新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件教师用书新人教A版必修第二册

10.1随机大事与概率10.1.1有限样本空间与随机大事学习任务1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(数学抽象)2．理解随机大事与样本点的关系．(数学建模)观看下列试验，思考这类现象的共性是什么？(1)抛掷一枚硬币，观看正面、反面消灭的状况；(2)抛掷一枚骰子，观看消灭点数的状况．学问点1随机试验1．定义：我们把对随机现象的实现和对它的观看称为随机试验，常用字母E来表示．2．特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好消灭这些可能结果中的一个，但事先不能确定消灭哪一个结果．学问点2样本空间样本点随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合Ω称为试验E的样本空间有限样本空间假如一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间学问点3大事的分类随机大事将样本空间Ω的子集称为随机大事，简称大事，并把只包含一个样本点的大事称为基本大事．随机大事一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点消灭时，称为大事A发生必定大事Ω作为自身的子集，包含了全部的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必定大事不行能大事空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不行能大事1．下列现象中，是随机现象的有________．(填序号)①在一条大路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③放射一枚炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．[答案]①③④2．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．[答案]{(1，2)，(1，3)，(2，3)}3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事：①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．其中________是随机大事；________是不行能大事．(填上大事的编号)[答案]①③②类型1大事类型的推断【例1】下列大事中，随机大事是________．(填序号)(1)任取一个整数，被2整除；(2)李明在高一期末考试中数学成果在120分以上；(3)甲、乙两人进行竞技竞赛，甲的实力远胜于乙，在一次竞赛中甲肯定获胜；(4)当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．(1)(2)(3)[(1)(2)(3)均是可能发生也可能不发生的大事，为随机大事，(4)是肯定发生的大事，为必定大事．]推断一个大事是哪类大事要看两点一看条件，由于三种大事都是相对于肯定条件而言的；二看结果是否发生，肯定发生的是必定大事，不肯定发生的是随机大事，肯定不发生的是不行能大事．[跟进训练]1．下列大事中，必定大事是________；不行能大事是________；随机大事是________．(填序号)(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都消灭正面对上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．(2)(3)(1)(4)(5)[(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机大事．(2)全部三角形的内角和均为180°，所以是必定大事．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不行能大事．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不肯定都是正面对上，所以是随机大事．(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机大事．]类型2确定试验的样本空间【例2】抛掷一枚骰子，观看其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？[解](1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次消灭的点数，y表示骰子第2次消灭的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．法一(列举法)：(2)“消灭的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后消灭的点数的和，样本点与所描点一一对应．(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的全部可能结果用树状图表示．如图所示，(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．样本点个数的三个探求方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的状况，但列举时必需按肯定的挨次，要做到不重不漏．(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是精确     、全面、不易遗漏．(3)树状图法：适用较简单问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．[跟进训练]2．一个口袋内装有大小相同的4个球，其中2个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)2个球颜色不同包含几个样本点？[解]分别记白球为1，2号，黑球为3，4号．(1)则有以下样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点(其中(1，2)表示摸到1号、2号)．(2)“2个球颜色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4个样本点．类型3随机大事的含义【例3】柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机大事的含义．(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．[解](1)大事M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．(2)大事N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．(3)大事P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．解答此类题目，应先理解大事中样本点的意义，再观看大事中样本点的规律，才能确定随机大事的含义．[跟进训练]3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的状况)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出大事A：“x＋y＝5”和大事B：“x<3且y>1”的集合表示；(3)说出大事C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．[解](1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)大事A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；大事B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．(3)大事C表示“xy＝4”，大事D表示“x＝y”．1．(多选)下列大事是随机大事的是()A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明季节雨纷纷D．梅子黄时日日晴ACD[B是必定大事，其余都是随机大事．]2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必定大事是()A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品D[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必定大事．]3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是()A．第一枚是3点，其次枚是1点B．第一枚是3点，其次枚是1点或第一枚是1点，其次枚是3点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点B[依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，其次枚是1点或第一枚是1点，其次枚是3点或两枚都是2点．故选B.]4．一个家庭有两个小孩，则关于两个孩子的性别的随机大事的样本空间Ω＝________．[答案]{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}回顾本节学问，自主完成以下问题：1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时经常留意哪些问题？[提示]确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时经常留意以下问题：要按挨次写，特殊要留意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“挨次”“放回”“不放回”等．2．如何写出试验的样本空间？[提示]确定试验的样本空间就是写出试验的全部可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．3．如何推断一个大事是否为随机大事、必定大事和不行能大事？[提示]看结果是否发生，肯定发生的是必定大事，肯定不发生的是不行能大事，可能发生也可能不发生的是随机大事．课时分层作业(四十四)有限样本空间与随机大事一、选择题1．下列现象中，不行能大事是()A．三角形的内角和为180°B．a⊥α，b⊥α，a∥bC．锐角三角形中两内角和小于90°D．三角形中任意两边之和大于第三边C[锐角三角形中两内角和大于90°.]2．试验E：“任取一个两位数，观看个位数字与十位数字的和的状况”，则该试验的样本空间为()A．{10，11，…，99} B．{1，2，…，18}C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10}[答案]B3．某校高一班级要组建书法、乒乓球、机器人、篮球四个爱好小组，某同学只选报其中的2个，则样本点共有()A．3个B．4个C．5个D．6个D[该生选报的全部可能状况是：书法和乒乓球、书法和机器人、书法和篮球、乒乓球和机器人、乒乓球和篮球、机器人和篮球，所以样本点有6个．]4．从甲、乙等5名同学中随机选出2人，观看选出的2人，设大事M为“甲被选中”，则大事M含有的样本点个数为()A．2B．4C．6D．8B[设5名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点．]5．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外其他完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的确定值为2或4的大事包含的样本点个数为()A．2B．4C．6D．8B[从5个小球中任取2个，其中数字之差的确定值为2或4的大事包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个样本点．故选B.]二、填空题6．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______个．5[样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．]7．下列试验中是随机大事的有________．①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．①③④[①③④都是随机大事，②是必定大事，⑤是不行能大事．]8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5[样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]三、解答题9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．[解](1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．(2)试验样本点的总数是12．(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．10．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机大事的是()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．恰有1件正品C[25件产品中只有2件次品，所以不行能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机大事．]11．(多选)给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是()A．若任取x∈A，则x∈B是必定大事B．若任取x∉A，则x∈B是不行能大事C．若任取x∈B，则x∈A是随机大事D．若任取x∉B，则x∉A是必定大事ACD[依据A⊆B的Venn图(图略)可知，对于A，集合A中的全部元素都在B中，故A正确；对于B，当集合B的范围比A大时，不在A中的元素，有可能在B中，故B错误，应为“若任取x∉A，则x∈B是随机大事”；对于C，由于A⊆B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正确；对于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，则必不在A中，故D正确．]12．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设大事M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则大事M中含有样本点的个数为()A．6B．17C．19D．21C[将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点．]13．写出下列试验的样本空间：(1)甲