2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）：圆的有关性质（共46题）（解析版）

专题23园的有关性质（46题）

一、单选题

1.（2023•四川自贡•统考中考真题）如图，小8C内接于0O,C。是。。的直径，连接B。，ZDC4=41。,

则/48c的度数是（）

A.41°B.45°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】由CD是。。的直径，得出NDBC=90。，进而根据同弧所对的圆周角相等，得事N4BD=N4CD=41°,

进而即可求解.

【详解】解：:C。是。。的直径，

ZD8c=90°,

AD=AD-

：.^ABD=AACD=A\°,

ZABC=Z.DBC-Z.DBA=90°-41°=49°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

2.（2023•四川凉山•统考中考真题）如图，在。。中，OA1BC,"DB=3伊,BC=2出，则OC=（）

A.1B.2C.2上D.4

【答案】B

【分析】连接08，由圆周角定理得乙408=60。，由0Z18C得，4coE=4B0E=6（T,CE=BE=6,

CF

在Rt"CE中，由。C=,计算即可得到答案.

sin600

【详解】解：连接08.如图所示，

ZAOB=2AADB=2x30。=60°,

OAi.BC,

：.NCOE=Z.BOE=60°,CE=BE=-BC=-x2石=6,

22

在Rt^OCE中，ZCOE=60°CE=6

:.OC=CE=卓=2

sin60°y/3，

T

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂

径定理，添加适当的辅助线.

3.（2023・四川宜宾・统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆

术”.如图，施是以点。为圆心、（9/为半径的圆弧，N是Z8的中点，MN/48.“会圆术”给出前的弧

长/的近似值计算公式：/=N8+纱:.当。1=4,乙408=60。时，贝心的值为（）

OA

A.H-2A/3B.11-4百C.8-2V3D.8-4上

【答案】B

【分析】连接ON,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可.

【详解】连接。N,根据题意，蔻是以点。为圆心、O/为半径的圆弧，N是NB的中点，MN1AB.

:.点M,N,。三点共线,

••-04=4,408=60。，

是等边三角形，

OA=AB=4/0AN=60°,ON=CMsin60°=273,

OA=AB=4/OAN=60°,ON=OAsin60°=26

MN（4-2-73）

-l=AB+------=4+^-----------i-=11-4^3-

OA4

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解

题的关键.

4.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，已知点4B、C在。。上，C为标的中点.若NA4c=35。，则

/AOB等于（）

A.140°B.120°C.110°D.70°

【答案】A

【分析】连接0C,如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案.

【详解】解：连接OC,如图所示：

:点48、C在。。上,C为刀的中点,

/.BC=AC，

乙BOC=ZAOC=-ZAOB,

2

'：N8/C=35°,

根据圆周角定理可知/8。。=2乙山。=70。，

.•.408=2N50C=140°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键.

5.(2023・安徽•统考中考真题)如图，正五边形/B8E内接于。0,连接OC,。。，贝ljN8/E-NC。。=()

A.60°B.54°C.48°D.36°

【答案】D

【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可.

【详解】「N54E=180。——36^0-0,NCOO=36^0—°,

3600360°

/.^BAE-ZCOD=\SO0-^~二36。，

55

故选：D.

【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键.

6.（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两

条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心。的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

【答案】B

【分析】根据扇形的定义，即可求解.扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成.

【详解】解：甲是由一条宜径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图

形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，

只有乙是扇形，

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键.

7.（2023•云南•统考中考真题）如图，是。。的直径，C是上一点.若NBOC=66°,贝U乙4=（）

A

A.66°B.33°C.24°D.30°

【答案】B

【分析】根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：•.蓝=元，Z5OC=66°,

=33°,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

8.（2023・新疆•统考中考真题）如图，在。。中，若乙fC8=30。，OA=6,则扇形0/8（阴影部分）的面积是

A.12/7B.6〃C.4/rD.2n

【答案】B

［分析］根据圆周角定理求得乙4。8=60。.然后根据扇形面积公式进行计算即可求解.

【详解】解：•.•令=筋，4。=30。，

408=60。，

60久

Sc=---Tix6=6兀.

360

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键.

9.（2023•浙江温州•统考中考真题）如图，四边形N8C。内接于。0,BC//AD,AC1BD.若乙4。£>=120。，

AD=0则N。。的度数与BC的长分别为（）

A.10°,1B.10°,72C.15°,1D.15°,亚

【答案】C

【分析】过点。作OE1AD于点E,由题意易得NCAD=ZADB=45°=NCBD=NBCA,然后可得

NON。=NO。/=30。，NABD=ZACD=L/AOD=6C,AE=-AD=—,进而可得

222

CD=-/1OC=72,CF=-CD=—,最后问题可求解.

22

［详解】解：过点。作OEiAD于点后如图所示：

R

-：BC//AD,

/.4CBD=4DB,

,/Z-CBD=Z.CAD,

/CAD=ZADB,

•/AC1BD,

...Z.AFD=90°,

/./CAD=/ADB=45°=/CBD=/BCA,

-/^AOD=\20°,OA=OD、AD=B

NCUZ）=NOZ）4=30。，/ABD=NACD=L/AOD=6&、AE=-AD=—.

222

A£

，CAO=/CAD—/OAD=15。、OA=--------=\=OC=OD,ZBCD=Z.BCA+Z^CD=105°,

cos30°

/COD=2ZCAD=90。,NCDB=180。—/BCD-4CBD=30。，

CD=>/2OC=V2,CF=-CD=—,

22

.BC=-J2CF=1；

故选：c.

【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三

角函数是解题的关键.

10.（2023•浙江台州•统考中考真题）如图，G）。的圆心。与正方形的中心重合，已知。。的半径和正方形

的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）.

A.72B.2C.4+2近D.4-272

【答案】D

【分析】设正方形四个顶点分别为4B、C、D.连接。I并延长，交。。于点£,由题意可得，取的长度

为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可.

【详解】解：设正方形四个顶点分别为4B、C、D、连接3并延长，交。。于点E,过点。作OF1/8,

如下图：

则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，

由题意可得：OE=AB=4,AF=OF=-AB=2

2

由勾股定理可得：0A=\IOF2+AF2=2A/2，

AE=4-2近，

故选：D.

【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定

出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置.

11.（2023•山东枣庄・统考中考真题）如图，在。。中，弦4B,CD相交于点P,若4=48。，AAPD=80°,

则的度数为（）

【答案】A

【分析】根据圆周角定理，可以得到/。的度数,再根据三角形外角的性质，可以求出N3的度数.

【详解】解：・：4=印4=48。，

ZZ)=48°,

'：AAPD=SO°,AAPD=ZB+ND,

ZB=2APD-4D=80°-48°=32°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出NQ的度数.

12.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，正六边形Z8CDEF内接于。。，点P在标上，。是西的中点,

则NCP。的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可.

【详解】如图，连接。。,。。,。。,。后，

,，正六边形ABCDEF,。是玩的中点，

36001

NCOD=匕DOE==60°,4DOQ=NEOQ=-乙DOE=30°.

Z.COQ=Z.COD+ADOQ=90°,

NCPQ=；NCOQ=45。,

故选：C.

【点睛】本期考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关

键.

13.（2023•湖北十堰•统考中考真题）如图，0。是D8C的外接圆，弦8。交/C于点E,AE=DE,BC=CE,

过点。作。尸1/C于点儿延长尸。交SE于点G,若DE=3,EG=2,则Z8的长为（）

C.8D.475

【答案】B

【分析】作8M1/C于点M,由题意可得出V/E8WOEC,从而可得出A£8C为等边三角形，从而得到

NGEF=60。,NEG尸=30。，再由已知得出E尸，8c的长，进而得出CW,BM的长，再求出4〃的长，再

由勾股定理求出N8的长.

【详解】解：作8Mlzc于点"，

在AAEB和△DEC中,

/A=/D

AE=ED

/AEB=4DEC

^AEB^DEC(ASA),

/.EB—EC,

又..BC=CE,

BE=CE=BC,

「.△EBC为等边三角形,

ZGEF=60°,BC=EC

/.NEG产=30。，

「EG=2,OF1AC,NEG/=30。

EF」EG=1,

2

又AE=ED=3,OF1AC

CF=AF=AE+EF=4、

AC=2AF=8fEC=EF+CF=5,

BC=EC=5,

'：ABCM=60°,

.*.ZA/5C=30°,

CM=|,BM=ylBC2-CM2=,

AM=AC-CM=—,

2

AB=ylAM2+BM2=7.

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定

理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键.

14.（2023•山西・统考中考真题）如图，四边形内接于OO,4C,8D为对角线，8。经过圆心O.若

N8/C=40。，则/。皮?的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

［分析］由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解.

［详解］-BC=BC）

Z.BDC=Z.BAC=40°,

8。为圆的营径，

Z5C£>=90°,

2DBC=90°-ABDC=50°；

故选：B.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余,

掌握它们是关键.

15.（2023•湖北宜昌•统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是。。的半径，AC,OB交于点D.若

AD=CD=8,OD=6,则BD的长为（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

［分析］根据等腰三角形的性质得出OD1/C,根据勾股定理求出OC=10,进一步可求出8。的长.

【详解】解：•二/。=8=8,

.•.点。为/C的中点，

­.AO=CO,

OD］.AC,

由勾股定理得，OC=yjCD2+OD2=V62+82=10,

OB=10,

BD=OB-OD=\0-6=4,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题

的关键

16.（2023•河北•统考中考真题）如图，点邛〜兄是0。的八等分点.若APFQ,四边形的周长分别

为明人则下列正确的是（）

P:P,

Ps

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小无法比较

【答案】A

【分析】连接42,66,依题意得62=26=4巴=6舄，R兄=耳6,的周长为。=+

四边形巴勺不鸟的周长为6=62+兄6+66+66，故人一〃=4£+£6-46,根据的三边关系即可

得解.

【详解】连接8,88，

2

,.・点々〜4是。。的八等分点，即即=筋=丽=航=版=朋=丽=“

二利=16=利=秣舄，前=钦+熊=“8+筋=铜

:PR-PR

又：△胞A的周长为4=4巴+4A+Q舄,

四边形PFF6Pl的周长为6=《舄+月《+累£+66，

.•»—。=（6£+£4+弓£+《与一（46+46+6周=（<鸟+<4+吕月+4£）-（，4+4舄+月4）

=利+期-他

在△平^中有利+改>3

/.b-a=PR+P2P3-P[P3>0

故选：A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的

关键.

17.（2023•浙江杭州,统考中考真题）如图，在。。中，半径OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若NABC=19°,

A.23°B.24°C.25°D.26°

【答案】D

【分析】根据OAQB互相垂直可得ADB所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得NACB=1x270P=135。，

再根据三角形内角和定理即可求解.

...半径04,08互相垂直，

/.4403=90。，

・•・就所对的圆心角为270。，

・•・痴所对的圆周角//四=；、270°=135。，

又：48c=19°,

/.NB/C=180°-N/CB-N/8C=26°,

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周

角等于圆心角的一半.

18.（2023糊北黄冈•统考中考真题）如图，在。。中，直径与弦相交于点P,连接/C,AD,BD,

若NC=20。，ABPC=70°,则4OC=（）

cB

D

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根据圆周角定理得出N8=NC=20。，再由三角形外角和定理可知

NBDP=NBPC-NB=70。-20°=50°,再根据直径所对的圆周角是直角，即乙〃）8=90。，然后利用

NADB=ZADC+乙BDP进而可求出N/OC.

【详解】解：•.NC=20。，

ZS=20°,

Z.BPC=70°,

Z.BDP=Z.BPC-ZS=70°-20°=50°,

又；4B为直径,即ZADB=90°,

AADC=ZADB-ABDP=90°-50°=40°,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识.

19.（2023・广西・统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如

图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径火约为（）

A.20mB.28m

【答案】B

【分析】由题意可知，/8=37m,8=7m,主桥拱半径R,根据垂径定理，得到4D=：m,再利用勾股

定理列方程求解，即可得到答案.

【详解】解：如图，由题意可知，AB=37m,C£>=7m,主桥拱半径对

:.OD=OC-CD=(R-7)m,

TOC是半径,且0cl48,

］37

AD=BD=-AB=—m

22

在RtLADO中，AD"+OD2=OA2,

37I+(R_7『=R2,

解得：R=§^"28m,

56

故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键.

20.（2023•四川・统考中考真题）如图，是。。的直径，点C,。在。。上，连接8,OD,AC,若

4B0D=124°,则NACD的度数是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

【答案】C

［分析］根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：.•400=124。,

二040。=180°-124°=56°,

NACD=L/AOD=28°,

2

故选：C.

【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

21.（2023•山东聊城•统考中考真题）如图，点。是“3C外接圆的圆心，点/是AJBC的内心,连接。3,

IA.若NCR/=35。，则NO8C的度数为（）

17.5°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】根据三角形内心的定义可得NA4c的度数，然后由圆周角定理求出N8OC,再根据三角形内角和

定理以及等腰三角形的性质得出答案.

【详解】解：连接OC,

丁点/是&48C的内心，Z.CAI=35°,

/.BAC=2Z.CA1=70°,

/.N8OC=2/84。=140。,

.OB=OC,

180°-Z^OC180°-140°

4OBC=40cB==20°,

22

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的

交点是解题的关键.

22.（2023・福建・统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即

利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，

则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率〃的近似值为

3.1416.如图，。。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得〃的估

计值为地，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得n的估计值为（）

2

A.石B.2V2C.3D.26

【答案】C

［分析］根据圆内接正多边形的性质可得408=30。,根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得8C=g,

根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解.

【详解】解：圆的内接正卜二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30。，

设圆的半径为1.如图为其中一个等腰H角形。48,过点8作8cl04交。4于点于点C,

•/408=30。，

BC=-OB=-,

22

则％.=3吟="

故正十二边形的面积为12邑以8=12x；=3,

圆的面积为〃xlxl=3,

用圆内接正卜二边形面积近似估计。。的面积可得〃=3,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆

的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键.

23.(2023•广东•统考中考真题)如图，是。。的直径，N8ZC=50。，则ZD=()

c

C.50°D.80°

【答案】B

［分析］根据圆周角定理可进行求解.

【详解】解：15是。。的直径，

4cB=90。,

ZBAC=50°,

N/8C=90°-N8/C=40°,

-AC=AC'

：.ND=48C=40°；

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键.

24.（2023•河南•统考中考真题）如图，点4,B,C在OO上，若NC=55。，则/ZO8的度数为（）

B

A.95°B.100°C.105°D,110°

【答案】D

【分析】直接根据圆周角定理即可得.

【详解】解:.4=55°,

二由圆周角定理得：LAOB=2LC=WO0,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

25.（2023•全国•统考中考真题）如图，AB,4C是。。的弦，OB,OC是。。的半径，点P为上任意

一点（点P不与点B重合），连接CP.若NR4C=70。，则/8PC的度数可能是（）

A

B

A.700B.1050C.125°D.155°

【答案】D

［分析］根据圆周角定理得出ZBOC=2NB4C=140。,进而根据三角形的外角的性质即可求解.

【详解】解：..灰=蓝，^BAC=1CP,

^BOC=2^BAC=\40°,

2BPC=Z.BOC+NPCO>140°,

NBPC的度数可能是155。

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

26.（2023•内蒙古赤峰・统考中考真题）如图，圆内接四边形Z8C。中，NBCD=105。,连接OB,OC,OD,

BD,NBOC=2NCOD.则NC8。的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】根据圆内接四边形对角互补得出4=180°-105°=75°,根据圆周角定理得出NBOD=24=150°,

根据已知条件得出NCOD=gN8OO=5（P,进而根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：•圆内接四边形N8C。中，Z5C£>=105°,

Z^=180°-105°=75°

ZB。。=24=150。

・「4BOC=24COD

：./COD=L/BOD=50P,

3

<«------■»■<*------X

CD=CD

：,4CBD=-ACOD=-x50°=25c,

22

故选：A.

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

27.(2023•甘肃兰州・统考中考真题)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南

子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉.日直人，又树一

表于东方，因西方之表，以参望日方人北康.则定东方两表之中与西方之表，则东西也.”如图，用几何语

言叙述作图方法：已知直线。和直线外一定点O,过点。作直线与。平行.(1)以。为圆心，单位长为半

径作圆，交直线a于点A/,N;(2)分别在的延长线及CW上取点Z,B,使OA=OB;(3)连接,

取其中点C,过O,C两点确定直线6,则直线。〃从按以上作图顺序，若NMNO=35。，则4OC=()

【答案】A

【分析】证明NNMO=NMNO=35。，可得//。8=2*35。=70。，结合。4=08,C为N8的中点，可得

ZAOC=ZBOC=35°.

【详解】解：［NMVO=35。，MO=NO,

NNMO=ZMNO=35°,

408=2x350=70。，

.OA=OB,C为N8的中点，

^AOC=£BOC=35°,

故选A.

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等

腰三角形的性质是解本题的关键.

二、填空题

28.（2023•四川南充•统考中考真题）如图，48是。。的直径，点Q,"分别是弦4C,弧/C的中点,

AC=12,BC=5,则的长是.

【分析】根据圆周角定理得出N/C8=90。，再由勾股定理确定48=13.半径为三13，利用垂径定理确定

OMJ./C,且/D=CD=6,再由勾股定理求解即可.

【详解】解：•.•48是0。的直径，

-4c8=90。，

AC=12,BC=5,

AB=13.

AO=-AB=—,

22

•.,点M分别是弦/C,弧NC的中点，

OM1AC,S.AD=CD=6,

OD=>]AO2-AD2=-,

2

MD=OM-OD=AO-OD=4,

故答案为：4.

【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解

题关键.

29.（2023•浙江金华•统考中考真题）如图，在中，AB=AC=6cm,^BAC=50°,以N8为直径作半

圆，交5c于点。，交4C于点E,贝IJ弧。E的长为cm.

【分析】连接OD.0E,根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算

即可.

【详解】解：如图，连接4D,OD,0E,

为直径,

AD1AB.

-：AB=AC=6cm,ZJBAC=50°,

..BD=CD,NB4D=NCAD='NBAC=25。.

2

NDOE=2NB4D=50°,OD=-AB=-AC=3cm,

22

,,,,50x/rx35〃/、

.•.3弧nTOE的长为———=—(cw),

故答案为：cm.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公

式，圆周角定理是解题的关键.

30.(2023•四川广安•统考中考真题)如图，/8C内接于。。，圆的半径为7,ZB/C=60。，则弦5c的长

【答案】76

【分析】连接O8,OC,过点。作OD1BC于点、D，先根据圆周角定理可得/80。=22847=120。，再根

据等腰三角形的三线合一可得N8O£＞=60。，BC=2BD,然后解直角三角形可得8。的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接。民。。，过点。作。。1BC尸点O,

Z5OC=2Z5/4C=120°,

Q0B=0CQD1BC,

NBOD=-NBOC=60°,BC=2BD,

2

,圆的半径为7,

OB=7,

BD=OBsin60°=-43,

2

BC=2BD=1后，

故答案为：7百.

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角

三角形的方法是解题关键.

31.（2023•甘肃武威•统考中考真题）如图，＞8C内接于。0,4B是。。的直径，点。是。。上一点,

【答案】35

［分析］由同弧所对的圆周角相等，得乙＜=/88=55。,再根据直径所对的圆周角为直角，得4c5=90。,

然后由直角三角形的性质即可得出结果.

【详解】解：Q4,NC£>8是前所对的圆周角，

ZJ=ZCDB=55°,

,:48是。。的直径，

,.'Z^C5=90°,

在RtZ\/C8中，ZJ5C=90°-ZJ=90o-55o=35°,

故答案为:35.

【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解

本题的关键.

32.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆。，若〃=100°,则NB的度数是.

【答案】80°

【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答.

【详解）解：••・四边形ABCD内接于。。，

牙11）=180,

4）=100。，

ZB=180°-ZD=80°.

故答案为:80°.

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键.

33.（2023•山东烟台•统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角

器的外弧分别交于点4B,C,D,连接N8,则/8ZO的度数为.

［答案］52.5°

【分析】方法一：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB,由题意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根据等腰三角形的性质求得NCM8=65。、ZOAD=25°.最后根据角的和

差即可解答.

方法二：连接由题意可得：NBAD=105。,然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】方法一：解：如图：连接

由题意可得：OA=OB=OC=OD、//08=50。-25。=25。，40。=155。一25。=130。，

NOZ8=；（180。-408）=77.5。,NO/。==25°,

/BAD=NOAB-NOAD=525°.

方法二：解：连接08。。，

由题意可得：/849=155。-50。=105。，

根据圆周角定理，知/BAD=-^BOD=-xl050=52.5°.

22

故答案为：52.5°.

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度

数的一半是解答本题的关键.

34.（2023・湖南•统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五

边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个.

【答案】10

【分析】先求出正五边形的外角为72。，则N1=N2=72。，进而得出乙408=36。，即可求解.

【详解】解：根据题意可得：

・••正五边形的一个外角=等=72。,

：.Zl=Z2=72°,

N力=180°-72°x2=36°,

「•共需要正五边形的个数=翳=10（个），

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法.

35.（2023・湖南永州・统考中考真题）如图，。。是一个盛有水的容器的横截面，。。的半径为10cm.水的

最深处到水面N8的距离为4cm,则水面的宽度为cm.

AB

【答案】16

【分析】过点。作001/8于点。，交。。于点£,则=依题意，得出OD=6,进而在

RtA/OD中.勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作。。1/8于点。，交。。于点E,则/。=O8=g/8,

水的最深处到水面AB的距离为4cm,Q0的半径为10cm.

.­.00=10-4=6cm,

在RUAOD中，AD=\IAO2-OD2=V102-62=8cm

AB=2AD=16cm

故答案为：16.

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

36.（2023•湖北随州•统考中考真题）如图，在。。中，OA1BC,ZAOB=6（F,则乙M>C的度数为

［分析］根据垂径定理得到勃=祀，根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：••0/18C,

..初=祀，

ZADC=-^AOB=30P,

2

故答案为：30°.

【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半是解题的关键.

37.（2023•湖南•统考中考真题）如图所示，点/、B、C是。。上不同的三点，点。在418c的内部，连接

BO、CO,并延长线段8。交线段/C于点D若乙4=60。,ZCCD=40°,则NODC=度.

【答案】80

【分析】先根据圆周角定理求出/8。。的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果.

【详解】解：在。。中，

Q4OC=24=2x60。=120。,

NODC=ZBOC-4OCD=120°-40°=80°

故答案为：80.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键.

38.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一

台监视器，它的监控角度是55。，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器

___________台.

【答案】4

【分析】圆周角定理求出/P对应的圆心角的度数，利用360。:圆心角的度数即可得解.

【详解】解：1匕=55。，

小尸对应的圆心角的度数为110。，

-.-360°4-110°=3.27,

.•.最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；

故答案为：4

【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

39.（2023•浙江杭州•统考中考真题）如图，六边形/8COE/是。。的内接正六边形，设正六边形4BCDEF

的面积为E，△ZC£的面积为邑，则寸=.

【答案】2

［分析］连接O4OCOE,首先证明出ZUCE是。。的内接正三角形，然后证明蝴A8/C/AO/C（ASA）,

得到S/BAC=S.*FE=S.CDE，$血C==$«℃£，进而求解即可.

【详解】如图所示，连接O4OCOE,

•.,六边形ABCDEF是。。的内接正六边形,

/.AC=AE—CE,

△ACE是。。的内接正三角形，

.../〃=120。，AB=BC,

ABAC=ZBCA=80。—N8）=30。，

ZG4E=60°,

NOZC=NONE=30。，

ZBAC=ZOAC=30°,

同理可得，N8C/=NOCZ=30。,

又•.・AC=AC,

^BAC^OAC(ASA),

S〉BAC=S.o/c,

由圆和正六边形的性质可得，S.c=S."£=S,CDE、

由圆和正三角形的性质可得'S&OAC=S4OAE=S4OCE，

+=

S|=S.BAC+S“FE+S.CDE+S.OAC+S«OAE^^OCE2(S^QAC+S.OAE+S.OCE)=2s2,

•县=2

・邑-

故答案为：2.

【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知

识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

40.（2023•广东深圳•统考中考真题）如图，在。。中，48为直径,C为圆上一点，/历1C的角平分线与。。

交于点D,若N4DC=20。,则=°.

【答案】35

【分析】由题意易得入1C8=9O。，N/OC=N48C=20。，则有NB4C=70°,然后问题可求解.

【详解】解：1•48是。。的直径，

ZACB=90°,

"=/C，N皿=20°，

/.ADC=AABC=20°,

NBAC=1曾,

ZD平分N8ZC,

ABAD=-ABAC=350■

2

故答案为：35.

【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键.

41.（2023•山东东营•统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？用现在的几何语言表达即：

如图，CO为。。的直径，弦/81CD,垂足为点E,CE=1寸，/8=10寸，则直径CD的长度是

寸.

【答案】26

【分析】连接。/构成直角三角形，先根据垂径定理，由。E垂直NB得到点E为N5的中点，由刖=6可求

出4E的长，再设出圆的半径04为x,表示出OE,根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的

值，即为圆的直径.

【详解】解：连接。4,

-：ABLCD,且48=10寸，

/.4E=BE=5寸,

设圆O的半径OZ的长为X,则OC=OD=X,

QC£=1,

OE=x-l,

在直角三角形NOE中，根据勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化简得：A-2-x2+2r-l=25,

即2x=26,

.-.CD=26(寸).

故答案为：26.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形.

三、解答题

42.(2023•浙江金华•统考中考真题)如图，点A在第一象限内，。”与x轴相切于点B,与V轴相交于点

C,D.连接48,过点A作/，18于点

⑴求证：四边形为矩形.

(2)已知。/的半径为4,08=77,求弦C。的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可.

(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可.

【详解】(1)证明：：与x轴相切于点B,

AB1x轴.

AHiCD,HO1OB,

/.ZAHO=4HOB=NOBA=90°,

四边形力是矩形.

(2)如图,连接/C.

:四边形是矩形，

AH=0B=5.

在Rt""C中，CH?=AC2-AH2,

.•.CH=j4，-（近了=3.

二点A为圆心，AHLCD,

:.CD=2CH=6.

【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键.

43.（2023•甘肃武威・统考中考真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用

圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆

规的几何学》中.请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：

如图，已知。。，A是。。上一点，只用圆规将。。的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）

①以点A为圆心，0/长为半径，自点A起，在。。上逆时针方向顺次截取前二余二方；

②分别以点A,点。为圆心，/C长为半径作弧，两弧交于。。上方点E;

③以点A为圆心，OE长为半径作弧交。。于G,〃两点.即点A,G,D,n将。。的圆周四等分.

［答案】见解析

【分析】根据作图提示逐步完成作图即可.再根据图形基本性质进行证明即可.

【详解】解：如图，

即点A,G、D,“把。。的圆周四等分.

理由如下：

如图，连接OB,OC,AG,AE,DE,AC,DC,OEQH,OG,AH,

由作图可得：泰=前=0),且。4=OB=4B、

tAOB为等边三角形,ZAOB=60°,

同理可得：ZBOC=Z.COD=60°,

ZAOB+Z.BOC+Z.COD=180°,

：.A,O,。三点共线，49为直径，

ZACD=90°,

设CD=x，而ND/C=30。，

AD=2x,AC=&,

由作图可得：DE=AE=AC=>/3x,而O/=OO=x,

EOLAD,OE=y/DE2-OD2=41x，

由作图可得AG=AH=Vlr,

而O/=OH=x,

OA2+OH1=2x2=AH2,

乙40H=90。,

同理ZLAOG=90°=ADOG=乙DOH,

.,.点A,G,D,H把。。的圆周四等分.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定

理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题

的关键.

44.(2023・上海・统考中考真题)如图，在。。中，弦48的长为8,点C在50延长线上，且

(1)求0。的半径;

(2)求NBAC的正切值.

【答案】(1)5

⑵:

【分析】(1)延长3C,交。。于点。，连接力。,先根据圆周角定理可得/氏〃)=90。，再解直角三角形可

得50=10,由此即可得;

9

(2)过点。作