函数y=(10x+18)²(5x+14)³的主要性质及图像示意图

解析函数y=(10x+18)2(5x+14)3的主要性质主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(10x+18)2(5x+14)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(10x+18)2(5x+14)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(10x+18)2(5x+14)3，∴y'=20(10x+18)(5x+14)3+(10x+18)2*15*(5x+14)2，=(10x+18)(5x+14)2(100x+280+150x+270),=(10x+18)(5x+14)2(250x+550)※.取对数求导法。∵y=(10x+18)2(5x+14)3，取导数有：∴lny=ln(10x+18)2(5x+14)3,即：lny=2ln(10x+18)+3ln(5x+14),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(20,10x+18)+eq\f(15,5x+14),y'=y(eq\f(20,10x+18)+eq\f(15,5x+14)),y'=(10x+18)2(5x+14)3(eq\f(20,10x+18)+eq\f(15,5x+14)),y'=(10x+18)(5x+14)2[20(5x+14)+15(10x+18)],y'=(10x+18)(5x+14)2(250x+550).令y'=0，有10x+18=0，250x+550=0，即：x1=-eq\f(9,5)，x2=-eq\f(11,5).(1)当x∈(-∞，-eq\f(11,5))，(-eq\f(9,5),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(11,5)，-eq\f(9,5)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(10x+18)(5x+14)2(250x+550)∴y''=10(5x+14)2(250x+550)+(10x+18)[10(5x+14)(250x+550)+250(5x+14)2]=10(5x+14)2(250x+550)+(10x+18)(5x+14)[10(250x+550)+250(5x+14)]=(5x+14)[10(5x+14)(250x+550)+10(10x+18)(250x+550)+250(10x+18)(5x+14)]=(5x+14){(250x+550)[10(5x+14)+10(10x+18)]+250(10x+18)(5x+14)}=(5x+14)(50000x2+220000x+239000)=1000(5x+14)(50x2+220x+239).令y''=0，则5x+14=0，或50x2+220x+239=0，即：x3=-eq\f(14,5)≈-2.8,x4=eq\f(-22-\r(6),10)≈-2.44,x5=eq\f(-22+\r(6),10)≈-1.95,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-2.8),(-2.44,-1.955)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-2.8,-2.44],[-1.955,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(10x+18)2(5x+14)3=-∞；lim(x→+∞)(10x+18)2(5x+14)3=+∞；lim(x→0)(10x+18)2(5x+14)3=182*143。.函数的五点图x-7.8-2.8-2.44-2.2-1.955-1.8-1.3(10x+18)2360010041.5959162.4040025(5x+14)3-156205.59472775.405125421.87y-56232000233432181010547※.函数的示意图y=(10x+18)2(5x+14)3y(-2.2,432)(-2.44,233)(-1.955,181)