新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示教师用书新人教A版必修第二册

6.3.5平面对量数量积的坐标表示学习任务1．把握平面对量数量积的坐标表示，会进行平面对量数量积的坐标运算．(数学运算)2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．(规律推理、数学运算)在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？学问点平面对量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．(1)数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2．(2)向量模的公式：|a|＝x1(3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2(4)向量的夹角公式：cosθ＝a·ba(5)向量垂直的充要条件：若a与b都是非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？[提示]设与a共线的单位向量为±1aa＝±xa，y1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________．23[由于a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝22．已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝________．[答案]22120°类型1平面对量数量积的坐标运算【例1】(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝()A．10 B．－10C．3 D．－3(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则BE·CF＝________．(1)B(2)23[(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故选(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，由于AF＝2FD，所以F43所以BE＝(2，1)，CF＝43，2－(2，0)所以BE·CF＝(2，1)·-＝2×-23＋1×2＝数量积运算的途径及留意点(1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式开放，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[跟进训练]1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则AB·AD＝()A．2 B．－2C．4 D．无法确定(2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影向量长度为________．(1)C(2)322[(1)以B为原点，以BA，BC的方向为则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．所以AB＝(－2，0)，AD＝(－2，y)，得AB·AD＝(－2，0)·(－2，y)＝4．(2)由已知得AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，因此AB在CD方向上的投影向量长度为AB·CDCD＝15类型2向量模的坐标表示【例2】若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：(1)向量a的模；(2)与a平行的单位向量的坐标；(3)与a垂直的单位向量的坐标．[解](1)∵a＝AB＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝42+(2)与a平行的单位向量是±aa＝±15(4，－即坐标为45，-(3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝3又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，解得m=35∴e＝35，45或求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2[跟进训练]2．已知平面对量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．[解](1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，|a－2b|＝72+3(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，∴|c|＝1+62＝类型3向量的夹角与垂直问题【例3】(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝-32，(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为钝角．[解](1)由于a∥b，所以3k－1×-32＝0，解得k＝－(2)由于a⊥b，所以3×-32＋1×k＝0，解得k＝(3)由于π2＜〈a，b〉＜π，所以cos〈a，b〉＜0则由向量夹角余弦公式可得3×-32＋1×k＝－92＋k解得k＜92由(1)知，k＝－12时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝所以k＜92且k≠－12时，a，利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2(3)求夹角余弦值．由公式cosθ＝x1(4)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ的值．[跟进训练]3．已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．[解](1)证明：由于A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，AB＝(1，1)，AD＝(－3，3)，所以AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB⊥AD，即AB⊥AD．(2)由于AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，所以AB＝DC，设点C的坐标为(x，y)，则由AB＝(1，1)，DC＝(x＋1，y－4)，得x+1=1，y所以点C的坐标为(0，5)，从而AC＝(－2，4)，BD＝(－4，2)，且|AC|＝25，|BD|＝25，AC·BD＝8＋8设AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝AC·BDACBD＝所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为451．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则a-b＝(A．2 B．3C．4 D．5D[由于a－b＝2，1－-2所以a-b＝4故选D．]2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为()A．π6 B．C．π3 D．B[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32+-12＝10，|b|设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·bab＝又0≤θ≤π，∴θ＝π43．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．4[a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n＝________．±3[由题意2a－b＝(3，n)，∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0，∴n2＝3，∴n＝±3．]回顾本节学问，自主完成以下问题：已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cosθ？[提示]cosθ＝a·ba2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？[提示](1)当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；(2)当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；(3)当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0．向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？一般地，利用向量的数量积可以便利地求出△OAB的面积为S＝12|x1y2－x2y1事实上，如图所示，记t＝|OA|，a＝1t(－y1，x1)，则简洁验证，a是与OA过B作OA的垂线BC．由于a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC|＝|a·OB|，因此，△OAB的面积为S＝12|AO|×|BC|＝12|AO|×|a·＝12t×＝12|(－y1，x1)·(x2，y2＝12|x1y2－x2y1由此也可以看出，如图所示，假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为S＝|x1y2－x2y1|．由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？课时分层作业(十)平面对量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于()A．3 B．－3C．53 D．－A[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．]2．设平面对量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4 B．5C．35 D．45D[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝45．故选D．]3．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m·n＝－1，则|n|＝(A．－1 B．1C．2 D．－2B[cos3π4＝m·nmn＝-12n＝－4．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为()A．32，C．32，D[向量a在向量b上的投影向量为a·bb·bb＝-62·b2＝－32b，其坐标为－325．(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则()A．|a＋b|＝2B．a与b垂直C．a与a－b的夹角为πD．|a－b|＝1BC[由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝2，所以A选项错误；由于a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝2，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·a-baa-b＝a2-a·b1×2＝12＝22二、填空题6．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________．－34[由题意知，a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－37．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则AB·AC＝________．1[如图所示，在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB＝(1，0)，AC＝(1，－1)，从而AB·AC＝(1，0)×(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．]8．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝a2+b2，则－2[法一：a＋b＝(m＋1，3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]三、解答题9．已知平面对量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a∥b，求|a－b|；(2)若a与b的夹角为锐角，求x的取值范围．[解](1)由于a∥b，所以－x－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2．当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，所以a－b＝(－2，0)，则|a－b|＝2．当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，所以a－b＝(2，－4)，则|a－b|＝25．综上，|a－b|＝2或25．(2)由于a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，即2x＋3－x2＞0，解得－1＜x＜3．又当x＝0时a∥b，故x的取值范围是(－1，0)∪(0，3)．10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的外形是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形A[由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2，4)，BC＝(－6，8)，所以AB·AC＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6C[由已知有c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故9+3t+16c·5＝3+tc·112．已知O为坐标原点，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)C[设点P的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．所以AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，AP·BP有最小值1．此时点P的坐标为(3，0)．]13．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，直线CD⊥AB且CB∥AD，则点D的坐标是________．(0，1)[依据题意，设D(x，y)，则CD＝(x－3，y)，AB＝(1，3)，CB＝(－1，2)，AD＝(x－1，y＋1)．由于CD⊥AB，所以CD·AB＝(x－3)×1＋3y＝0．①由于CB∥AD，所