浙江省嘉兴市邵逸夫中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析

浙江省嘉兴市邵逸夫中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线的参数方程为，则直线的斜率为()

参考答案：D2.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(

)A．a2 B．a2 C．2a2 D．2a2参考答案：C【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．3.点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6） B．（2，3） C．（﹣5，6） D．（﹣2，3）参考答案：C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求对称点Q的坐标为（a，b），求出PQ的中点为M（，），直线l的斜率k=．再根据轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b之值，可得点Q的坐标．【解答】解：设P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标为Q（a，b），可得PQ的中点为M（，），直线l的斜率k=，∵PQ与直线l相互垂直，且PQ的中点M在直线l上，∴，解得，可得Q的坐标为（﹣5，6）．故选：C4.在△ABC中，，则△ABC一定是

(

)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形参考答案：A略5.二项式的展开式中第项的二项式系数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则弦AB的中点C的横坐标为（

）A、B

B、

C、2

D、参考答案：略7.若复数（i为虚数单位），则（

）A.2 B. C.5 D.参考答案：D【分析】由已知可得，求出，再由模长公式，即可求解.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数乘除法间的关系、乘法运算以及模长，属于基础题.8.若向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），则?的等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣1参考答案：B【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】由已知求出向量、的坐标，然后利用数量积定义求之．【解答】解：因为向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），所以向量={1，﹣2，0}、={﹣3，1，2}，所以?=﹣3﹣2+0=﹣5；故选：B．9.以直线为渐近线，F（0，2）为一个焦点的双曲线方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知是奇函数，当时，当时，等于（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由时，，则，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式；【详解】当时，，则．又是R上的奇函数，所以当时．故选项A正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．【解答】解：设切点为（x0，y0），则∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=?x0=1，∴x0=e，∴k==．故答案为：．12.在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．这40个考生成绩的众数

,中位数

．参考答案：77.5，77.5.13.已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长，即为外接球的直径，从而得到外接球的半径，用球的表面积公式可以算出外接球的表面积．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式，属于基础题．14.设等差数列的前项和为，则成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列的前项积为，则

，________，________，

成等比数列．参考答案：15.小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为

．参考答案：17由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.

16.某校开设门课程供学生选修，其中、、三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修门，则每位同学共有

种不同选修方案．参考答案：17.下列命题中，真命题的有________。（只填写真命题的序号） ①若则“”是“”成立的充分不必要条件； ②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为 ③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题； ④若命题：，，则：．参考答案：①③④

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．参考答案：【考点】复数的基本概念．【分析】可求得+z2=+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．19.（本小题满分10分）已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）直线过点且与圆相交于两点，求弦长的最小值及此时直线的方程.参考答案：（Ⅰ）由题可设，半径，.圆与轴正半轴相切，圆的标准方程：.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长②当直线的斜率存在时，设直线的方程：点到直线的距离，弦长，当时，弦长的最小值，此时直线的方程为由①②知当直线的方程为弦长的最小值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；参考答案：（Ⅰ）由题意知，∴，即

又，∴故椭圆的方程为……………4分（Ⅱ）解：由得：…………6分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则………………8分∴……10分

∵∴，

∴

∴的取值范围是．…………12分21.（本题满分13分）在四棱锥中，//，，，平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．参考答案：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，，所以，.所以，.因为，平面，平面，所以平面.

4分（2），

异成直线与所成角的余弦值

8分（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.所以.所以.所以即.

所以.

10分平面的一个法向量为.

11分因为，所以.解得.所以.

13分22.设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由切点坐标及切点处导数值为0，列一方程组，解出即可；（2）在a＞0的条件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；（3）g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，即g′（x）＜0在区间（﹣2，﹣1）内有解，由此可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣ax+b．由题意得，即．所以b=0，c=1．（2）由（1）得f′（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（