2022-2023学年江苏省南京市高三上学期期末模拟数学试题及答案解析

2022-2023学年江苏省南京市高三上学期期末模拟数学试题

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合M={x+1]-14X<3},N={2"0<X42},则MnN=()

A.{x∣0≤X<4}B.{x∣0<X<4}C.{x∣l≤x<4}D.{x∣l<x<4}

2.若复数Z满足IZ-Zl=2,z∙Z=3,则z2的实部为()

A.-2B.-1C.1D.2

3.若等差数列{%l}的前5项和为75,a4=2a2,则a9=()

A.40B.45C.50D.55

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,d),且P(-l<X<2)=3P(X>5),则P(-l<X≤

5)=()

A.0.5B,0.625C.0.75D.0.875

5.若正n边形442…4n的边长为2，ΣJ⅛ΛΛ7I∙Ai+1Ai+2=20√3,则n=()

A.6B.8C.10D.12

2

6.已知。为坐标原点，椭圆C：≡∣+y=l(a>1),C的左右两焦点分别为0,F2,4为C上

一点，其横坐标为1,且∣04∣2=MQ∣.∣AF2∣,则C的离心率为()

1C1

-B√2-D

A.442√22

7.若SinQ=2sin0,sin(α+0)∙tan(ɑ—S)=1,则tanatan∕?=()

A.2B.IC.1D.ɪ

8.若函数/(χ)的定义域为Z,且/O+y)+f(χ-y)=/(χ)LfCy)+f(-y)],/(-1)=

0√(0)=∕(2)=1.则曲线y=∣"x)∣与y=kg2∣x∣的交点个数为()

A.2B.3C.4D.5

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知点A(CoSa,sina),B(2cos∕J,√3sinj5)>其中α,0e[0,2ττ),则()

A∙点4的轨迹方程为/+y2=1B∙点B的轨迹方程为5+ξ-=l

C.∣4B∣的最小值为百一1D.∣4B∣的最大值为√5+1

10.记函数f(X)=cos(ω%+¾(ω>0)的最小正周期为7,且弊≤T≤nπ(neN*),若x=

4ɔvxO

为/(χ)的零点，则()

C.X=洲f(X)的零点D.X=誓为f⑶的极值点

11.对于伯努利数Brι(n∈N),有定义:BO=LBn=∑k°RB∣c(n>2),则()

111

A.B2=ɪB.B4=⅛C.B6=ɪD.B2n+3=O

12.已知函数f(x)=sin=,g(%,n)=£)"(%+i)(n>2),则()

A.g(x,4n)=0B.g(x,4n+2n)+/(x)=0

C.g(x+1,n∕(n))+/(x)=0D.g(x+n,n∕(n))+f(x)=0

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面

印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色,现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小

星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若

小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为.

14.已知。为坐标原点，抛物线C：y=,χ2的焦点为凡过点。的直线与C交于点4记直线04

F4的斜率分别为自，k2,且自=30，则IFal=.

15.在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO是边长为2的正方形，平面PABl平面PC。，则P-

4BCD体积的最大值为.

16.若函数f(x)=aex-sinx,,g(x)=ɑe*-xsinx,且/^(x)和g(x)在［0,兀］一共有三个零点，

则α=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设(Xd)是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为(七,与)，其中i∈N*,/6N*∕iι⅛ij=

P(X=ai,Y=与)是随机变量(Xd)的联合分布歹U.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形

式表示：

（X，y）瓦•••

QlPuP12

ɑzPziP22

——•••・・・

现将3张卡片等可能地放入A,B两盒，记4盒中的卡片数为X,B盒中的卡片数为匕求（X』）的

联合分布列.

18.（本小题12.0分）

在长方体4BCD-AIBlCIDl中，AC∙AB1=4,4Cl=Vβ∙

（1）求四面体/C/5体积的最大值；

（2）若二面角B-AC-Dl的正弦值为g,求ABCD-&B1GD1的体积.

19.（本小题12.0分）

记回ABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,分别以α,b,C为直径的三个圆的面积依次

为Si，S2>S3,已知Si+S2-S3=4+8.

（D若C=a求mABC的面积；

（2）若图ABC的面积为竽求回ABC周长的最小值.

20.（本小题12.0分）

已知数列｛an｝,｛匕｝满足的=d=1，甥是公差为1的等差数列，也+1-bn｝是公差为2的等

差数列.

（I）若∕⅛=2,求｛Gn｝,｛bn｝的通项公式；

（2）若电£”,an≥ab2,证明：+H------1-ɪ<3.

21.（本小题12.0分）

已知双曲线C：/一马=1（/）>0）的准线方程为％=±夕C的左右焦点为a,F2.

⑴求b;

(2)若直线L与C相切，切点为4过F2且垂直于1的直线与AFl交于点B,证明：点B在定曲线上.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ax2+InX,g(x)=2x+∣ln%.

(I)若/O)≥g(%)对％∈(0,+8)恒成立，求α的取值范围；

(2)记f(x)的零点为V%2)，g(%)的极值点为%o，证明：2>4e%o.

人2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

将集合M,N分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.

【解答】

解：因为M={x+l∣—l4x<3},则M={x∣0≤x<4),

又因为N={2x∣0<X≤2},则N={x∣l<x≤4},

所以MnN={x∣l<x<4}.

故选。.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，属于基础题.

设复数z=x+yi,(x,yCR),^z=x-yi,由复数的运算可得/=2,y2=ι,进而可得答案.

【解答】

解：设复数Z=X+yi,(x,yeR),则N=X-yi,

则由IZ-z∖=2,z∙z=3,可得∣2yi∣=2JLx2+y2=3,

解得/=2,y2=1,

故Z2=(X+yi)2=X2-y2+2xyi,其实部为/—y2=2-1=1.

故选C

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查等差数列中的基本量计算，属于基础题.

根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求出首项％与公差d,即可得解.

【解答】

解：设等差数列｛an｝的公差为d,

根据题意可得-即+竽d=75,解得的=5,d=5,

(α1+3d=2(α1+d)

∙*∙ɑg'ɑɪ+Qd—45.

故选B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率，属于基础题.

根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.

【解答】

解：因为X〜N(2,c√),所以P(-l<X42)=P(2《X<5),且P(X》2)=0.5,

又因为P(-4<X≤2)=3P(X>5),

所以P(X>2)=P(2<X<5)+P(X>5)=4P(X>5)=0.5,所以P(X>5)=0.125,

所以P(2≤X<5)=0.5-0.125=0.375,所以P(-l<X45)=2X0.375=0.75.

故选C

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的概念及其运算，属于中档题.

设正?1边形的内角为0,根据数量积公式可得44+；∙Ai+1Ai+2=-4cos0.由于∑1K44∙+1'∙

Ai71Ai^=20√3.根据求和公式得到等式CoS纥迦=驾，分别代入各选项的兀即可判断正误.

tτι'P"nn-2

【解答】

解：设正n边形的内角为。，则O=空迎，

・•.AiAi+l∙Ai+1Ai+2=2×2cos(τr—θ)=-4cos0>，^^44+ι∙4+14+2=—4(n—2)cosθ,

即一4(n-2)CoS^^=20√3≠>CoS^^=ς⅛,

vynnn—2

当n=6时，cos空里=CoSq=-以旁，4选项错误；

6326—2

当n=8时，cos∕≡=cos"=-或力若，8选项错误；

8428—2

当n=10时，cos。OUTr=cos~^^=­sin需>-sing=一导

由于孚<二鸟所以cosg≠孝，C选项错误；

当n=12时，CoS卑更=CoS等=一手=对，。选项正确.

126212—2

故选D

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查求椭圆的离心率，属于中档题.

设2(1,χ4),由|。4『=1+y/,∣AF∕=α+ex。，IzlF2I=a-ex0,根据题意列方程可得结果.

【解答】

解：设4(Lx4)，则今+y∕=ι,即y∕=ι-小

λ∖0A∖2=1+y/=1÷1--^=2-形.

又τ|40|=α+exA=a+e,∖AF2∖=a—exA=α—e,

22

.∙.∖AF1∖■∖AF2∖=a-e.

又∙.∙∣。*2=|4居|.|4&|，

.∙∙2-^=α2-e2①，

又U4=嘤=I-去②,a>1(3),

;由①②③得：a?=2,e2=ɪ.

又•・,0<e<1,

故选。.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，属于中档题.

由三角恒等变换结合已知条件化简求解即可.

【解答】

∫cos(α+∕?)=COSaCOsβ—sinasinβ

"∙ɔ^(cos(α—∕?)=cosacosβ+SinaSin夕

所以SinaSin∕?=ɪ[cos(α—β)—cos(a+/?)],

所以sin(α+∕7)sin(α—β)=∣(cos2∕?—cos2a),

又sin(α+β).tan(α-B)=1,

所以sin(α+/?)•:叫=1，即sin(α+0)sin(α-∕?)=cos(α—0),

1

所以2(cos2∕?—cos2α)=cos(α—B),

所以,(I—2sin2β—1+2sin2a)y=cos(α—/?),即si"α—sin2β=cos(α—/?),

又Sina=2sin∕?,

所以dsiMs-sin2β=cosacosβ+SinaSin夕，

所以4si7i2g_sin2β=cosacosβ+2sinλβ,

所以si*s=cosacosβ,

ɪ

所以^sinasin/?=cosacos/?,即SinaSin0=2cosacosβf

又易知CoSaCoS0≠0,

所以黑⅛=2,BPtanatan/?=2.

故选A.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查求函数值，考查对数函数的图象，考查分析推理能力与计算能力，属于较难题.

利用赋值法求出当Xez,且X依次取0,123,…时的一些函数值，从而找到y=If(X)I函数值变化的

规律，同理找到当x∈Z,且X依次取—1,-2,-3,…时，y=∣f(x)∣函数值变化的规律，即可求得答

案.

【解答】

解：由题意函数/(X)的定义域为Z,且/(X+y)+f(x-y)=/(x)[∕(y)+/(-y)].

f(一I)=Oj(O)=f(2)=1,

令y=1)则f(x+1)+Kx-1)=Λ%)[∕(i)+∕(-i)]=/W(l),

令X-1,则/(2)+/(0)=/2(1),即产⑴=2,

令X=2,则f(3)+f(l)=f(2)f⑴,即f(3)=0,

令X=3,则/(4)+/(2)=/(3)/(1),即/(4)=一1，

令X=4,则”5)+/(3)=/(4)/(1),即/(5)=-f⑴,

令％=5,则/(6)+/(4)=/(5)/(1),即/(6)-1=一产⑴/⑹=-1,

令X=6,则f(7)+f(5)=/(6)/(1),即f(7)—f(D=-/⑴,∙∙∙f(7)=0

令X=7,则f(8)+f(6)=f(7)f(l),即/(8)-1=0,Λ/(8)=1,

依次类推，可发现此时当Z,且X依次取0,1,2,3,…时,

函数y=∣f(x)∣的值依次为l,√∑,1,0,1,√Σ,1,0,…，即每四个值为一循环，

此时曲线y=If(X)I与y=1。备团的交点为(2,1);

令X=-1,则/(0)+/(-2)=/(—1)/(1)=0,∙∙∙/(-2)=-1,

令X=-2,则f(T)+/(-3)=/(-2)/(1)=-/(l),.∙√(-3)=一f⑴,

令X=-3,则f(-2)+f(-4)=/(-3)/(1)=一尸⑴,∙∙∙/(-4)=-1.

令X=-4,则f(―3)+/(-5)=/(-4)/(1)=-/(l),.∙√(-5)=0,

令X=-5,则/(-4)+/(-6)=/(-5)/(1)=0,.∙./(-6)=1,

令X=-6,则八-5)+/(-7)=/(-6)/(1)=/(I),---/(-7)=/(1),

令X=-7,则/(-6)+/(-8)=/(-7)/(1)=∕2(1),.∙./(-8)=1,

依次类推，可发现此时当％ez,且X依次取-1,-2,-3,-“时，

函数y=Iy(X)I的值依次为o,ι,√Σ,ι,o,ι,√Σ,ι,o,…，即每四个值为一循环,

此时曲线y=If(X)I与y=1。92田的交点为(T,0),(-2,1)；

故综合上述，曲线y-If(X)卜与y=bg2∣x∣的交点个数为3.

故选艮

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查与圆、椭圆有关的轨迹问题，属于中档题.

将45点坐标代入方程，即可判断4、B项；根据三角形三边关系，结合图象，即可求出∣4B∣的最

小值与最大值，即可判断C、D项.

【解答】

解：对于4项，将4点坐标代入，可得CoS2。+si/。=1成立，故4项正确；

对于B项，将B点坐标代入，可得(2c%)+(丹邛)=CoS2B+SiTi2B=I成立，故B项正确；

对于C项，A点轨迹为以(0,0)为圆心，1为半径的圆，B点轨迹为椭圆［+4=1，

43

显然∣B0∣>∣40∣=1,因为∣4B∣》IlBOI-MOlI=IBOl-1,当且仅当4B,。三点共线时(如图

Bl或色岛)等号成立,

所以MBlmin=|8。Imin-1，当点B为短轴顶点时取得最小值,即IBolmin=6=6，所以MBlmin=

√3-1，故C项正确；

对于D项,因为∣4B∣4∖A0∖+∖B0∖=∖B0∖+1,当且仅当2,8,。三点共线时(如图4出或心也)等

号成立，

所以IABlmaX=田。ImaX+1，当点B为长轴顶点时取得最大值，即|B。ImaX=a=2,所以MBlmaX=

3,故。项错误.

故选：ABC.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查求三角函数的解析式，考查余弦函数的零点、极值，属于中档题.

利用周期T=9计算出3的范围，结合&)=COS(等+：)=0计算出3的值，结合余弦函数的零

点、极值即可判断.

【解答】

解：∙.∙T=空，.∙.竽444n7r(neN*),

ω3ωvJ

得故A正确；

nn

由题意得/(J)=CoS(詈+力=0,

・•・詈+5=]+kτr,/c∈Z,

3

ʌω=-+6k,A∈Z,

72

又y-<s≤-∙,πEN*,

nn

则*T<k<以Jn∈N*,k∈Z,

当n=2有唯一解k=0,则3=|,故B错误；

Tf(X)=CoS(IX+'

则居)=COS(IX〉=一1,故C错误；

/(y)=CoS(IXm+$=1,故O正确.

故选AD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查与二项式定理有关的问题，属于较难题.

根据伯努利数的定义以及二项式定理，将当(n∈N)写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断

选项.

【解答】

解：由BO=I,Bn=Bk(n≥2)得，

Bn=∑ko%Bk=CRBO+CABl+C^B2+C≡B3+……+碑BrI(TI≥2),

所以，CABO+⅛F1+C^B2+eɜfiɜ+……+或TBnT=0(∏≥2),

同理，C°+ιB0+禺+/1+CKIB2+或+/3+……+常；BnT+CEIBn=0(n≥1),

所以,CQlBrl=—(C)?+IBO+Cn+1fi1+C^+1B2+C^+1B3++禺+；≥1)>

βn

Bn=一击(C1?+IBo+Cn+1B1+C^+1B2+Cn+1B3+......+Cn+ln-l)(>1)，

其中第τn+1项为:

11(n+l)n(n—1)......(n—m+2)

―C盟IB=-—T×m

n+1n+1mn+11x2x3X.......XTnB

n(n—1)......(n—m+2)

-1x2x3X......XTn-Bm

M九T)……5-m+2)gτn+l)Bm_Cyn

1×2×3×.....×τnn-m÷l-nn-m+1

1

即可得Bn=-(Cθ⅛+C⅛+C⅛+……+C-ʌɪ+……+Crβn-ι)(∏≥D，

令n=l,得B]=—©碧)=_；；

令n=2,得/=-(C嚼+(⅛)=

令n=3,得%=-(C°华+废与+废率)=W+；)=。，

同理,可得B,=WBS=0,B6=⅛,B7=0,β8=一表0=0,BIO=总BIl=0;

即可得选项AC正确，8错误；

由上述前12项的值可知，当n为奇数时，除了Bl之外其余都是0,

即殳“+1=0(n>1),也即B2n+3=0,neN,所以O正确.

故选ACD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性，考查学生分析推理能力，属于较难题.

首先理解g(x,n)=厚="(x+i)(n≥2),并写出g(x,4n),再利用函数/^(x)=Sin与的周期，结合

f(x+l)+f(x+2)+∕(x+3)+f(x+4)的值，即可判断选项4;代特殊值，判断B；CD选项注意

n≥2这个条件，则可判断n∕(n)中的/(n)=1,则可得=4fc+l,fc∈N*,这样结合条件和A的证

明，即可判断CD.

【解答】

解：4,•；g(x,n)=+i)(n≥2),

∙∙∙/W=sin≡,函数的周期T=争=4,

z2

f(x÷1)+f(x+2)+f(x÷3)+f(x+4)

Tr

=sin⅛X+y)+sin(y%+7T)÷Si∏GX÷-y-)+Sin(-≈x+2τr)

LΛLΛ乙乙乙

Tr.7Γ7Γ,.πC

=cos-%-sin-%—cos-%÷sιn-x=0,

4n

ʌg(x,4n)=ɪ/(%+i)=f(x+1)+/(x+2)+f(x÷3)+f(x+4)+...+/(%+4n)

i=l

=Oxn=O,故A正确;

B,当九=1时，g(%,4∙i+21)=g(x,6)=/(x÷1)+/(%+2)+...+/(%+6)

=/(x+1)+/(x+2)=COSlX-sinɪz,

・•・g(x,41+21)÷∕(x)=cos^x-sin+SinIX=cos不恒为0,故3错误;

C,当n=4k,∕c∈N*时，/(n)=0,

ʌg(x+l,nf(h))=g[x+1,0),由于九＞2,可知不合题意;

当九=4k+2,k∈N"时，/(几)=0,由上可知不合题意;

当九二4k+3,k∈N*时，/(τι)=-l

ʌg(x+lfnf(n))=g(x+1,-n),不合题意;

当中=4k+l,k∈N*时，/(n)=1,

g(x,n)=∑⅛ι∕(x+i)(n>2),

：,g(x+1,n∕(n))=g(x÷1,4k+1)

=f(x+2)+f(x+3)+...+∕(x÷4fc+2),

由A的证明过程可知，相邻四项和为0,所以f(%+2)+f(%+3)+.∙∙+f(%+4>+2)=f(%+2)=

.π

-Sin-X9

・•・g[x+lzn∕(n))+/(x)=-sin^x+sin=0,故C正确；

D,g{x+n,n∕(n))+/(%)=0,由C的证明过程可知，

g(x+nln∕(n))+/(%)=0

=/(x÷4/c÷1÷1)+/(x+4k+1÷2)÷/(x+4/c+1÷3)

+...+/(%+4fc+1+4fc+1)+/(%)

=/(%+2)+/(%+3)+/(%+4)+…+f(x+4k+2)+f(x)

=/(x+2)+/(x)=-sinX+sinx=0,故。正确.

故选ACD.

13.【答案】I

【解析】

【分析】

本题考查古典概型及其计算，属于基础题.

将所有情况列表排列可得小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡.

【解答】

解：按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，

小颖小星小颖小星小颖

情形一紫

情形二蓝紫

情形三蓝蓝紫

情形四蓝蓝蓝紫

情形五蓝蓝临蓝紫

其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为|.

故答案为∣∙

14.【答案】I

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，属于基础题.

设直线。4为y=Zqx,与抛物线方程联立，并根据自=3七，求得点A的坐标，利用两点间距离公

式求|尸川.

【解答】

解：设过原点的直线OA为y=%，联立｛；［或，解得［二粒C］翁

即A(4kι,4kJ),又“0,1),所以&=笔F，

因为的=3%所以h=3X需，解得：fc1=±^,

≡(±√6,∣),所以|凡4|=］(逐『+(1_|)2=|.

故答案为|.

15.【答案W

【解析】

【分析】

本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质，考查棱锥的体积，属于中档题.

过点P作-.「1〃交CD,4B于点E,F,过P作PoI平面4BC。,垂足为0,连接。民0F,

证明一()E，^OE//BC,同理可得。F〃BC,^EF//BC,且EF=BC=2,再根据面面垂直

的性质定理得PELPF,再设各个长度，在直角三角形PEF中得到等式进行化简，即可得关于OP的

式子，进而求得体积的表达式，求得最值即可.

【解答】

解：由题，过点P作/》ʃ/)"AH,分别交CzMB于点E,F,

过点P作P。，平面ABC。，垂足为。，连接。E,OF,

画图如下：

P().(f),

PE±('D.PO二平面POE,PEU平面POE,PoCPE=P,

：.CD1平面POE,

又。EU平面POE,

CDlOE>

♦.■底面ABCD是边长为2的正方形，

ΛCDlBC.

∙.∙OEu平面ABC。，BCU平面ABCD,

.∙.0E//BC,

同理可得。F〃BC,

故0,E,F三点共线，

S^EF/∕BC,EF=BC=2,

设平面PaBn平面PCn=I,

■■■AB//CD,ABU平面PAB,CDU平面PCO,

.∙.l//AB//CD,

Ph.('!)PEJ,

•••平面PABI5FffiPCD,平面P4Bn平面PCD=l,PEU平面Pm

Pi平面P4B,

...ppU平面PAB,

PI一PF，

不妨设PE=x,PF=y,OF=m,OE=2-2),

・•・x2÷y2=4①，

且0p2=pp2-0p2=pE2_0E2I

2222

EPy-m=x-(2-m)9

化简即：y2一%2=4rn_4②，

联立①②可得：y2=2m,X2=4—2m,

.・.OP2=y2-m2=2m—mz，

.∙.四棱锥P-ABCZ)的体积IZ=i×2×2×√2m-m2=⅛√-(m-I)2+1,(0≤m≤2),

当Jn=1时，Vmax=%

故P-ABCD体积的最大值为小

故答案为：*

16.【答案】誓或苧e4

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题.

x

考虑α<0,α=0,a>0三种情况，设FI(X)=ae,F2(%)=Sinx,F3(x)=ɪ,求出导函数,

根据两曲线相切计算得到Xiα=苧eV再根据ɑ的范围讨论零点的个数，计算得到答案.

【解答】

解：当Q<0时，/(x)=aex—sinx<0,g(x)=aex—xsinx<0,不成立；

当α=0时，/(x)=-sinx,g{x}=-xsinx,在［O,τr］上有0,几两个零点，不成立；

当Q>0时，/(O)=α≠0,%∈(O,τr］时，/(x)=aex—sinx=0,BPαex=sinx；

5(0)=α≠0,当％∈(0,7τ］时，g{x)=aex—xsinx=0,即W=SinX,

x

设Fl(X)=ae9F2(x)=sinx,F3W=—»

,xχ

则F1(x)=aeyF2()=cosx,F3'(X)二"■等2

x

当Fl(X)=aefF2{X}=sin%相切时，设切点为Cq,yι),则『‘对二SinX1，

Iae1—COSXj

解得XI=%a-^yβ-4;

当x6[0,1)时，F3,(X)<0,函数尸3(切=等单调递减;

,

当Xe(I,兀]时，F3(χ)>0,函数F3Q)=?单调递增.

画出产2(%)=sinx,F3(%)=(的简图，如图所示：

F2(X)=sinx,&(%)=等最多有两个交点，故g(%)最多有2个零点，

当α>苧e-铜，f(x)没有零点，g(x)最多有2个零点，不成立；

r-π

当a=ye^4∏⅛,f(x)有1个零点，三管)=驾<1=F2g)>9(乃有2个零点，成立；

π

χ4

现说明也<1，即4”<兀4,构造函数，∕l(χ)=4e-x,X∈[3,3.5],

π

∕ι,(x)=4ex—4x3=4(ex—%3),设九式％)=e*—二,九ɪʌ(ɪ)=ex—3x2»

设左2(%)=ex-3x2,h2(%)=ex-6%,设期(%)=ex-6x,h3'(久)=ex-6>0恒成立，故

x3

九3(%)=e—6%单调递增,∕ι3(x)>∕ι(3)=e—6×3>0,

x352x

故九2(%)=e—3/单调递增，h2(χ)<⅛2(3.5)=e∙-3×3.5<0,故九式%)=e—/单调递

减,九ι(%)<九(3)=β3—33<0,故九(X)单调递减，

π

3434

九(TT)<∕ι(3)=4e-3=4e-81<0,故2e”<π,所以幽<1.

π

当0<α<苧e4,/(x)有2个零点，g(x)有2个零点，若X=I是一个零点，则有两个零点重合，

满足题意，此时α=则ɪ.

e

综上所述：Q=网ɪ或Q=学6一彳.

e2

故答案为：空或苧e±

17.【答案】解：由题意，(X,y)的所有可能取值为(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),

且Pθ3=CX(2)3=1P3O=废XG)=∣,

P12=ɛɜ×φ3=P21=C3χ(I)=∣,

所以(x,丫)的联合分布列为：

(XI)3210

I

——1

3—8

3

2——-

8

3

1——-

8

1

0一——

8

【解析】本题考查利用二项分布求分布列，属于基础题.

易知(X,丫)的所有可能取值为(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),4盒中的卡片数一旦确定则B盒中的卡片数就

唯一确定了，利用二项分布求4盒中的卡片数为0,1,2,3时的概率即可.

18.【答案】解:

222222

设AB=α,BC=b,BB1—c,贝可近:=ɑ?+/，∣ΛF1∣=a+c>∣B1C∣=c+b>

且前-AB[=∖AC∖∙阿I∙cos"4Bι,

由余弦定理得：AC-AB；=\AC\-\AB；\-囤;舞谭ʧ=α2=4>则a=2,

又4Ci=√6=√α2+h2+c2,所以炉÷c2=2,

111

VACB1D1=abc-4×-×-abc=§Qb。，

即K4CBO=2bc<2χQ±∕=2,当且仅当b=C=I时等号成立，

3—323

即四面体AeBlDi体积的最大值为I；

过点。作AC的垂线，垂足为E,连接QE,

CLQb2^2-C2ITTO_2\

贝IJODl=c,jZTE，所以D】E=』2+分’

因为叫JL平面4BC。，AC⊂5Pffi½BCD,

所以叫LAC,H.ACIDE,

又DECDDI=D,DE,皿u平面DED1，

所以ACl平面DED1，且DIEU平面DED1，

所以AC1D1E,即NDEDl为二面角D-AC-Dl的平面角,

记二面角B-AC-必的平面角为。,

则二面角。一AC-Dl的平面角为兀-θ,

所以SE”就禹T手

则(¢2-1)(©2—10)=0,且¢2<2,所以C=1,所以b=1,

且匕BCD-41BIClDI=2bc=2,

所以4BC0-AlBlClDi的体积为2.

【解析】本题考查向量的数量积与余弦定理，考查棱锥的体积，考查基本不等式求最值，属于中

档题.

(1)根据数量积和余弦定理得到前•福=a?=4,即α=2,然后根据AC】=①得到乂+c?=2,

最后利用基本不等式求四面体ACBlDl体积的最大值即可;

(2)过点。作4C的垂线，垂足为E,连接。ιE,根据二面角的定义得到ZnECl为二面角D-AC-Dl

的平面角，然后根据二面角B-5的正弦值为孚列方程得到B-I)(C2_io)=O,C=1,

最后求体积即可.

19.【答案】解:⑴记回ABC的面积为S,

22222

因为Sl+S2-S3=ξ(α+b—c)=A+B=π-C=ɪ,所以α?+b—c=3,

由余弦定理得COSC=-+b~c2<所以a?+乂—¢2=2abcosC=y[2ab-3，

2ab

则而=苧,

所以S=JabSinC=∣×⅛×v=τ5

ZZVZZ4

22222

(2)因为Sl+S2-S3=l(a+b-c)=A+B=π-C,得a?+b-c=

又由余弦定理得M+h2-C2=2abcosC,

所以αb=%W>0,所以cosC>0,WJO<C<≡

πcosc乙

又S=ɪabsinC=tanC,设f(C)=tanC,0<C<^,

所以/，(C)=一包工+鼻=山磐>0，

πUcos1CTrCOSNC

所以/(C)在(0,9上单调递增，

且Ptan.竽，从而C=*所以就号，

则2αbcosC=α2+h2-C2=|,

^Γ‰2=α2+⅛2-∣≥2αh-∣=∣,即c≥竽，

且a+b≥2√HF=竽，当且仅当a=b=C=乎时取等号，

所以因ABC周长a+ð+C的最小值3X=2Λ∕6∙

【解析】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.

22

(1)由已知条件Sl+S2-S3=>1+B和C=今可得到+b-c=3,根据余弦定理可求得αb=

苧，即可由面积公式求得团ABC的面积；

(2)由已知得αb=鬻技>0,从而可得0<C<会由面积公式可得S=FtanC,构造函数/⑹=

一tanC确定其在0<C<］上单调性，由特殊值f偿)=竽，即可得C=会αb=|,结合基本不

等式得c≥等，α+b≥2√HF=殍，从而可求得团ABC周长的最小值.

20.【答案】解：⑴因为那=1,圜是公差为1的等差数列，

n

所以言=,即αn=nbrι,

因为｛%+ι-砥｝是公差为2的等差数列且B-b1=l,

所以bn+ι—bn=2n—1,

当n》2时，

b?-b]=1,b3—b?=3,Z?4—=5,・・・・・・，bγι—。九―ι=2(几—1)—1,

累加得bn—瓦=1+3+5+…+2n—3,

所以bn=(n—l)2+l(n>2),

又瓦=1满足上式，所以%=(TI-1)2+1

32

则Qn=nbn=n-2n+2n；

(2)因为bn+ι—bn=2n÷⅛2—3,

当九>2时,

由累加法可得bn—瓦=(h2—b1)÷(b3—b2)÷∙∙∙÷(bn-bn.1)

=(2+—2—3)+(4+-2—3)+…+[2(H—1)+Z>2—ɜ]

2

=n—4n+3+(n—l)b2,

2

所以bn=n-4n+4+(n-l)b2(n≥2),

2

又bi=1满足上式，所以bn=n-4n+4+(n-l)h2,

32

则Qn=n-4n+4n+n(n—l)h2，

则Ql=1,ab2=2域-Sbl+4h2，

^f(b2)=2bl-Sbl+4h2(fe2∈N*),

且「(尻)=6bl-IOb2+4≥0,

所以函数f(bz)=2域-5域+4b2{b2∈N*)是增函数，

所以。无？的,又αι≥c⅛z,所以电=1，

2

所以bn=n-3n+3,

22

且瓦=b2=l,bn=n—3n+3>n—3n+2,

从而*=n2-3n+3<n⅛-3n+2=一去但≥3),

所以V*+…+5<2+(1-5+(>»・“+心一言)=3-言<3(03),

当n=l时，4=l<3,n=2时，4+4=2<3,

所以;+；+…+5<3∙

Dlb2Dn

【解析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.

2

(1)根据已知求得αn-nbn,hn+ι-