广西南宁市2024届数学高二年级上册期末调研试题含解析

广西南宁市2024届数学高二上期末调研试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S”（“eN*）,则关于〃的方程S"=0的解的个数为（）

A.OB.1

C.无数个D.0或无数个

2.如图，在平行六面体A3CD—4与£口中，AB+AD-CCi=（）

C.D〔BD.DB[

3.已知直线/的一个方向向量〃=（1,2,m）,平面a的一个法向量”=（一1,—2,3）,若/La,则机=（）

A.lB.-1

C.3D.-3

4.如果双曲线的一条渐近线方程为y=且经过点（5,（）,则双曲线的标准方程是（）

222x2

A.匕-土=1ny]

169916

22

C.土-上=1u.-------1

916169

5.“x>2”是“X〉君”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

Icos3-m-sm0-3-4m|

6.当实数。，/变化时，J-------T==-------1的最大值是（）

yjm+1

A.3B.4

C.5D.6

2

7.已知双曲线必―三=1,过点P（l,l）作直线/,若/与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）

A.lB.2

C.3D.4

8.若点P在曲线必+丁=忖+忖上运动，则点p到直线x+y+2=0的距离的最大值为（）

A.2&B.2

C.72D.4

9.已知数列｛。“｝满足4+1-24=O（“GN*）,且q+。3+。5=13,那4+。6+。8=（）

A.19B.31

C.52D.104

10.设a,/?是两个不同的平面，机，”是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（）

A如果m_L〃，mLa,n//那么

B.如果m_L〃，m.La,n/3,那么a〃夕

C.如果机〃小mA_a,那么“〃/?

D.如果相〃小mLa,那么。JL/

11.如图，空间四边形045。中，Q4="，OB=b，0C=c，点M在Q4上，且。0=2MA,点N为3。中点,

则MN=。

o

211

B.——a+—b7+—c

322

2r2{1

—a+—b——

332

sin9+3cos夕

12.若tan6=—2则)

sin<9+cos<9

B.-l

C.lD.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(%)=(%—3)"的单调递减区间是.

14.函数/(x)=2cos1—2X+£］,其导函数为函数/'(x),则/［彳］=

15.一个高为2的圆柱，底面周长为2不，该圆柱的表面积为.

27rTC

16.在.ABC中，B=—,C=—,a=5,则此三角形的最大边长为.

36

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在等差数列｛4｝中，出+&=一20,前10项和%=—145

(1)求列｛&｝通项公式;

(2)若数歹U｛%+〃｝是首项为1,公比为2的等比数列，求｛2｝的前8项和

22

18.(12分)已知椭圆C：=+与=1(。〉6〉0)的长轴长为2&,P是椭圆上异于顶点的一个动点，0为坐标原点,

ab'

A为椭圆C的上顶点，。为9的中点，且直线M与直线。。的斜率之积恒为-2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为"且过上焦点厂的直线/与椭圆C相交于M,N两点，当点M,N到y轴距离之和最大时，求直线/的

方程.

19.（12分）若双曲线「一与=l（a>0,8>0）的焦点坐标分别为（-2走,0）和（2&,0）,且该双曲线经过点P（3,1）

a"b-

（1）求双曲线的方程；

（2）若b是双曲线的右焦点，。是双曲线上的一点，过点从。的直线/与y轴交于点M,且MQ+2QR=0,求直

线/的斜率

2

20.（12分）已知抛物线。：产=2/（夕>0）的焦点/与曲线E：：|_—丫2=1的右焦点重合.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若抛物线C上的点P满足|尸耳=6,求P点的坐标.

21.（12分）已知函数y=/—（。-2）》+4

（1）求关于x的不等式y之4+2”的解集；

（2）若对任意的1WXW6,y—2a+1420恒成立，求实数。的取值范围

22.（10分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得

阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50

天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.

组别分组频数频率

第1组[20,30)40.08

第2组[30,40)a

第3组[40,50)20b

第4组[50,60)0.32

第5组[60,70)40.08

合计501.00

4频率

Ssf

每日接待的

顾客人数/人

0^203040506070

(1)求。、b、C的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；

(2)已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104,在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、

方差为100,估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.(§2=,£卜-,2F)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为夕，

当q=l时，Sn=nax,因为。尸0,所以S〃=0无解，即方程S.=0的解的个数为0,

所以q=-l时，方程S“=0有无数个偶数解，当qw-l时，方程S.=0无解,

综上，关于”的方程S.=0的解的个数为0或无数个.

故选：D.

【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量

【详解】

连接AC、AC，可得AB+AD=AC，又CGMM，

所以AB+AD—CG=AC—例=AC

故选：B.

3、D

【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.

12Hz

【详解】由/La,可知“〃“，则有一=,解之得根=—3

-1-23

故选:D

4、D

然后将点上,：

【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程,代入，进而求得答案.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y=3x,所以设双曲线方程为看-9=2（4wO）,将15,；，代入得:

259y2v2

---=2^2=1,即双曲线方程为土-匕=1.

1616169

故选：D.

5、B

【解析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】•••2（君，•,•“%>2”是“x〉”的必要不充分条件.

故选：B.

6、D

cos0-m-sm0-3-4m

【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆V+>2=1上点（cosHsin。）到直

vm2+1

线x—阳一3-4m=0的距离，利用圆的性质结合图形即得.

cos0—m•sin3—3—4加|

【详解】由题可知，J----------------------L可以表示单位圆X2+>2=1上点(cosasin。)到直线

yjrrr+1

%一冲一3—4m=0的距离，

Icos0-m-sm0-3-4m|

设［=---------1,-------,

\Jrn~+1

因直线为—冲—3—4机=0,即x—3+m(y+4)=0表示恒过定点(3,T),

故选：D.

7、D

【解析】先确定双曲线的右顶点，再分/垂直X轴、/与X轴不垂直两种情况讨论，当/与X轴不垂直时，可设直线方

程为y-l=k(x-1),联立直线与抛物线方程，消元整理，再分2-*=0、2-公力0两种情况讨论，即可得解

【详解】解：根据双曲线方程可知。=1

•・・右顶点为(1,。)，使/与C有且只有一个公共点情况为：

①当/垂直X轴时，此时过点P(U)的直线方程为％=1,与双曲线。只有一个公共点，

②当/与x轴不垂直时，可设直线方程为y-1=左8-1)

y-1=k{x-V)

联立方程］V2可得(2-k2)x2+2k(k-X)x—(r—2左+3)=0

%----=1

I2

⑺当2-*=0即左=±0时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点,

3

(拓)当2—左2/0时，A=4k2(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)^0,整理可得4左一6=0即左=5

故选：D

8、A

【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值

【详解】由曲线方程为£+>2=国+N知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方

程化为f+y2=x+y,即a—；)2+(y—；)2=；,在第一象限内，曲线是为圆心，巫为半径的圆在第一

象限的圆弧(含坐标轴上的点)，实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴.原点对称的图形加上原点，

-+-+2厂

点A到直线x+y+2=0的距离为1223V2,

a—-----]=—=------

V22

所以所求最大值为d+立=20

2

【解析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为%M—2%=0(〃eN*),所以有4包=2,因此数列｛4｝是公比q=2的等比数列,

因为q+/+%=13,

a3

所以。4+4+。8=\Q+。3/+a5q=+生+%）=2^x13=104,

故选：D

10、C

【解析】AB.利用两平面的位置关系判断；CD.利用面面平行的判定定理判断;

【详解】A.如果m_L〃，mLa,n//p,那么＜z,6相交或平行；故错误；

B.如果m_L〃，mA.a,nL/3,那么“，0垂直，故错误；

C.如果小〃小mA_a9则〃_La,又〃那么a〃夕，故C正确；D错误,

故选:C

11、B

【解析】利用空间向量运算求得正确答案.

-IQO11

【详解】MN=ON-OM^-（OB+OC）——西=——a+-b+-c.

2、＞3322

故选：B

12、B

【解析】分子分母同除以COS。，化弦为切，代入即得结果.

sin8+3cos。_tan夕+3

【详解】由题意，分子分母同除以COS。，可得小•

sin0+cos0tan6+1

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（—00,2）

【解析】首先对y（x）=（x-3）靖求导，可得广（幻=（厂2）/,令ra）＜o,解可得答案

【详解】解：f\x）=[（x-3）e']'=eA+（x-3）eA=（x-2）ex

由r（x）＜0得x＜2,

故/（元）的单调递减区间是（-8,2）

故答案为：（-*2）

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

14、-2

【解析】根据/（*）解析式，可求得了'（%）解析式，代入数据，即可得答案.

详解】V/(%)=2cos卜2%+看)=2cos12九一?

f(x)=_4sin[2x—7),

故答案为：-2.

15、6万

【解析】2万r=2»,r=l,S表=2»rh+2»/=4»+2»=6».

16、5百

【解析】可知6对的边最大，再用正弦定理计算即可.

【详解】利用正弦定理可知，5对的边最大，

因为3=也，C=-，所以A=工，

366

5x-

.q=上,人竺*=f=5技

sinAsinBsinA

2

故答案为：5G

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=一3〃+2；(2)347.

(、21+6d——20,

【解析】⑴设等差数列｛%｝的公差为d,解方程组j[0：+45d=—145即得解;

(2)先求出a=21+3〃-2,再分组求和得解.

【详解】解：⑴设等差数列｛4｝的公差为d,

%+%=2q+6d——20,

则

Si。=lOq+45d=—145.

CL——1,/、

解得jd—3所以4=4+(〃_l)d=_3〃+2

(2)由题意，%+2=1X2"T=2"T,所以由=2"T+3”—2

所以｛2｝的前8项和为(1+2+22+―+27)+(1+4+7+—+22)=^^+^^^=255+92=347

18、(1)匕+f=i

2

(2)y=l

【解析】（1）设点P（%,%）（%%，0），求出直线E4、直线。。的斜率相乘可得"2

22

结合&+之=1可得答案;

2及

272

（2）设直线/的方程为y=Ax+l与椭圆方程联立，代入混-引得庐1-

++病+]

再利用基本不等式可得答案.

【小问1详解】

由题意可得，2a=20，即a=J5，则A（0,JI）,

设点。($,%)(%为，0),

(rr\

•••。为E4的中点，:.Q―'，

I22J

：.直线PA斜率kPA=>，直线OQ的斜率koo=%+>，

5%

.77y0+V2_JQ-2

•,KPAKOQ__2—，

入0%。X。

22

XV=1，

2b2

点—222

：•产=一/贝U左以左0。=一瓦=一2,解得〃=1,

2

...椭圆C的方程为匕+f=l.

2

【小问2详解】

由（1）知尸（0,1）,设直线/的方程为y=Ax+l,

y=kx+l

联立y2化简得价+2*+2丘—I=0,

------\~X=1

A=83+8>0,设“(%,%),'(%,%)，

e241

贝(jXi+电=一一-——,xrx2=一一-——，

左2+2k-+2

易知M,N到y轴的距离之和为人―々|，

设,左2+1=11之1，

..」玉一=马与W0

,当且仅当/=1即左=0时等号成立,

tH—

所以当左=0时上-可取得最大值,

此时直线/的方程为y=L

22

19、(1)---工=1

62

（2）吟

【解析】（1）根据题意列方程组求解

（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解

【小问1详解】

a2+Z?2=c2=8

a~=6r2v2

91,解得2,故双曲线方程为L-t=1

=1〃=262

/b1

【小问2详解】

F(2V2,0),故设直线方程为y=k(x-2&)

XQ+4^/2—2q—0

则〃（0,-2岳），由MQ+2。尸=0得：<

yQ+l4lk+2(0-,Q)=0

故Q（4后,2夜外,

点Q在双曲线上，则必—竺=1,解得左=±我

626

直线/的斜率为土叵

6

20、（1）/=8%」2）（4,4点）或（4,-4码.

【解析】（1）求出双曲线E的右焦点坐标，可求出。的值，即可得出抛物线C的标准方程；

（2）设点夕（x°,y°）,由抛物线的定义求出/的值，代入抛物线。的方程可求得先的值，即可得出点P的坐标.

V-2

【详解】（1）由双曲线方程上-丁=1可得/=3,匕2=1,

3'

所以02=/+。2=4,解得。=2.

则曲线E的右焦点为（2,0）,所以勺？，p=4.

因此，抛物线C的标准方程为/=8x；

⑵设月（々,兀），由抛物线的定义及已知可得附%+勺/+2=6,解得%=4.

代入抛物线方程可得弁=8x4=32,解得为=±40，

所以P点的坐标为（4,4J5）或（4,-4A/2）.

21、（1）答案见解析

（2）卜卜《6拒-2）

【解析】（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；

（2）对任意的1WXW6,y-2a+1420恒成立，即。〈王士生任恒成立，结合基本不等式求出土士内里的

x+2x+2

最小值即可得解.

【小问1详解】

2

解：由已知易得y>4+2〃即为：x-（a-2）x-2a>09

令九2-(^a_2)x-2a=0可得尤=—2与x=Q,

所以，当a<-2时，原不等式的解集为｛无|无<。必2—2｝；

当a=-2,时，原不等式的解集为R；

当a>—2时，原不等式的解集为卜|尤<-2或rNa｝；

【小问2详解】

解：由y-2a+1420可得心+2”/+2》+18,

由1W%W6,得x+2>0,

p-.—TZB.%2+2x+18

所c以i可得。<-----------，

x+2

%2+2%+18=x+^-=(x+2)+--—2>27