2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（解析）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

故选：B.

2.椭圆工+、2=1（。〉1）的离心率为则。=（）

A.正

B.V2C.73D.2

3

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.

2A/3

【详解】由题意得e==解得a=二----------，

故选：A.

3.记等差数列｛4,｝的前几项和为+%=6,/2=17,贝i」S[6=()

A.120B.140C.160D.180

【答案】c

【解析】

【分析】利用下标和性质先求出%+%2的值，然后根据前〃项和公式结合下标和性质求解出S16的值.

【详解】因为。3+%=2%=6,所以%=3,所以%+%2=3+17=20,

所以S[6=_8（%+«12）=160,

故选：C.

4.设名厂是两个平面，相，/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.韭a，B，m〃a,U/§,则〃z_L/B.若mua,lu0,m〃l,则a〃1

C.若a13=m,l//a,l///3,则加〃/D.若"z_La,/_L尸，加〃/,则。_1/?

【答案】C

【解析】

【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.

【详解】对于A,帆,/可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,名P可能相交或平行，故B错误，

对于D,名A可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，

故选：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）

A.20种B.16种C.12种D.8种

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理

求得结果.

【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有用种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人上人上人；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间,

排乙丙有A；种方法，排甲有A；种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人就人人人；=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

故选：B.

6.已知。为直线/：x+2y+l=0上的动点，点P满足QP=(1,—3),记P的轨迹为E,则()

A.E是一个半径为百的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为J?D.E是两条平行直线

【答案】C

【解析】

【分析】设由QP=(l,-3)可得。点坐标，由。在直线上，故可将点代入坐标，即可得产轨迹E,

结合选项即可得出正确答案.

【详解】设P«y),由QP=(1,—3),贝UQ(x—l,y+3),

由。在直线/：x+2y+l=0上，故x-l+2(y+3)+l=0,

化简得x+2y+6=0,即p轨迹为E为直线且与直线/平行，

E上的点到/的距离故A、B、D错误，C正确.

Vl2+22

故选：C.

7.已知(羽，7r],tan2，=_4tan[，+^],则一1；sin2"_=()

I4)I2cos2e+sin28

133

A.—B.-C.1D.一

442

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.

2cos2^+sin20

【详解】由题6eLT，tan2e=Ttan(e+：),

夕曰2tang—4ftan^+l)>.2

得---------=——----------^>-4((tan6^+1)=2tan。n，

l-tan2<91-tan^v7

则(210!1。+1)&311。+2)=0=>1011。二一2或12118=-;,

因为e£［年,7i),tane£(—l,0),所以tan8=—g,

l+sin28_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos2。+sin282cos2^+2sin^cos^2+2tan^

-2+（-1）-4

故选：A

22

8.设双曲线C:5-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳,且，过坐标原点的直线与C交于AB两点,

ab

闺邳=2闺4厘.@=4〃,则。的离心率为（）

A.72B.2C.75D.77

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得闺H=|8队闺固=|耳H且四边形A45月为平行四边形，由题意可得出

ZF2BFlt结合余弦定理表示出与。、c有关齐次式即可得离心率.

由双曲线的对称性可知闺4|=|耳到，山.=医旬，有四边形鸟为平行四边形,

令阳川=|乙同=加，则闺目=|用旬=2根,

由双曲线定义可知|月旬一闺旬=2。，故有2机—机=2a,即帆=2a,

即闺H=优到=m=2。，闺W=EH=4a,

2

F2A-F2B--|F2B^COSZAF2B=2ax4acosZAF2B-4a,

1Ojr

则cos/Ag3=—,即447”=与，故/用5耳=一，

233

『+2（4«）2+（2a）2-（2c）2

则有cosZFBF=

2l2国即2x4ax2a2

\F2B1

20a2-4c21204P之1

即即二—'=—上，则e?=7，由e〉l，故e=«.

16«2216162

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于〃、b.。之间的等量关系，本题中

结合题意与双曲线的定义得出闺小优目与。的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与

a、。有关齐次式，即可得解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

3兀3兀

9.已知函数/（x）=sin|2x+—+cos2x+一,则（

44

函数/卜一:

A.为偶函数

B.曲线y=/(x)对称轴为％=E，左£Z

八%)在区间1m，3

C.单调递增

D.了(力的最小值为-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简/(x)=sinf2x+—j+cosf2x+—3兀

,再根据三角函数的性质逐项判断即

4

可.

【详解】/(x)=sin(2x+今+COS2x+亚

I4

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-—sin2xsin—

4444

-名心+2os2A避8s2"-正疝2』小心,

2222

即/(x)=-V2sin2x,

对于A,7（九一；-V2sin（2x-1-I=V2cos2x,易知为偶函数，所以A正确;

对于B,〃％)=—正51112%对称轴为2%二二十防1,左eZ^>%=—+—,Z:eZ,故B错误;

v7242

71712兀

对于C,,2xG，y=sin2x单调递减，则

392T,7r

/（x）=-V2sin2x单调递增，故C正确;

对于D,/(%)=-V2sin2x,则sin2xe,所以/(x)e[-后,0],故D错误;

故选：AC

10.已知复数z,w均不为o,则（

2

ZZ

A.z2=|z|2B.■=•—-----

,Z|zI2

ZZ

C.z—w=z—wD.

【答案】BCD

【解析】

【分析】设出z=“+bi、卬=。+溃，结合复数的运算、共辗复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.

【详解】设2=々+历（a,〃£R）、vv=c+H（c,d£R）；

对A：设z=a+bi£R)，则z2=(〃+历『—/^2abi—b2=a—b2+2Q历,

|Z+方）=/+/,故人错误;

Z22—zz2

对B：==^=-,又z・z=|z|9,即有）二可，故B正确;

Z2•2

对C：z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d^\,则z-w=a-c-(b-d)i,

z=a—bi，w=c—di>贝Uz—w=a一历一c+di=a—c—(6一d)i

即有z—w=z—w，故C正确;

za+bi(a+bi)(c-di)ac+bd-^ad-bc^i

对D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

2

ac+bdI+ad-be+2abed+b2d2+a2d?—2abcd+b?$

c1+d2c2+d2

a2c2+b2d2+01d2+b2c2y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

c2+d2

c2+d2c2+d2

y/a2c2+b'c2+a~d2+b'd~

+/

zz

故一—,故D正确.

ww

故选:BCD.

11.已知函数的定义域为R,且/H0,若/（1+丁）+/（%）/（丁）=4孙，则（

A.f0B.f-2

C.函数小一；D.函数+g

是偶函数是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】对抽象函数采用赋值法，令》=；、y=°，结合题意可得/（o）=—1，对A：令x=g、丁=°，

代入计算即可得；对B、C、D：令丁=-；，可得/卜I-2x,即可得函数—g及函数/x+g

函数的性质，代入尤=1,即可得了

【详解】令》=；、y=°，则有/[g1

+/X/⑼=/即1+"。)]=0,

2

又/[；卜0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

即+=由/(O)=-L可得J=0'

又了（；]w0，故/1_g]=0,故A正确;

-2%,故函数/1x-g

即/是奇函数,

有/fx+l-^-j=-2(x+l)=-2x-2,即/fx+^-j=-2x-2,

即函数/x+g是减函数,

令x=l,有/]g]=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到/（0）=-1，再重新

赋值，得到—g]=0,再得至U/1x—g]=_2x.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合A={-2,0,2,4},3={x||x—3区相},若AB=A,则加的最小值为

【答案】5

【解析】

【分析】由AB=A可得解出集合B后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由AB=A,故

由上一3|〈根，得一切+3<%+3,

4<m+3m>1

故有《即《厂，即加25,

-2>-m+3m>5

即〃2的最小值为5.

故答案为：5.

13.已知轴截面为正三角形的圆锥W的高与球。的直径相等，则圆锥W的体积与球。的体积的比值

是，圆锥W的表面积与球。的表面积的比值是.

2

【答案】①.1②.1

【解析】

【分析】设圆锥的底面圆半径，•以及球的半径R,用「表示出圆锥的高/7和母线/以及球的半径R,然后根

据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.

【详解】设圆锥的底面半径为「，球的半径为R,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高〃=6广，母线/=2r，

由题可知：h=2R,所以球的半径R=

2

所以圆锥的体积为M=-x

13

2

3

圆锥的表面积耳=nrl+7ir2=3兀/,

、2

球的表面积S2=4兀尺2=4”r-3兀产，

所以j

2

故答案为：—；1.

14.以maxM表示数集M中最大的数.设OVQVZ?VCV1,已知或a+b<l,则

max{Z?-a,c-Z>,l-c}的最小值为

【答案】1##0.2

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用换元法可得<।，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.

a=l—m—n—p

【详解】令人一〃=也。一人=〃,1一。=p,其中加，凡p>0,

[a=l—m—n—p

若bN2a,则b=l—〃一，22（1—加一九一夕），故2a+〃+pNl,

☆A/=max{/7—a,c—b,l-c}=max{m,&p},

2M>2m

因止匕<M>n，故4M>2m+n+PN1,则M2工，

4

M>p

若a+bWL则1一〃一，+1一m一九一pKl,Bpm+2n+2p>l,

A/=max\b-a,c-b,l-c]=max{m,zz,/?},

M>m

则<2M>2n，故5M之机+2〃+2pNl,则

2M>2p

当根=2〃=2P时，等号成立，

综上可知max抄一a,c—Z?,l-c}的最小值为g,

故答案：—

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在622〃和。+5<1前提下进行合理分类讨论，根据题意

得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(兄)=11^+必+依+2在点(2J(2))处的切线与直线2%+3y=。垂直.

(1)求。；

(2)求/(%)单调区间和极值.

【答案】(1)a=-3

(2)单调递增区间为1o,gj、。,+8),单调递减区间为极大值;—ln2,极小值0

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

则/(2)=；+2X29

+a=—a，

2

=-1>解得a=—3；

【小问2详解】

由。=一3,故/(%)=111工+X2一3X+2,

、1cc2x-3x+l(2x-l)(x-l)

则r(x)=—+2x—3=--------------=-------八——L,x>o,

XXX

故当。<x<；时，当工<X<1时，f'(x)<0,当X〉1时，>0,

22

故的单调递增区间为［o,g］、(1,+8),的单调递减区间为&,1

故/⑴有极大值吗卜lng+出13

-3x-+2=——ln2,

24

有极小值/(I)=lnl+12—3xl+2=0.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列见解析，E(X)=?

【解析】

【分析】(1)先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取

法数，再除以总的取法数可得结果；

(2)先确定X的可取值为1,2,3,然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可

求分布列和期望E(X).

【小问1详解】

记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,

先确定3个不同数字的小球，有C；种方法，

然后每种小球各取1个，有C；xC；xC；种取法，

所以号

8

【小问2详解】

由题意可知，X的可取值为1,2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，

所以p（x=i）=c；c，3c汜；

8

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,

所以P（X=2）=弋半

8

当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，

所以P（X=3）=唯用

8

所以X的分布列为:

X123

921

p

14714

=1X2+2-+3XLW

147147

17.如图，平行六面体ABC。—44GR中，底面A3CD是边长为2的正方形，。为AC与的交点,

"=2,ZqCB=ZQCD^QCO=45°.

AB

(1)证明：GOJL平面A3CD；

(2)求二面角3-A4-。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵述

3

【解析】

【分析】(1)根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小问1详解】

连接5C],DG,

因为底面A3CD是边长为2的正方形，所以3。=。。，

又因NC[CB=NC\CD,CQ=CCt,

所以QCB三GCD,所以

点。为线段BD中点，所以GOLBD,

在△GCO中，CQ=2,C(9=1AC=V2,ZC1C(9=45°,

所以cosNC。。=—=J。?十℃2-COnG。=3，

1

22xCxCxOC

则QC2=<9C2+C。nCQ±OC,

又OCBD=O,OCu平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以G。，平面A3CD.

【小问2详解】

由题知正方形43。。中4?，3£）,平面A3CD，所以建系如图所示,

则用0,仓0),£>(0,一应,0),A(立0,0),汽―仁,0,0),G(0,0,72),

则叫=/=(60,后)，

AB=(-V2,A0),AD=(-A-V2,0),

设面8A4］的法向量为m=（%,%,zj,面。的法向量为〃=（%2，%，22），

AA.-m=0

则0

AB-m=0

设二面角B-AA】-。大小为e,

-m-n11sin0=A/1-COS20=?垃

则“MfFFT3，

所以二面角3-。的正弦值为弟.

3

18.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过尸的直线/交C于A3两点，过尸与/垂直的直线交。于。,E

两点，其中瓦。在x轴上方，分别为的中点.

（1）证明：直线过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN面积的最小值.

【答案】（1）证明见解析

(2)8

【解析】

【分析】（1）设出直线A3与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出

直线后即可得定点坐标；

（2）设出直线AE与直线3D的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为T,再

结合面积公式及基本不等式即可得.

【小问1详解】

由C：V=4x,故b（1,0）,由直线A5与直线CD垂直，

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线AB、CD分别为％=叫了+1、x^m^y+1,有班铀=一1,

A（X，X）、3（%,%）、石（七,为）、。（4为），

y2=4JC

联立C：y2=4x与直线AB,即有广，

x=m1y+l

2

消去尤可得y一4mly—4=0,A=16加;+16>0,

故%+%=4叫、%%=-4，

则石+%2=州％+1+叫％+1=町（％+%）+2=4喈+2,

故生产=24+1,乎=2叫，

即M（2喈+1,2班），同理可得N（2mf+1,2%）,

当2〃彳+1w2m1+1时，

则0：'=二聋湍旬卜一2"-1）+2%

即产喈-1）+2ml=^-3+2…

7

G-YY\'叫+m1m2+/

x2诉+1-2mm2-2/x1-2mm2

~l—l，

叫+町也+叫m2+叫叫+叫

X1+217

由叫加2=_］，即,=-----------------=--------—

加2+叫m2+mim2+m\

故x=3时，有了=--—（3-3）=0,

m2+叫

此时MN过定点，且该定点为（3,0）,

当2喈+1=2堀+1时，即诉=加；时，由叫铀=一1,即仍=±1时,

有“v：x=2+l=3,亦过定点（3,0）,

故直线过定点，且该定点为（3,0）；

【小问2详解】

由A（&%）、3（九2,%）、E（毛，为）、。（％4，乂），

V—"V

则金：＞=」3-L(x—xJ+弘,由y；=4X］、yl=4X2,

%3—Xj

才］.4xy；才+为为一©%%

i7y——2-----rx-------十%----------------------------1----------------------------1-----------

改4)%+%%+M%+M%+%%+M

44

4%।%%

y

4x1%%%+X为+X

同理可得品：＞=,联立两直线，即＜

%+%%+%4x।%九

y

%+%%+%

+4x,%%4x,y2y4

有十二十，

%+必%+M%+%%+%

即4x(%+%)+%%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+%),

有x=-----77------------------『，由%%=-4,同理y3y4=-4，

4(%+%-一

故％=y2y4(%+%)—%%(%+%)=%%%+2y4-yy3y4-1%%

14(%+%—%—%)4(%+%—%—X)

「4(%+%-Q-、］

4(%+%-%-%)'

故％=T,

过点G作GQ〃x轴，交直线MN于点Q,则SGMN=；|%—%上昆―七|，

由M(2m^+1,2ml)、N(2那+1,2叫)，

2I2~

故1%一%|=2叫—2㈣=2叫+—>2\2m{x一二4,

m1V班

当且仅当叫=±1时，等号成立，

下证上一％124

由抛物线的对称性，不妨设班〉0,则加2<°，

当叫>1时，有加2=-」-€(-1,0),则点G在X轴上方，点。亦在无轴上方，

mx

---=-^->0(、

有咫+叫叫，由直线肱V过定点(3,0),

m2

此时,°_%|>3-(一1)=4,

同理，当叫<1时，有点G在x轴下方，点。亦在x轴下方，

有-------<。，故此时卜。一龙G|>4，

当且仅当啊=1时，％=3,

故卜。一%