x2y答案A解析若双曲线的方程为x2y24则a=1,c=5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1||PF2|=|PF2|=2a=2,即(x5)2+y2=4,与双曲线方程4x2y2=4联立可得5x225x3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.13.已知定点F1(2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案B解析连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,∴|MF2|=2.∵F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,∴||PF2||PF1||=||PF2||PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.14.已知F是双曲线C:x2y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为答案3解析因为F是双曲线C:x2y23=1所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4yP23=1,解得yP所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=15.数学家华罗庚曾说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题答案±4解析|x2+8即|(x+4)其几何意义是动点(x,2)到定点(4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4,∴该曲线为双曲线,∴2a=4,a=2,c=4,b2=12,∴双曲线的标准方程为x24-y212=1.∵点(x,2)在该双曲线上,∴x216.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=34所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为x2a2-y2b由|PM||PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2a2=1004=96,故所求方程为x24-17.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.解(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,MF1·MF2=0,则设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知mn=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得m·n=8,∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(4<λ<16),由于双曲线C过点(32,2),∴1816-λ∴所求双曲线C的方程为x212-学科素养拔高练18.设F1,F2分别是双曲线x2y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2=0,A.25 B.5 C.210 D.10答案C解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(10,0),F2(10,0).设点P(x,y),则PF1=(10x,y),PF2=(10x∵PF1∴x2+y210=0,即x2+y2=10.∴|PF1=2(x2+19.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O(1)设6<m<46,求OF与FQ的夹角θ(2)设|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时解(1)因为1所以tanθ=