高考数学人教B版一轮复习测评2-2函数的单调性与最值

核心素养测评四函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(多选)下列函数中,定义域是R且为增函数的是 ()A.y=ex B.y=x3C.y=lnx D.y=x【解析】选B、D.对于选项A,y=ex为增函数,y=x为减函数,故y=ex为减函数,对于选项B,y′=3x2≥0,故y=x3为增函数,定义域为R.对于选项C,函数的定义域为x>0,不为R,对于选项D,函数y=x定义域为R,且在R上单调递增.2.(2020·武汉模拟)函数f(x)=|x2|x的单调递减区间是 ()A.[1,2] B.[1,0]C.[0,2] D.[2,+∞)【解析】选A.f(x)=|x2|x=QUOTE其图象如图,由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=|x+a|在(∞,1)上是单调函数,则a的取值范围是 ()A.(∞,1] B.(∞,1]C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选A.因为函数f(x)在(∞,a)上是单调函数,所以a≥1,解得a≤1.4.函数y=QUOTE的单调增区间是 ()A.(∞,3) B.[2,+∞)C.[0,2) D.[3,2]【解析】选B.因为x2+x6≥0,所以x≥2或x≤3,y=x2+x6在(∞,3)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以y=QUOTE在[2,+∞)上单调递增.【变式备选】(2020·济宁模拟)函数f(x)=lg(x24)的单调递增区间为 ()A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)【解析】选C.由复合函数的单调性,要使f(x)单调递增,需QUOTE解得x>2.5.已知函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a+b>0,则有 ()A.f(a)+f(b)>f(a)+f(b)B.f(a)+f(b)<f(a)+f(b)C.f(a)f(b)>f(a)f(b)D.f(a)f(b)<f(a)f(b)【解析】选A.因为a+b>0,所以a>b,b>a.所以f(a)>f(b),f(b)>f(a),结合选项,可知选A.6.(2019·潍坊模拟)对于每一个实数x,f(x)是y=2x2和y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值是 导学号()A.2 B.1 C.0 D.2【解析】选B.画出函数f(x)的图象,如图所示:其中A(1,1),B(2,2),故当x=1时,函数f(x)的最大值为1.【一题多解】选B.f(x)=QUOTE当x<2时,函数f(x)的值域为(∞,2);当2≤x≤1时,函数f(x)的值域为[2,1];当x>1时,函数f(x)的值域为(∞,1).故函数f(x)的值域为(∞,1],所以f(x)max=1.【变式备选】已知函数f(x)=2x1,g(x)=1x2,构造函数F(x),定义如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=g(x),那么F(x) ()A.有最小值0,无最大值B.有最小值1,无最大值C.有最大值1,无最小值D.无最小值,也无最大值【解析】选B.画出函数F(x)的图象,如图所示,由图象可知,当x=0时,F(x)取得最小值,此时F(x)=x21,故最小值为1;当x>0时,函数的图象向右上方无限延展,所以F(x)无最大值.7.已知函数f(x)=QUOTE是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是 ()导学号A.(1,+∞) B.[4,8)C.(4,8) D.(1,8)【解析】选B.由f(x)在R上单调递增,则有QUOTE解得4≤a<8.【变式备选】已知f(x)=QUOTE是(∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是 ()A.(0,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为f(x)在R上单调递减,所以QUOTE解得QUOTE≤a<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020·北京模拟)函数y=QUOTE的最大值是______.

【解析】函数y=QUOTE>0,函数值取得最大值时,即当分母最小即可取得最大值,分母最小时x=0,|x|+2=2,此时函数最大值为:QUOTE.答案:QUOTE9.函数f(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上的值域为QUOTE,则a=________,b=________.导学号

【解析】因为f(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上是增函数,所以fQUOTE=QUOTE,f(2)=2.即QUOTE解得a=1,b=QUOTE.答案:1QUOTE10.若函数f(x)=x2+a|x1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________. 导学号

【解析】f(x)=x2+a|x1|=QUOTE要使f(x)在[0,+∞)上单调递增,则QUOTE得2≤a≤0,所以实数a的取值范围是[2,0].答案:[2,0](15分钟35分)1.(5分)(2020·黄冈模拟)设函数f(x)=QUOTE则满足f(x)≤2的x的取值范围是 ()A.[1,2] B.[0,2]C.[1,+∞) D.[0,+∞)【解析】选D.当x≤1时,21x≤2可变形为1x≤1,x≥0,所以0≤x≤1.当x>1时,1log2x≤2可变形为x≥QUOTE,所以x>1,故x的取值范围为[0,+∞).2.(5分)(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)2x]=6,则f(2)= ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.设t=f(x)2x,则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,因为f(x)是单调函数,f(2)=22+2=6,所以t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=4+2=6.3.(5分)(2020·连云港模拟)函数y=3x+QUOTE的值域是________.

【解析】函数y=3x+QUOTE,设QUOTE=t,则t≥0,那么x=t2+1.可得函数y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其对称轴t=QUOTE,开口向上,所以函数y在[0,+∞)上单调递增,所以当t=0时,y取得最小值为3.所以函数y=3x+QUOTE的值域是[3,+∞).答案:[3,+∞)【变式备选】函数y=QUOTEx(x≥0)的最大值为________.

【解析】令t=QUOTE,则t≥0,所以y=tt2=QUOTE+QUOTE,所以当t=QUOTE,即x=QUOTE时,ymax=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)已知函数f(x)=ax+QUOTE(1x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值. 导学号【解析】f(x)=QUOTEx+QUOTE,当a>1时,aQUOTE>0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,所以g(a)=f(0)=QUOTE;当0<a<1时,aQUOTE<0,此时f(x)在[0,1]上为减函数,所以g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.所以g(a)=QUOTE所以g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,所以当a=1时,g(a)取最大值1.5.(10分)函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)1,并且x>0时,恒有f(x)>1. 导学号(1)求证:f(x)在R上是增函数.(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a5)<2.【解析】(1)设x1<x2,则x2x1>0.因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2x1)>1,f(x2)=f[(x2x1)+x1]=f(x2x1)+f(x1)1,所以f(x2)f(x1)=f(x2x1)1>0⇒f(x1)<f(x