八年级数学反比例函数的图象与性质

八年级数学反比例函数的图象与性质目录contents反比例函数基本概念反比例函数图象绘制反比例函数性质分析反比例函数在实际问题中应用典型例题解析与拓展课堂小结与课后作业布置01反比例函数基本概念形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。反比例函数定义反比例函数的表达式中，自变量$x$位于分母位置，且分子为常数$k$。表达式特点定义与表达式由于分母不能为0，因此自变量$x$的取值范围是$xneq0$的所有实数。自变量$x$的取值范围反比例函数的定义域是除去使分母为0的$x$值以外的所有实数。函数定义域自变量取值范围当$k>0$时在第一象限和第三象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小。函数图象位于第一象限和第三象限，且关于原点对称。函数值变化规律当$k<0$时函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。在第二象限和第四象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐增大。无论$k$取何值（$kneq0$），反比例函数的图象总是无限接近于坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。函数值变化规律02反比例函数图象绘制列表法绘制步骤确定自变量的取值范围列出函数值绘制坐标点连接各点根据题目要求或实际情况，确定自变量$x$的取值范围。在自变量的取值范围内，选取一些具有代表性的点，计算对应的函数值$y$。在坐标系中，以自变量$x$的值为横坐标，函数值$y$的值为纵坐标，绘制出对应的坐标点。用平滑的曲线连接各坐标点，得到反比例函数的图象。确定关键点计算函数值描出关键点绘制图象描点法绘制技巧01020304在自变量的取值范围内，选取一些关键点，如与坐标轴的交点、极值点等。计算关键点对应的函数值。在坐标系中，描出关键点的位置。根据关键点的位置，用平滑的曲线绘制出反比例函数的图象。图象形状反比例函数的图象为双曲线，两支分别位于第一、三象限或第二、四象限。反比例函数的图象关于原点对称。当$k>0$时，反比例函数的图象在第一、三象限内随着$x$的增大而减小；当$k<0$时，反比例函数的图象在第二、四象限内随着$x$的增大而增大。反比例函数的图象不会与坐标轴相交。当$x$趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的图象分别趋近于$x$轴和$y$轴。对称性与坐标轴的交点渐近线增减性图象特征与性质03反比例函数性质分析观察法通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各自象限内的增减性。具体来说，当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。解析法对于反比例函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，函数图象在第一、三象限，且y随x的增大而减小（即减函数）；当k<0时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大（即增函数）。增减性判断方法对称性表现反比例函数的图象关于原点对称。即如果点(x,y)在反比例函数的图象上，那么点(-x,-y)也在该图象上。证明设点P(x,y)是反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上任意一点，则xy=k。根据关于原点对称的点的坐标特征可知，点P关于原点的对称点P'的坐标为(-x,-y)。将(-x,-y)代入y=k/x中，可得-y=(-k)/(-x)，即xy=k。这说明点P'也在反比例函数的图象上。对称性表现及证明反比例函数的图象与坐标轴没有交点。因为对于反比例函数y=k/x(k≠0)，当x=0时，y无意义；当y=0时，x也无意义。所以反比例函数的图象不会与坐标轴相交。与坐标轴交点情况04反比例函数在实际问题中应用

面积问题建模与求解矩形面积问题通过给定矩形的面积和一边的长度，利用反比例关系求解另一边的长度。三角形面积问题通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。平行四边形面积问题通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关系求解另一组对边的长度。匀速直线运动问题通过给定物体的速度和运动时间，利用反比例关系求解物体运动的路程。变速直线运动问题通过给定物体的加速度、初速度和运动时间，利用反比例关系求解物体运动的路程。行程问题建模与求解通过给定工作总量和工作时间，利用反比例关系求解工作效率。工作效率问题工程进度问题工程费用问题通过给定工程总量、已完成工程量和剩余时间，利用反比例关系求解工程完成所需的总时间。通过给定工程总费用、已完成工程量和剩余时间，利用反比例关系求解工程完成所需的总费用。030201工程问题建模与求解05典型例题解析与拓展例题2已知点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k>0$）的图象上，且$x_1<x_2$，比较$y_1$和$y_2$的大小。例题1已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$），当$x=2$时，$y=3$，求该反比例函数的解析式。例题3已知反比例函数$y=frac{m}{x}$与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$A(2,3)$和$B(-1,-6)$，求这两个函数的解析式。典型例题分类解析拓展题101已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$）的图象经过点$P(3,-2)$，求该函数的解析式，并判断点$Q(-2,3)$是否在该函数的图象上。拓展题202已知反比例函数$y=frac{m}{x}$与一次函数$y=ax+b$的图象交于点$M(4,-1)$和$N(1,-4)$，求这两个函数的解析式，并求出它们的另一个交点坐标。拓展题303已知点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$和$C(x_3,y_3)$都在反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k<0$）的图象上，且$x_1<x_2<0<x_3$，试比较$y_1$、$y_2$和$y_3$的大小。拓展题目挑战尝试对于反比例函数的解析式求解问题，通常可以通过已知条件建立方程求解参数。对于反比例函数图象上点的坐标特征问题，可以通过分析函数性质或利用已知条件进行推理判断。对于反比例函数与一次函数的交点问题，可以通过联立两个函数的解析式求解交点坐标。在解题过程中需要注意分类讨论和数形结合的思想应用。解题思路总结归纳06课堂小结与课后作业布置反比例函数的定义形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。反比例函数的图象反比例函数的图象是两条分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线，这两条双曲线关于原点对称。反比例函数的性质当$k>0$时，双曲线位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，双曲线位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。关键知识点回顾总结在绘制反比例函数图象时，未注意到双曲线关于原点对称的性质，导致图象绘制不准确。在分析反比例函数性质时，未注意到$k$的正负对函数图象和性质的影响，导致分析错误。忽略反比例函数定义中$kneq0$的条件，导致错