2.2.2 一元二次方程的解法-因式分解法、公式法-八年级数学下册同步课堂（浙教版）

一元二次方程解法ONE

探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤．TWO能够利用公式法解一元二次方程．THREE会用因式分解法解一元二次方程.学习目标FOUR能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性．交流合作问题1

你能用配方法解下列方程吗？（1）（2）解：（1）移项，得．配方，得，．由此可得，．，．二次项系数化为1，得．解：移项，得．配方，得，，．由此可得，交流合作化：把原方程化成x²+px+q=0的形式．移项：把常数项移到方程的右边，如x2+px=-q．配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如

x2+px+

()2=-q+

()2(x+)2=-q+

()2

问题2

用配方法解一元二次方程的步骤？求解：解一元一次方程．定解：写出原方程的解．知识讲解解：移项，得．配方，得，二次项系数化为1，得．．

此时可以直接开平方吗？需要注意什么？

知识讲解1、当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；2、当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；3、当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．归纳知识讲解

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.知识讲解一般地，对于一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a≠0)，

这个式子称为一元二次方程的求根公式．

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根.

用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．当

b2-4ac≥0时，方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

的根是行业PPT模板http:///hangye/典例精讲例1

用公式法解下列方程：（1）x2-4x-7=0解：（1）a=1，b=-4，c=-7．b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0．方程有两个不相等的实数根即，．

确定a，b，c的值时，要注意符号．典例精讲当b2－4ac=0时，x1=x2，即方程的两根相等．（2）b2－4ac=()2－4×2×1=0．解：a=2，b=，c=1．方程有两个相等的实数根即．．典例精讲（3）a=5，b=－4，c=－1．b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0．解：方程可化为5x2－4x－1=0．，即，．典例精讲（4）x2+17=8xa=1，b=－8，c=17．b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0．∵

b2－4ac＜0，∴方程无实数根．当b2－4ac＜

0时，x1，x2不存在，即方程无实数根．解：方程化为x2－8x+17=0．

用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式，并写出该方程的各项系数；（2）求出Δ的值，特别注意：当

Δ＜0时，方程无解；（3）代入求根公式；（4）写出方程的解．归纳总结交流合作我们已经学过对一个多项式进行因式分解的方法为：①提公因式法：

pa+pb+pc=p(a+b+c)②平方差公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)③完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±b)2④“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)情境思考

根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为

10x-4.9x2

根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?

设物体经过x秒落回地面,即10x-4.9x2=0①小球最终回到地面，此时离地高度为0尝试用配方法和公式法求方程的解？情境思考配方法10x

-

4.9x2

=0公式法10x

-

4.9x2

=

0

情境思考除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?10x

-

4.9x2=0①观察方程结构，其右边为0,左边可以因式分解,

整理，得x(10-4.9x)=0若ab=0，则a=0或b=0

如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0；反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.∴x=0或10﹣4.9x=0.②这两个根中,x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0m.

知识讲解解方程①时，二次方程是如何降为一次的?上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.知识讲解①移项,使一元二次方程等式右边为0;②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.因式分解法解一元二次方程的一般步骤典例精讲(1)x(x-2)=0例2

用因式分解法解下列方程：(2)(y+2)(y-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x解：x1=

0,

x2=

2解：y1=-2,

y2=

3解：3x+6=0,2x-4=0

x1=-2,

x2=

2解：

x2-x=0x(x-1)=0

x1=

0,

x2=

1典例精讲例3

用适当的方法解方程：（1）3x（x+5）=5（x+5）

（2）(5x+1)2=1分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.

典例精讲（3）x2

-

12x=4;

（4）3x2=4x+1；分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.

知识讲解(x+m)2＝n（n≥0）x2+px+q=0（p2-4q≥0）ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(x+m)(x+n)=0举一反三1．方程的根是（

）．A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-

2．若(m2－n2)(m2－n2－2)－8=0，则m2－n2的值（

）．A．4B．－2C．4或－2D．－4或2DC3．一元二次方程

ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是____

___，条件是_

_______．4．当x=

时，代数式

x2－8x＋12

的值是

－4．5．若关于x的一元二次方程

(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3=0

有一根为0，则

m

的值是

．

6．解方程，最简便的方法是（

）

A．配方法

B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法4b2－4ac≥0-3C①x2-3x+1=0

②3x2-1=0

③-3t2+t=0④x2-4x=2

⑤2x2-x=0

⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0