第五讲 多属性决策方法(高级运筹学课件)

第五章多属性决策(Multi-attributeDecision-making)§5.1求解多属性决策问题的准备工作5.1.1决策矩阵设可供选择的方案集为:方案的属性集为:决策矩阵为:y1…yj…ynx1y11…y1j…y1n………………xiyi1…yij…yin………………xmym1…ymj…ymn例9.1学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完全容纳该地区适龄儿童，需要扩建其中的一所。在扩建时既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽可能小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑。)经过调研，获得如表9.2所示的决策矩阵。学校序号费用/(万元)平均就读距离/(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例9.2研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估。表9.3中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的数据。ji人均专著y1/(本/人)生师比y2科研经费y3/(万元/年)逾期毕业率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.29.1.2数据预处理数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：(1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的属性值越小越好，有的属性值越接近于某个值越好。因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。(2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣。(3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。1、线性变换原始的决策矩阵为Y={yij},变换后的决策矩阵记为Z={zij},i=1,…,m,j=1,…,n。设yjmax是决策矩阵第j列中的最小值。若j为效益型属性，则

zij=yij/yjmax

(9.1)采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。若j为成本型属性，可以令

zij=1-yij/yjmax(9.2)经过(9.2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属性也可以用下式进行变换：

zij’=yjmin/yij

(9.2’)用式(9.2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。表9.4表9.3经线性变换后的属性值表ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)z4’(y4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.00002、标准0-1变换从表9.4可知，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0;若最差值为0,最优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0,可以进行标准0-1变换。对效益型属性j,令

表9.5表9.3经标准0-1变换后的属性值ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.00003、最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为[yj0,yj*],yj’为无法容忍下限，yj’’为无法容忍上限，则变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一般梯形。ij生师比y2z2151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000表9.6表9.3之属性2的数据处理14、向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换：这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧式距离的场合。表9.7表9.3经向量规范化后的属性值表中最右一列是属性2经式(9.5)变换后的值再进行向量规范化的结果。ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)z2’(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.00005、原始数据的统计处理有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中的作用将被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个百分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：其中，是各方案属性j的均值，m为方案个数，M的取值可在0.5-0.75之间。式(9.7)可以有多种变形，例如：其中，σj方案集X中各方案关于指标j的属性值的均方差，当高端均方差大于2.5σj时变换的值均为1.00。这种变换的结果与专家打分的结果比较吻合。表9.8表9.3之属性1用不同方法处理结果比较ij人均专著y1(本/人)线性变换用式(9.7)(M=0.7)用式(9.7’)10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000６、专家打分数据的预处理有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评价对象的优劣。为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。M0和M*的选值不同对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间就行。具体算法为若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(9.3)相同。§9.1.3方案的筛选１、选优法又称优势法，是利用非劣解的概念(即优势原则)去淘汰一批劣解:若方案Ｘ中方案xi与方案xk相比时，方案xi至少有一个属性值严格优于方案xk，而且方案xi的其余所有属性值均不劣于方案xk,则称方案xi比方案xk占优势，或称方案xk与方案xi相比处于劣势；处于劣势的方案xk可以从方案集X中删除。２、满意值法又称逻辑乘法(即与门)。不失一般性，设各属性均为效益型。这种方法对每个属性都提供一个能够被接受的最低值，称为切除值，记作yj0(j=1,…,n),只有当方案xi的各属性值yij均不低于相应的切除值时，即yij≥yj0,j=1,2,…，n均满足时，方案xi才被保留；只要有一个属性值yij<yj0,方案xi就被删除。３、逻辑和法意为“或门”，这种方法与满意值法的思想正好相反，它为每个属性规定一个阀值yj*(j=1,…,n),方案xi只要有一个属性的值yij优于阀值yj*，即yij≥yj*,j=1或2或…n时，方案xi就被保留。§9.2确定权的常用方法

权包含并反映下列几重因素(1)决策人对目标的重视程度；(2)各目标属性值的差异程度；(3)各目标属性值的可靠程度。9.2.1最小二乘法9.2.2本征向量法

与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵A，为了便于比较第i个目标对第j个目标的相对重要性，给出aij的值。表9.9目标重要性判断矩阵A中元素的取值相对重要程度定义1同等重要3略微重要5相当重要7明显重要9绝对重要2,4,6,8两个相邻判断的中间值

CI与表9.10所给同阶矩阵的随机指标RI(randomindex)之比为一致性比率CR(consistencerate),即CR=CI/RI(9.16)比例CR可以用来判定矩阵A能否被接受。若CR>0.1，说明A中各元素aij的估计一致性太差，应重新估计。若CR<0.1,则可认为A中aij的估计基本一致，这时可用(9.14)式求得w,作为n个目标的权。由CR=0.1和表9.10中的RI值，用式(9.15)和式(9.16)，可以求得与n相应临界本征值：由上式算得的λmax’见表9.10。在用该法确定权时，可以用λmax-n来度量A中各元素aij(I,j=1,2,…,n)的估计的一致性。为此引入一致性指标CI:表9.10n阶矩阵的随机指标RI和相应的临界本征值λmax’n2345678910R0.000.580.901.121.241.321.411.451.49λmax’3.1164.275.456.627.798.9910.1611.349.2.3最低层目标权重的计算1、树状结构由树干向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权。求出各组权后，只要将上一层次目标的权与该目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总目标的权。(a)树状结构(b)网状结构2、网状结构设多目标决策问题的目标共有k+1级，其中第k-1、k和k+1级如下图所示，我们构造一个“第k+1级的某个元素xi对k-1级的某个元素z的优先函数”(优先函数表示第k+1级中各元素x1,x2,…,xi,…,xs对第k-1级中的元素z的相对的重要即优先性)，我们将此函数记作w,则第k-1级Z第k级第k+1级y1x1y2yjyr-1yrx2x3xixs-1xswz(yj)wyj(xi)…………可以记作：wk+1=Bk•wk(9.21)

设想在第k-1级上还有第k-2级，其中的元素为u，而第k-1级中有z1,…,zm共m个元素，则可以用Bk-1•wk-1去代替wk,得wk+1=Bk•Bk-1•…•wk-1如此继续下去就可以找到最低层各元素对最上层元素的相对重要性—权:

wk+1=Bk•Bk-1•…•B1w1(9.22)在求得最低层各目标的权wk+1后，结合最低层各目标的规范化属性值行向量yi=[yi1,yi2,…,yin],就很容易用加权和法或其他方法评价各方案的优劣。

§9.3加权和法9.3.1一般加权和法加权和法的求解步骤很简单：(1)属性表规范化，得zij,i=1,…,m;j=1,…,n。(2)确定各指标的权系数,wj,j=1,…,n。(3)根据指标Ci的大小排出方案i(i=1,…,m)的优劣。加权和法常常被不适当地使用，因为许多人不清楚使用加权和法意味着承认如下假设：(1)指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；(2)每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的；(3)属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。9.3.2字典序法字典序法是在w1》w2》w3》…》wn(符号》表示远远大于)时的加权和法，即某个目标w1特别重要，它与重要性处于第二位的目标又比重要性处于第三位的目标重要得多…。实质上字典序法是单目标决策，首先只根据最重要目标的属性值的优劣来判断方案集X中各方案的优劣；只有当两个或多个方案的最重要目标的属性值相同时，再比较它们的第二重要的目标的属性值；如此继续，直到排定所有方案的优劣次序为止。9.3.3层次分析法(AHP)层次分析法的求解步骤如下：(1)由决策人利用表9.9构造矩阵A。(2)用本征向量法求λmax和w。(3)矩阵A的一致性检验。若最大本征值λmax大于表9.10中给出的同阶矩阵相应的λmax’时不能通过一致性检验，应该重新估计矩阵A，直到λmax小于λmax’通过一致检验时，求得的w有效；(4)方案排序。例9.3设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是:(1)健康状况(2)业务知识(3)书面表达能力(4)口才(5)道德水平(6)工作作风。9.5TOPSIS法1、TOPSIS法的解题思路

TOPSIS是逼近理想解的排序方法(techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution)，它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。

理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的思路可以用下图来说明。图9.5理想解和负理想解示意图x1x5x4x0x2x6x3x*f2f13、用TOPSIS法求解例9.2(1)对表9.3所示属性值向量规范化，所得属性矩阵见表9.7。(2)设权向量仍为w={0.2,0.3,0.4,0.1},得加权的向量规范化属性矩阵如下:ijz1’z2’z3’z4’10.006920.200000.278240.0648220.013860.166670.222600.0303430.041560.666670.070120.0413740.020790.133330.166960.0537850.193900.00000.159200.01665(3)由上表和式(9.34)、式(9.35)，得理想解x*为(0.1939,0.2000,0.2872,0.01655)负理想解x0为(0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)(4)分别用式(9.36)和式(9.37)求各方案到理想点的距离di*和负理想点的距离di0,列于下表。(5)计算排队指示值Ci*(见上表),由Ci*值的大小可确定各方案的排序为：di*di0Ci*10.19310.65430.772120.19180.43540.657730.21940.25280.529740.21970.20220.479350.65430.19310.22549.6基于估计相对位置的方案排队法1、方案优先关系的表述(1)指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧表示优先关系，箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点。x3x1x2x5x4(2)表示优先关系的0-1矩阵x1x2x3x4x5x111110x201000x301111x410011x5000019.7ELECTRE法9.7.1级别高于关系的定义与性质

2、级别高于关系的图形表示设X={x1,x2,x3,x4,x5},且x1Ox2,x2Ox3,

x2Ox4,

x3Ox5,

x4Ox1,x5Ox3,则X上的级别主于关系可以用下图表示。图中有向弧的发出节点称为起点，有向弧箭头所指的节点称为终点。x2图9.7级别高于关系的指向图x1x4x3x53、级别高于关系的使用通过方案成对比较确定级别高于关系后，就可以利用这种关系画出相应指向图，并用级别高于关系指向图来删除级别较低的方案。

(1)如果某