2024届广东省高三下学期开学考数学试卷及答案

高三数学注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名，为生号，考场号，座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A=-2,B={x|x-1>AÇB=，则（1.已知集合）-A.1C.-0,1D.2B.2.3+2-=（）A.-10+B.-10-C.10+D.10-f3=，则（f2x=x3.已知）log23log32D.A.8B.9C.4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）农村居民消费水平´农村人口数+城镇居民消费水平´城镇人口数农村人口数城镇人口数（居民消费水平：）A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多æèπö4øæèπö4øæèπö4øsina-+a-=sinatana-=（5.已知ç÷ç÷，则ç÷）2A.0B.1C.-1D.26.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的AB=AD=10cm,CD=侧面，在它的轨截面ABCD中，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）π3π2π4π6A.B.C.D.7.过原点O的直线l:y=与圆-6x+y-6y+16=0交于,B两点，且=，则k=M:x22（）12A.1B.2C.D.2æèπö2øfx=sinwx+jw>0)8.已知函数,fxjÎR÷上有零点，则w，若任意在ç的取值范围为（）A.¥¥B.C.¥D.¥18.､二多选题：本题共小题，每小题分，共36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.x22y22-=ab0)的左右焦点分别为>>､F,F,Oy=b与双曲线C为坐标原点，直线9.已知双曲线C:12ab,B的渐近线交于点（A在第二象限，B在第一象限），下列结论正确的是（）BF1^2A.B.2∥AOC.若的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为4D.若的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为8L10.如图，三角形数阵由一个等差数列排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（）A.数阵中前7行所有数的和为1190B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101C.数阵中第10行的第1个数是137D.数阵中第10行从左至右的第4个数是14611.已知定义在R上的函数满足fxé--ù=，当Υȥ，时，fxfxfxyfx,0ëû¹.下列结论正确的是（fx）0æ1öè2ø12A.ç÷B.=f101f=C.是奇函数D.在上单调递增fxfxR､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.æpè4öøp=12.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，点Pç,a÷在抛物线C上，且3，则2=__________.13.甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的3概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为__________，本次比赛甲获胜的5概率为__________.14.如图，将正四棱柱ABCD-ABCDa上，顶点C在平面a11^斜立在平面内，平面3.若将该正四棱柱绕AC旋转，的最大值为11111a,AA1=2=6.点P在平面a=内，且1__________.､四解答题：本题共小题，共577.､分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（13分）已知正项等比数列满足a+a=aa=a.an12131（1）求的通项公式；anMn+mn（2）记的前项中最大值为，最小值为（规定：M=m=a），令n，求数列anMmnb=nn1112的前项和Sn.bnn16.（15分）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.（1）求数字2填在第2个空格中的概率；，求的最大值.PxPxx（2）记数字2填在第个空格中的概率为17.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，^AC,^PC,PA=.（1）证明：^平面ABCD.（2）若PC4PE,ABC60o，求二面角=Ð=A--E的余弦值.18.（17分）x22y2212已知椭圆C的方程为+=，且离心率为a>b>0)，右焦点为F1,0ab（1）求椭圆C的方程；2æè3ö4ø2516（2）过点F的直线l与椭圆C交于19.（17分）,B两点，证明，圆çx-+y2=恒与以弦为直径的圆相切.÷=fx2x-a.已知函数y=fx在点a,fa处的切线过点2，求的值；a（1）若曲线（2）若fxaex1-恒成立，求的取值范围.„a高三数学参考答案B=¥,0È¥,AÇB=-.1.B2.D3+2-=6-+-2=10-.x=3，则2f3=log23.3.C令2x=3，可得4.D2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，A错误.2019年的城镇居民消费水平比2020年的城镇居民消费水平高，B错误.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为5´60%=2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504+31013=29258.5元，C错误.设我国农村人口数为xy，城镇人口数为，则219530x+38289yx+yyx1218865713231718==>，化简得，所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.æèπö4øæèπö4øsina-+a-=a，所以a=，则sina=0，即a=π,kÎZsina，5.C因为ç÷ç÷æèπö4øæèπö4øtana-=tanπ-=-1.÷所以ç÷ç延长CB,交于点O，设圆台上下个底面的闪心分别为､2,O.连接，6.B11rOB=x,OB=r,OC=RC==设.因为，所以，2121R2πrπ则x=20cm.设所求圆心角为q，则x=2πr，所以q=.x27.A圆M:x2-6x+y2-6y+16=0，即圆M:(x-=OC=3AC.因为=2+(y-=2，圆心M3到直线l的距离为2d,AB的中点为C2232，所以+=.因为，所以OC=||2-d2=18-d2.又因为=2-d2，所以3-02，解得d=0，所以18d-2=32-d直线l经过圆心，所以M3,3k==1.3-0æèwöø令t=wx+j，由题意可得sint0在ç=j,+j8.C÷上有解.2w因为sint=0在a,b内有解的最短区间长度为b-a=π+j-j>π，解得w>2BF1^BF，A正确.直线2.所以.2=c=1=为圆心，为半径的圆上，所以19.AC，点B在以O2bc-abbc-abBF-AO-,--BF与直线2AO不一定的斜率为，直线的斜率为与不一定相等，所以直线2aa1平行，B错误.的面积为×2a×b=ab=2，双曲线C的焦距为2c=2a4,C2+b…22ab=24=4，22当且仅当a=b=2时，等号成立，所以双曲线C的焦距的最小值为正确，错误.DLb=n-1n.数阵中前7行共1+2+3+L10.ACD设等差数列的通项公式为+7=28个数，28´27´32´28+=1190，A正确.数阵中前7行所有数的和为2b=n-1=101nn=34，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右令，解得的第6个数，B错误.记每一行的第1个数组成数列，则an1213263a393,nn1=-=-==´-==´L-3n1=´-，累加得4-nn1n2-n+4n13123-=´+++L+-=n1，所以a=n,10=137，C正确.数阵中第10行22137+4-1´3=146从左至右的第4个数是，D正确.f0x=y=0=.，可得011.ACD令x=y=1，可得[f1]x=y2=.因为当x>0时，¹，所以=.f1fxf101令令，可得2fx0=….2[fx]x2…0，所以当…0时，fx…0.因为又因为当x>0时，fx¹0，所以当x>0>0.fx时，y=1，可得fxfxfx1é--ù=，①fx令ëûfx-fx-1=fx+1-fx=1，两式相加可得所以+--=.fx1fx12y=-1，可得fxfxfx1é-+ù=-.②fx令ëû①-②可得ëé+--ù=ûfx-，化简可得-=--fx，所以是奇函fxfx1fx1fxfxfx数，C正确.由fx-fx-=1，可得=+==+==+=L=，B错误.f2f11f3f21f4f31,f1010ìæ1öæ1ö-f-f=ïç÷ç÷ì+-=ïfx1fxïè2øè2øæ1öæ1öè2ø12fç÷=,Aíí正确.由可得解得=--ïfxîfx,æ1öïf=-f-,ç÷ç÷ïîè2øè2øfxx-x2x=x,y=x-x-=11fxfx令令，可得.11212fx10<2<xx->->2xxx0.112，则11因为当x>0时，fx>0，所以>->，fxfxxx01112fxx-x-=112>>f1f2，即，fxfx0所以12fx1所以在fx¥上单调递增.因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.fxfxRppPF=+=3p=4，解得.12.4428113.；125（本题第一空2分，第二空3分）到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率3212´´=5525C12为.若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为33´=55259，323´´´=.､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为C12②前两局甲55593681+=故甲获胜的概率为.2512512514.51过点C作CE^AC，垂足为，连接EAC.易得CE∥平面a，1所以点C到平面a的距离为CE.AC32,AC==11×12+12=36,CE==23,1E=112-CE2=26.过点C作CC¢^平面a¢C,1,P，垂足为C（图略）.当三点共线，且CP=CC+CPC1+¢+1P2=1E2+CECP2=51.1+时，取得最大值，最大值为CE2111ìa+aq=15.解：（1）设的公比为，则q11aníaaqaq,×2=13î11a=q=2q=-3（舍去）.解得或1所以的通项公式为a=2n.ann（2）因为是递增数列，所以Mn=2,n=2，annMn+m2+2n=n==2n1+1.n221-2-nSn=-n=2+n-1.n12C11973=16.解：（1）数字2填在第2个空格中的概率为.C161799„„98，且xÎN.（2）由题意可得+--C1Cx199-x1x199x=Px=.C3C3999949249当x=50时，取得最大值，最大值为17.（1）证明：记Ç=O.=.PxC3320199因为四边形ABCD是菱形，所以BD^AC.^PC,PCÌPAC,Ì平面Ç=C，因为平面PAC.且所以平面^PAC.因为平面ÌPAC^，所以.^AC,Ì平面,ABCD,BDÌ因为平面ABCD，且Ç=O，所以^平面ABCD.x,y（2）解：以O为坐标原点，分别以OC,OD的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.=-×-B23,0,D0,23,0E0,3,BE=-23,3,BD(043,0)=设4，则，.rm=x,y,z，设平面的法向量为rírìrïm×BD=43y=0.=0,1.令x=3，得m则ïm×BE=-x+23y+3z=îrn=0,1.平面的一个法向量为rrrrn×m110n,m=rr==，nm1010易得二面角AE为锐角，故二面角--A--E的余弦值为.c118.（1）解：由题意得椭圆C的半焦距c=1，且e==，所以a=2.a2x2y2又因为b2=a2-c=3，所以椭圆C的方程为2+==1.43（2）证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为x=0此时为椭圆C的长轴，以弦为直径的圆的方程为x2+y=4，该圆的半径为2.22æè3ö4ø25165543x-+y2=的半径为，两圆的圆心距为2-=圆ç÷.442æè3ö4ø2516x-+y2=恒与以弦为直径的圆相切.满足圆ç÷x=ty+Ax,y,Bx,y,AB的中点为.Mx,y0当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为11220ìx=ty+ï得t+4y+ty-9=0，22í22联立xy+=ïî43t9y+y=-,yy=-12所以，122+2+t4t41+y2t40==-,x=ty+1=00.2t2+4t2+4+12t2AB=1+t3ö22y+y2-4yy=.12122+4tæ3è4öæ2516x-+y2=N,0记圆ç÷的圆心为ç÷，4øøè22t+4æèt43öætö2=-+-=ç÷ç÷.2+44øèt2+4ø4t+42++46t2+5t221t245AB-=-==.+44t+442t2+44t22æè3ö4ø25x-+y2=恒与以弦为直径的圆相切.满足圆ç÷162æè3ö4ø25x-+y2=恒与以弦为直径的圆相切.综上，圆ç÷1611=fa¢=a,fx¢=,