2022年全国初中数学竞赛模拟试卷

2022年全国学校数学竞赛模拟试卷一、填空题(共7小题，每空2分，满分20分)1.(2分)已知m-n=-5,m²+n²=13,那么m⁴+n⁴=2.(2分)如图，以AB为直径画一个大半圆，BC=2AC,分别以AC,CB为直径在大半P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于米.4.(4分)如图，有个正方形，有个三角形.5.(2分)在平面直角坐标系中，点P[m(m+1),m-1](m为实数)不行能在第象限.6.(4分)某校组织师生春游，假如单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；假如单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参与春游的人数为;若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种积为二、选择题(共1小题，每小题4分，满分2分)8.(2分)假如a,b,c均为正数，且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abe的值是()A.672B.688C.720D.750三、解答题(共9小题，满分100分)9.(8分)已知a,b,c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，为什么?10.(8分)如图所示，在四边形ABCD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四边MEFN,NFCD的面积分别记为S,S₂和S,求11.(9分)已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数.是否存在n,使得5n+3是质数?假如存在，恳求出全部n的值；假如不存在，请说明理由.12.(10分)某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和其次位数之间加上3成为一个七位数；其次次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发觉他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍.问这家原来的电话号码是多少?13.(10分)如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数.请写出这个9位数，简洁说明理由.第2页(共18页)584623498549356917639536948214.(10分)平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以选出多少个三角形?(前两问不要求说明理由)15.(15分)壮壮、菲菲、路路诞生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮龄的总和是105岁.请回答：是路路的妈妈?壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，16.(15分)请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和?能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和?假如能，请给出一个例子；假如不能，请说明理由.17.(15分)甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点动身，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达动身点后马上回头加速跑其次圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的甲跑其次圈时速度比第一圈提高乙跑其次圈时速度提高了已知甲、乙二人其次次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米?第3页(共18页)2011年全国学校数学竞赛模拟试卷一、填空题(共7小题，每空2分，满分20分)【分析】依据m-n=-5,m²+n²=13,可求出mn=-6,然后利用完全平方公式即可得出答案.【解答】解：∵m-n=-5,m²+n²=13,故m⁴+n⁴=13²-2×36=97.故答案为：97.【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是娴熟把握完全平方公式.2.(2分)如图，以AB为直径画一个大半圆，BC=2AC,分别以AC,CB为直径在大半u内部画两个小半圆,那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于【分析】设出小半圆的半径为x,利用BC=2AC,得到稍大半圆的半径和大半圆的半径，然后算出阴影部分的面积并求出它们的比值即可.【解答】解：设AC=2x,∴阴影部分的面积与大半圆面积的比为：第4页(共18页).3.(2分)加油站A和商店B在大路MN的同一侧(如图),A到MN的距P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于7米.【分析】当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB,所以当ABP在同始终线上时，PA与PB之差最大=AB=7.此时三点构成三角形∵两边AP与BP的差小于第三边AB∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：7.【点评】本题考查了对称的相关学问，解题时关键是弄清当三点在同始终线上时，距离之差最大.第5页(共18页)角边长为3的直角三角形，④直角边长为4的直角三角形，⑤斜边长为2的三角形，⑥斜边长为4的三角形，⑦1~6列依次有3+3+3+2+3+3=17个.从而可算出三角形的个数.【解答】解：(1)一类是有一组对边为水平方向的正方形个数，这类正方形的个数为6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91.另外还有4个正方形.所以正方形的个数为91+4=95;(2)①直角边长为1的三角形的个数为6×6×2=72个.②直角边长为2的三角形8+6+2+8+6=30个.③直角边长为3的直角三角形4+2+4=10个④直角边长为4的直角三角形有2个.⑤斜边长为2的三角形12+3+1+4=20个.⑥斜边长为4的三角形1+2+1=4个.⑦1～6列依次还有3+3+3+2+3+3=17个.所以三角形的个数为72+30+10+2+20+4+17=155个.故答案为：95;155.【点评】本题考查看图力量，关键是能够分类找出正方形和三角形，最终求出和.5.(2分)在平面直角坐标系中，点P[m(m+1),m-1](m为实数)不行能在第二象限.【分析】先确定点P的横坐标的符号，进而推断点P的纵坐标的符号，即可得到它可能在或m-1>-1或m-1<-2,即P[m(m+1),m-1]可能经过第一或四象限.即P[m(m+1),m-1]经过第三象限.第6页(共18页)标的符号是解决本题的突破点.6.(4分)某校组织师生春游，假如单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；假如单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位.则该校去参与春游的人数为_270;若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这【分析】(1)设该校去参与春游的人数为a人，单独租用45座客车需辆，单独租用60座客车需辆，依据单独租用60座客车，可以少租一辆，可求出春游的人数；(2)设租用45座客车x辆，则租用60座客车(x+1)辆，依据同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，列出不等式组可解出这种方案需要的租金.【解答】解：设该校去参与春游的人数为a人，则有设租用45座客车x辆，则租用60座客车(x+1)辆，由题意若单独租45座客车需要270÷45=6辆，租金250×6=1500元，若单独租60座客车需要(270+30)÷60=5辆，租金300×5=1500元，则有：即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3=1400(元)故答案为270,1400.【点评】解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系.7.(2分)如图，P是平行四边形ABCD内一点，且Sᴀ=5,S=2,则阴影部分的面第7页(共18页)则S=Scp-ScD-SAD’=SA-SAPAD’=3.故答案为：3.【点评】本题主要考查平行四边形内三角形面积的求解问题，应娴熟把握此类问题.二、选择题(共1小题，每小题4分，满分2分)8.(2分)假如a,b,c均为正数，且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abe的值是()A.672B.688C.720①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc,ca,ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值.【解答】解：∵a(b+c)=152,b(c+a)∴ab+ac=152①bc+ba=162②∴①+②+③,并化简，得：ab+bc+ca=242④,第8页(共18页)三、解答题(共9小题，满分100分)9.(8分)已知a,b,c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否肯定能被13整除，为什么?5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+te),则有7x+13y=52x+13z=7,从而得出y=2,z=1,t=-1,则有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c,从而得出代数式5a+7b-22c的值能被13整除.例如：取x=10,则有y=-5,z=-1,t=-4,则有5a+7b-22c=10(7a+2b+3c)-13(5a+b+4c)实际上，(2)是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到x=-3+13k,y=2-7k,这里k是任意整数，将x=-3+13k代入其余方程，解得z=1-2k,t=-1-3k,5a+7b-22c=(-3+13k)(7a+2b+3c)+13[(2-7k)a+(1-2k)b+(-1-3k)c].【解答】解：设x,y,z,t是整数，并且假设5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc)(1)应当有7x+13y=52x+13z=7(2)可以得到y=2,z=1,t=-1,第9页(共18页)既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除，5a+7b-22c就能被13整除.【点评】本题考查了数的整除性问题，特殊值法是常用的方法.【解答】解：如图a所示：连接AE、EN和NC,∵AM=MN=ND,BE=EF=FC,上面两个式子相加得SAEu+SAcw=S₂,设四边形AECN的面积为S,..∵AM=MN=ND,BE=EF=FC,..第10页(共18页)图a【点评】本题主要考查了机敏运用三角形的面积公式，分别求出各个量与中间量得关系，分别用中间量表示各个量，代入所求式子求值的方法，关键在于设出合适的中间量.11.(9分)已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数.是否存在n,使得5n+3是质数?假如存在，恳求出全部n的值；假如不存在，请说明理由.【解答】解：假如2n+1=k²,3n+1=m²,则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k²由于5n+3>(3n+1)+2=m²+2>2m+1,所以2k-m≠1(否则5n+3=2k+m=2m+1).从而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合数.【点评】本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了分类争辩思想，本题中争辩2k-m与2k+m的值是解题的关键.12.(10分)某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和其次位数之间加上3成为关键描述语升位后的8位数是原6位的33倍，列出不等式即可求得结果.【解答】解：设原电话号码为abcdef,则升位后为2a3bcdef,令bcdef=x第11页(共18页)化简得32x=20300000-2300000a(I≤a≤9,0≤x<100000的整数),解得171<23a≤203,所以a=8.故所求的电话号码为859375.而找到所求的量的等量关系.13.(10分)如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数.请写出这个9位数，简洁说明理由.58462349854937569176395369482【分析】此题可以用排解法填数，用(m,n)表示位于第m行和第n列的方格.依据“小九宫”格已填的数，并按要求使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复进行分析填【解答】解：填数的方法是排解法，用(m,n)表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9,所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在第1列、第2列和第七行有数字5,所以，在图右下角的“小九宫”格中的数字5只能第七行、第八行有数字6,图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在(9,6);此时，在第九行尚缺数字7和3,由于第9列有数字7,第12页(共18页)所以，7应当填在(9,8);3自然就填在(9,9)了，填法见图.九位数是：495186273.846213498549356917639536949)862/【点评】此题考查的学问点是整数问题的综合运用.解答此题关键是依据要求使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复接受排解法填数.14.(10分)平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以选出多少个三角形?(前两问不要求说明理由)【分析】(1)先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的其次个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法；由于任何3个点不在同一条直线上，所以这样选出的三个点可以作出1个三角形.但是假如选出的三个点相同的话，则作出的三角形相同，三个点相同的取(2)每个三角形有3个顶点，依此即可求解；(3)用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母.依此分析即可求解.【解答】解：(1)先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的其次个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法.由于任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以作出1个三角形.第13页(共18页)所以，以这6个点为顶点可以构造个不同的三角形；(2)每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形；(3)用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母.这里不同的英文大写字母仅有6形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同.但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母.所以不行能存在5个三角形，它们两两没有公共边.所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.15.(15分)壮壮、菲菲、路路诞生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”.已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年【分析】依据题中所给的条件，先设刘芳的年龄的关系，从中得出正确答案.①刘芳和路路的年龄和是36岁，因此路路的妈妈不是刘芳.留意到菲菲比刘芳小29岁，第14页(共18页)所以，壮壮的妈妈是刘芳.②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(2x-27)路路(36-x)岁，他的妈妈应当是(36-x+27)岁，和为(99-2x)菲菲(x-29)岁，她的妈妈应当是(x-29+27)岁，和为(2x-31)由于6个人共105岁，所以，(2x-27)+(99-2x)+(2x-31)=105.③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36,路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁.答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.故填：王雪，5,3,4.【点评】解决此题的关键在于找出其中的相互关系，然后依据实际状况争辩，同时也考查了一元一次方程的应用.16.(15分)请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和?能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和?假如能，请给出一个例子；假如不能，请说明理由.【分析】(1)由证明即可；【解答】解：(1)由于故有所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和(表示法不唯一).(2)不妨设a<b<c,现在的问题就是查找整数a,b,c,满