高中数学空间向量的运算

关于高中数学空间向量的运算平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．相等的向量：

长度相等且方向相同的向量．ABCD第2页,共47页，2024年2月25日，星期天⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则(首尾相连)第3页,共47页，2024年2月25日，星期天⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

第4页,共47页，2024年2月25日，星期天推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：第5页,共47页，2024年2月25日，星期天⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：第6页,共47页，2024年2月25日，星期天⑵向量的减法aba-b三角形法则

减向量终点指向被减向量终点第7页,共47页，2024年2月25日，星期天一、空间向量的基本概念空间向量

零向量单位向量相等向量相反向量既有大小，又有方向的量长度为零的向量长度为1的向量方向相同，长度相等的向量方向相反，长度相等的向量向量的模表示向量的有向线段的长度第8页,共47页，2024年2月25日，星期天9ababbb第9页,共47页，2024年2月25日，星期天a+babABbCOa-

b二、空间向量的加减运算第10页,共47页，2024年2月25日，星期天11加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.2、对空间向量的加法、减法的小结第11页,共47页，2024年2月25日，星期天ABCDA’B’C’D’例1第12页,共47页，2024年2月25日，星期天解：ABCDA’B’C’D’始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量第13页,共47页，2024年2月25日，星期天练习1、在如图所示的平行六面体中，求证：ABCDA’B’C’D’变式：已知平行六面体则下列四式中：其中正确的是

。第14页,共47页，2024年2月25日，星期天15例如:三、空间向量的数乘运算法则第15页,共47页，2024年2月25日，星期天16

显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律FEDCBA第16页,共47页，2024年2月25日，星期天17四、共线向量及其定理第17页,共47页，2024年2月25日，星期天18lAPB即，P,A,B三点共线。或表示为：第18页,共47页，2024年2月25日，星期天19分析:

证三点共线可尝试用向量来分析.N第19页,共47页，2024年2月25日，星期天20五.共面向量及其定理:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。第20页,共47页，2024年2月25日，星期天21第21页,共47页，2024年2月25日，星期天22第22页,共47页，2024年2月25日，星期天231.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()第23页,共47页，2024年2月25日，星期天243.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面第24页,共47页，2024年2月25日，星期天AMCGDB第25页,共47页，2024年2月25日，星期天例3(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,

,

,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

第26页,共47页，2024年2月25日，星期天例3(课本例1)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.证明：∵四边形ABCD为①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。第27页,共47页，2024年2月25日，星期天例3已知ABCD，从平面AC外一点O引向量求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG。证明：由面面平行判定定理的推论得：②由①知第28页,共47页，2024年2月25日，星期天六、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]第29页,共47页，2024年2月25日，星期天七、两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.BB1AA1第30页,共47页，2024年2月25日，星期天2、空间两个向量的数量积的性质第31页,共47页，2024年2月25日，星期天3、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：

向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?第32页,共47页，2024年2月25日，星期天例4、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)|4a一2b|．第33页,共47页，2024年2月25日，星期天如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：练习6ABCDEFG第34页,共47页，2024年2月25日，星期天练习7解：第35页,共47页，2024年2月25日，星期天在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习8第36页,共47页，2024年2月25日，星期天已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习9第37页,共47页，2024年2月25日，星期天第38页,共47页，2024年2月25日，星期天练习11第39页,共47页，2024年2月25日，星期天八、向量的直角坐标运算新课第40页,共47页，2024年2月25日，星期天1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。九、距离与夹角第41页,共47页，2024年2月25日，星期天在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式第42页,共47页，2024年2月25日，星期天2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。第43页,共47页，2024年2月25日，星期天例5．已知

解:第44页,共47页，2024年