湖北省郧阳中学2023年数学高二年级上册期末经典试题含解析

湖北省郎阳中学2023年数学高二上期末经典试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若圆q：f+y2—2-=0（。＞0）与圆C2：/+y2—4x+3=0相外切，贝心的值为（）

-IB.|

3

C.lD.-

2

2.已知直线/的方程为x+y-1=。，则该直线的倾斜角为（）

A.30B.45

C.60D.135

13

3.在等比数列｛4｝中，若％,%是函数〃月=3%3+5f+2X一3的极值点，则名的值是（）

B.-yfz

C.0D.+V2

4.已知圆M的圆心在直线x+y—4=0上，且点A（l,0）,5（0,1）在M上，则M的方程为（）

A.（x-2）2+（y-2）2=13B.（x-l）2+（y-I）2=1

C.（x-2）2+（y-2）2=5D.（x+Ip+（y+1）2=5

1

5.已知等比数列｛&｝中，an=T-,则由此数列的奇数项所组成的新数列的前〃项和为（）

A.1（2"-l）B.|（4"-l）

C.•|（4,'-2）D.4n-1

6.在等差数列｛&｝中，%=9,且%o构成等比数列，则公差d等于（）

A.OB.3

C.-3D.0或3

7.某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，3类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分

层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率()

91

A.—B.-------

202000

11

C.一D.—

210

8.如图，F],工是平面上两点，且怩&|=10,图中的一系列圆是圆心分别为耳，工的两组同心圆，每组同心圆

的半径分别是1,2,3,A,B,C,D,E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以耳，B为焦点的椭圆M上,

则()

A.点3和C都在椭圆”上B.点C和。都在椭圆M上

C.点。和E都在椭圆M上D.点E和3都在椭圆M上

9.已知数列｛4｝是等差数列，S“为数列｛4｝的前〃项和，4=1,S3=18,则S$=()

A.54B.71

C.81D.80

14

10.已知a>0,b>0,a+b=l贝！1)=一十—最小值是()

9ab

A.10B.9

C.8D.7

11.若z=l+i,则归卜()

A.O

C.72D.2

12.抛物线/=4x的焦点到直线x+y—3=0的距离d=()

A出B忑

2

C.lD.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将

所得数据按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则。=；这300

辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有辆.

14.a>0,b>0,若2是。与Z?+l的等比中项，则a+b的最小值为.

15.已知点M(-1,1,-2),平面万过原点。，且垂直于向量〃2,2),则点M到平面万的距离是.

16.随机抽取某社区15名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用(单位：元)，所获数据的茎叶图如图所示，则这15

个数据的众数是

茎|叶__________________

023578967

11452131

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在棱长为2的正方体AB。—44中，E,歹分别为A5,8c上的动点，且4£=陟=。.

(1)求证：\F1CXE.

(2)当a=l时，求点A到平面GM的距离.

18.(12分)如图，四边形是正方形，四边形BED尸是菱形，平面ABCDi平面BEDF=BD.

E

（2）若AB=BE,且平面ABCD，平面5EO尸，求平面ADE与平面CZ）尸所成的二面角的正弦值.

19.（12分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从6道备选题中一次性随机抽

取3道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中2个零件方可通过.6道备选题中，考生

2

甲有4个零件能正确加工完成，2个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是3,且每个零件正确加工完

成与否互不影响

（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；

（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力

20.（12分）某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查.将调查数据按平均每天锻炼

时间的多少（单位:分钟）分成五组：[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80],得到如图所示的频率分

布直方图.将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同

学定义为锻炼不达标

（1）求”的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；

（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这

6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在[50,60）内的概率

21.(12分)已知动点M到点F(0,2)的距离，与点M到直线/：y=-2的距离相等.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若过点尸且斜率为1的直线与动点"的轨迹交于A,B两点,求线段A5的长度.

22.(10分)已知函数/(x)=三-奴2一%，其中a为实数.

(1)若函数/(x)的图像在％=3处的切线与直线10%+y+l=0平行，求函数了。)的解析式;

(2)若/'(-1)=0,求/。)在［-2,3］上的最大值和最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.

【详解】由三十9—孙=0(a>o)可得无2+(y—a)2=/,所以圆G的圆心为(0,a),半径为。，

由一+/一4》+3=0可得(％—2)?+y2=i,所以圆C2的圆心为(2,0),半径为1,

_____3

因为两圆相外切，所以14+甲=a+l,解得a=Q，

故选：D

2、D

【解析】设直线倾斜角为a,贝Utana=—1,即可求出.

【详解】设直线的倾斜角为a,贝(ltana=—1,又因为ae［0,%),所以。=彳.

故选：D.

3、B

【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.

］。3,

【详解】f(x)=—x3+—x2+2%-3^>/'(%)=x2+3x+2=(%+1)(%+2),

当九<-2时，/(元)〉0,/(%)单调递增，当一2〈尤<一1时，/(%)<0,/(x)单调递减，

当x>-1时，/(%)>(),/(九)单调递增，所以—L—2是函数的极值点，因为—1<0,—2<0,

且?=a/<0

所以%=-J%•氏=-J(-1)x(-2)=—^/2,

故选：B

4、C

【解析】由题设写出的中垂线，求其与x+y-4=。的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得

圆的方程.

【详解】因为点41,0),5(0,1)在M上，所以圆心在AB的中垂线X—y=。上

由X：=0，解得=2,即圆心为(2,2)，则半径r=J(2—1)2+(2—0)2=速,

所以M的方程为(x-2『+(y-2『=5

故选：C

5、B

【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前〃项和公式计算，

【详解】由题意，新数列为句=%“T=227=4"T,所以伪=1,q=4,

1-4"1

前〃项和为Sn=丁了=§(平一1)

故选：B.

6、D

【解析】根据%=9,且%，%，Go构成等比数列，利用“知求解.

【详解】设等差数列｛&｝的公差为乙

因为%=9,且4，%，Go构成等比数列，

所以4+3d=9,(q+d)(q+9d)=81,

解得d=O,d=3,

故选:D

7、D

【解析】利用抽样的性质求解

【详解】所有学生数为2000+3000+4000=9000,

所以所求概率为幽■=’.

900010

故选：D

8、C

【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.

【详解】因为|Ar|+|A居1=3+9=12,

所以椭圆M中2a=12,

因为|8月|+|8工|=5+9wl2,|+||=5+6/12,

|£>E|+|。鸟|=5+7=12,|后片|+|E耳|=11+1=12,

所以。，E在椭圆”上.

故选：C

9、C

【解析】利用等差数列的前“项和公式求解.

【详解】•••{4}是等差数列，4=1,

/.S3=3q+3d=3+3d=18,得d=5,

6x5

:・$6=6qH—-—d=6+75=81.

故选：C.

10、B

【解析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成［展开后，利用基本不等式求得》的最小值

【详解】：a>0,b>0,a+b=l,/.y=|-+7|(«+^)=5+-+—>5+2J--=9,

bJabb

b4〃21

当且仅当2=；,即6=—,a=—时等号成立

ab33

故选：B

11、D

【解析】由复数的乘方运算求Z?，再求模即可.

【详解】由题设，z2=(l+i)2=2i,故产|=2.

故选:D

12、B

【解析】由抛物线V=4x可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】由抛物线V=4x可得焦点坐标为(1,0),

1-3厂

根据点到直线的距离公式，可得d==

即抛物线/=4.x的焦点到直线x+y-3=0的距离为Q.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①.0.025(2).180

【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出a的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率,

从而可求出汽车有多少辆

【详解】由10x(a+0.035+0.030+0.010)=l解得：。=0.025

这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有300x10x(0.025+0.035)=180

故答案为：0.025；180

14、3

【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得a+6的最小值.

【详解】由题可得。伍+1)=4,

444r-

则a+6=——+b=b+l+-----1"彷+1)-----=2〃—1=3,

b+1b+1Vb+1

4

当且仅当b+1=——/=l,a=2时等号成立.

b+1

故答案为：3

7

15、

3

UULLI

UUU1MOn

【解析】确定,利用点M到平面万的距离为d=,即可求得结论.

MOnrl

ULUlUUU1

【详解】由题意，MO=(1,-1,2)，n=(l,-2,2),MO-n=1+2+4=7

uuirruuirr

设MO与〃的夹角为a,则ncosa

UUU1

MOn7

所以点M到平面元的距离为d=

3

7

故答案为：-

3

16、11

【解析】将15个数据写出来，可得出这组数据的众数.

【详解】这15个数据分别为2、3、5、6、7、7、8、9、11、11、11、12、13、14、15,

该组数据的众数为n.

故答案为：11.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析

【解析】(1)如图，以为x轴，切为y轴，为二轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出AE和GE,

再证明即可;

⑵利用空间向量的数量积求出平面GEE的法向量a=(x,y,z),结合求点到面距离的向量法即可得出结果.

【小问1详解】

证明：如图，以为了轴，为丁轴，为二轴，建立空间直角坐标系,

则E(0,2—a,O),F(a,0,0),[(0,2,2),G(2,0,2),

所以4/=(。,—2,—2),QE=(-2,2-a,-2),

所以A尸•Cg=(a,—2,-2)•(―2,2-a,—2)=0,

故4尸，0石，所以

【小问2详解】

当a=l时，£(0,1,0),尸(1,0,0),A(0,2,0),C/2,0,2),

贝!IE尸=(1,—1,0),FQ=(1,0,2),AE=(0,-l,0),

设”=(x,y,z)是平面GE尸的法向量，则

y=x

n-EF=x—y=0

由＜「，解得x9取1=2,得〃=(2,2,—1),

n-FQ=%+2z=0z=—

2

出占，至w而「所的旦日宣出/milz7JAE1•川|(0,-1,0)(2,2,-1)|2

设点A到平面CXEF的距离为d,则d=------=------上----=—，

\n\V4+4+13

2

所以点A到平面JEF的距离为y.

18、(1)证明见解析；(2)2叵.

3

【解析】(1)连接AC交班)于点。，连接OE,要证明5。，4石，只需证明平面Q4E即可；

(2)以O为原点建系，分别求出平面与平面。。厂的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.

【详解】(1)证明：如图，连接AC交于点。，连接OE

四边形ABC。为正方形，

:.BD±OA,且。为的中点

又四边形班Z四为菱形，

BD±OE

,：OAOE=O,OA,OEu平面OAE,

平面。AE，

又A£u平面OAE

(2)解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设A5=2,

则出)=2&，OE=e，

则4(2,0,0),。(0,0,0),。(0,2,0)

由(1)得OELBD,

又平面ABCD，平面反邮，平面ABCD平面BEDF=BD,

：.OE1^ABCD,故E(l,l,企),同理/(1,1,一0),

DA=(2,0,0),DE=(1,1,扬,DC=(0,2,0),DF=(1,1,-72)

设加=（%,%,zj为平面DAE的法向量，九=（%,%，Z2）为平面DCF的法向量,

m-DA-2x=0,

则<r故可取m=(0,-V2,1),

m-DE=再+%+，2Z]=0,

n-DC=2%=0,

同理J一厂故可取〃=(、历,0,1),

_

n-DF=%+%V2Z2=0,

..m-n11

所以侬血,〃〉=丽=小万

设平面ADE与平面CDF所成的二面角为6,贝！Isin。=Jl—=孚,

所以平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值为久1

3

19、（1）分布列见解析

（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析

【解析】（1）设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为4、”,则占的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、

1、2、3,且〃〜吕卜,1],计算出两个随机变量在不同取值下的概率，可得出这两个随机变量的概率分布列;

⑵计算出£（/）、E⑺、尸管22）、尸（〃22）的值,比较后收）、£（〃）的大小，以及尸管22）、尸（〃22）的

大小，由此可得出结论.

【小问1详解】

解：设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为自、

则J的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、1、2、3,且

「1C21C2cl3C31

产(。=1)=避=,。何=2)=k=寸^=3)=^=-,

所以，考生甲正确加工完成零件数&的概率分布列如下表所示:

所以，考生乙正确加工完成零件数〃的概率分布列如下表所示:

0123

1248

P

279927

1312

【小问2详解】解：E（^）=lx-+2x|+3x-=2,E（〃）=3x§=2,

“22）=；+；=：P（〃22）=：+W所以，尸（空2）＞尸（*2）,

JJJy乙/乙/

从做对题的数学期望分析，两人水平相当；

从通过考查的概率分析，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的试验操作能力较强.

4

20、(1)a=0.05,中位数为64；(2)］.

【解析】(1)由频率和为1求参数a,根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.

(2)首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.

【详解】（1）由题设，（0.005+0.010+0.015+0.020+0x10=1,可得。=0.05,

二中位数应在［60,70)之间，令中位数为x,则0.05x(70—%)+0.02x10=0.5,解得％=64.

•••该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.

(2)由题设,抽取6名同学中1名在［30,40),2名在［40,50),3名在［50,60),

若1名在［30,40)为A，2名在［40,50)为片,不，3名在［50,60)为。”。2，。3,