福州高新区实验中学2023-2024学年九年级下学期2月开门适应性训练数学试卷（含答案）

福州高新区实验中学2023-2024学年九年级下学期2月开门适应性训练数学试卷一、单选题1．下列选项中是一元二次方程的是（

）．A． B．C． D．2．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列事件中，属于必然事件的是（

）．A．泉州明天会下大雨 B．在369个人中，一定有两个人在同日出生C．打开电视机，正好在播新闻 D．小明这学期数学期末考试得分是1464．函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（

）A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）5．的值等于（

）A． B． C． D．16．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（

）．A．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平格4个单位，再向上平移3个单位8．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（

）A． B． C． D．9．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于()A．20° B．25° C．30° D．32.5°10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：；；；；，其中，正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．在平面直角坐标中，点关于原点对称的点的坐标是12．一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是．13．若反比例函数的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值）．14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为．（结果保留π）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为．16．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，则的面积是．三、解答题17．解方程：．18．如图，，分别交于两点．求证：．19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值．20．如图，一次函数的图象交y轴于点，与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点坐标为．(1)确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)直接写出不等式的解集．21．学校在八年级进行物理实验考查，设置有A、B两个实验，并规定由学生自己抽签决定参加其中的一个实验考查，小明、小丽和小亮都参加了本次考查.(1)小明参加实验A考查的概率是；(2)用树状图求小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率.22．已知，请按以下要求完成本题：(1)请作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）：(2)若在中，的直径交于E，求的度数．23．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：时间（天）售价日销售量（）已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．(1)求与的函数关系式；(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．25．如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；(3)如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若，求GC的长．参考答案：1．A【分析】本题考查一元二次方程的定义．找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A2．D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．【详解】A项是轴对称图形，不是中心对称图形；B项是中心对称图形，不是轴对称图形；C项是中心对称图形，不是轴对称图形；D项是中心对称图形，也是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．B【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】解：A．泉州明天会下大雨是随机事件；B．在369个人中，一定有两个人在同日出生是必然事件；C．打开电视机，正好在播新闻是随机事件；D．小明这学期数学期末考试得分是146是随机事件．故选B．4．C【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）故选C.5．D【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：，故选：D．6．A【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，∴k+1＜0，解得k＜﹣1．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．7．B【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可【详解】抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程是先向左平移4个单位，再向上平移3个单位．故选：B．8．C【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键．【详解】解：在和中，，A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；C、，不能证明，符合题意；D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到，不符合题意；故选C．9．A【分析】连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．【详解】解：连接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．10．C【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．由抛物线开口向下得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点在轴上方得，所以；由于时，函数值小于，所以；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点在点和之间，则当时，，即；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以，整理得到．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴为直线，，，抛物线与轴的交点在轴上方，，，所以错误；时，，，所以正确；抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，抛物线与轴的一个交点在点和之间，当时，，，所以正确；抛物线对称轴，，即，所以正确；抛物线的对称轴为直线，当时，有最大值，，，所以正确；综上，正确的结论有，故选：C．11．【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可．【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的点的坐标是．故答案为：．12．4【分析】此题考查了概率的应用，根据题意得到红球的数量等于白球加黑球的数量，然后列方程求解即可．【详解】解：∵从中任取一个球，取得是红球的概率与不是红球的概率相同，∴，解得．故答案为：4．13．3（答案不唯一）【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数的图象位于第一，第三象限求出k的取值范围即可求解．【详解】解：∵比例函数的图象位于第一，第三象限，∴，∴，∴k的值可以是3故答案为：3（答案不唯一）．14．/【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，从而连接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可．【详解】解：∵AB=AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，连接AD，则AD=BC=1，则S扇形AEF=．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD的长度及∠BAC的度数．15．【分析】先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出BC，然后证明三角形是等边三角形，得到∠=60°，即可证明三角形是等边三角形，从而得到，由此求解即可.【详解】解：连接，在中，90°，∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，由勾股定理得：，∵将绕点C按逆时针方向旋转得到△，∴，，，∵∠A=60°，∴三角形是等边三角形，∴∠=60°，∴三角形是等边三角形，∴.故答案为：.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16．【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．【详解】解：如图所示，轴，，，则，，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，，对称轴为直线，轴，，则，，故答案为：．17．【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程.【详解】解：所以【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题．18．见解析【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定；根据圆内接四边形对角互补，可得，进而证明，即可得证．【详解】解：∵，分别交于两点．∴四边形是内接圆，∴，∵，∴，又∵，∴，∴即19．(1)；(2)．【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案；（2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，解得；（2）解：∵，∴，．∵，∴，∴，∵，∴．20．(1)(2)或【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围．【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，∴，∴，∵，在上，∴，解得，∴；（2）联立，解得：，，∴，根据图象可知的解集为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．21．(1)(2)，图见解析【分析】本题考查画树状图法求概率，概率公式：（1）直接利用概率公式求解；（2）通过画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：小明参加实验A考查的概率是，故答案为：；（2）解：如图，由图可知，共有8种等可能的情况，其中符合要求的情况有3种，因此小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率为．22．(1)见解析(2)【分析】（1）作三角形两边的垂直平分线的交点为外心，再以外心到顶点的距离为半径作圆；（2）连接，再根据圆周角定理和三角形的外角定理求解．【详解】（1）如图所示为所求作的的外接圆；（2）连接．是的直径，又又，故的度数为．【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的外接圆，圆周角定理和三角形外角的性质是解题的关键．23．(1)(2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键．（1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解；（2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解．【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，∴利润为：，整理得，；当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，∴利润为：，整理得，；综上所述，．（2）解：由（1）可知，当时，，∴当时，利润为元；当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，，∴当时，利润为元；∵，∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元．24．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式;(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论；（3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可.【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+．当x=时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），∵O（0，0），C（0，﹣3），∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：①当OC=QC时，3=|m|，解得：m=±，此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；②当OC=QO时，3=，解得：m=3或m=0（舍去），此时点Q的坐标为（3，0）；③当QC=QO时，有|m|=，解得：m=，此时点Q的坐标为（，﹣）．综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中.25．(1)BF=DE，BF⊥DE；(2)CF的最大值为，最小值为(3)【分析】（1）延长BF交AD于点H，交DE于点G，由四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠BAD=90°，而AF=AE，∠EAF=90°，所以∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，即可证明△BAF≌△DAE，得BF=DE，∠ABF=∠ADE，则∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，即可证明BF⊥DE；（2）连接AC，因为正方形的边长为，，根据勾股定理求出AC的长，再根据“两点之间线段最短”得AC-AF≤CF≤AC+AF，可知当CF=AC-AF时，CF的值最小，当CF=AC+AF时，CF的值最大，求出CF的最大值和最小值即可；（3）连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，由正方形ABCD的边长为，DG：C