2024届江西省中学等学校九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2024届江西省中学等学校九年级数学第一学期期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，正五边形ABCD内接于0O,连接对角线AC,AD,则下列结论：①BC〃AD；②NBAE=3NCAD；

③aBACgZkEAD;④AC=2CD.其中判断正确的是（）

A.①③④B.①（§）③C.①②④D.①②③④

2.如图,BO是菱形ABCD的对角线,CEL4B交于点E,交8。于点尸，且点E是AB中点,则3ιNBFE的值是（）

B.2C.—D.√3

3

3.如图，在一ABC中，DE∕∕BC,AD=3BD,DE=3,则BC的长度为

C.4D.6

4.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点

D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度是（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.Icm

ΛΓ)

5.如图，平行于BC的直线DE把AABC分成的两部分面积相等，则——为()

AB

6.如图，将NAOB放置在5x5的正方形网格中，则tanNAOB的值是

32√13D.警

B.一

3213

7.一元二次方程(x+2)(x-l)=4的解是(

A.xι=0,X2=-3B.xι=2,X2=-3

C.xι=l,X2=2D.Xi=-I9X2=-2

8.方程X(X-2)=2-X的根是(

A.B.0C.・1和2D.1和2

其对称轴为直线X=-ɪ,结合图象分析下列结论:

9.如图，抛物线y="x2+bx+c(a≠0)与X轴交于点(-3,0),

①〃反>0；②3α+c>0;③当XVo时，y随X的增大而增大：④若机，〃(w<n)为方程〃(x+3)(x-2)+3=0的两

个根’则，-3且〃>2；⑤勺竺<。，其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AE_L6r)于F,则线段AE的长是()

A.3B.2.5C.2.4D.2

填空题（每小题3分,共24分）

11.如图等边三角形ABC内接于O,若。的半径为1,则图中阴影部分的面积等于

3

12.在AABC中，NC=90°,cosA=,-则tanA等于.

O

13.阅读下列材料，我们知道（屈+3）（JW-3）=4,因此将7字三的分子分母同时乘以“加+3”，分母就变

88(√13+3)8(√13+3)

成了4,即K—=ʌ-r-.J—ʌ=-^-~~L,从而可以达到对根式化简的目的，根据上述阅读材料解决

√B-37(√B-3)(7√13+3)4

2017

问题：若"?=~7——,则代数式mS+2ι∏4-2017m3+2016的值是_____.

√2018+l

14.如图，AC,8。在AB的同侧，AC=2,BD=S,AB=S,点M为AB的中点，若NCM£>=120，则Co的最

大值是.

D

15.三角形两边长分别是4和2,第三边长是2x2-9x+4=0的一个根，则三角形的周长是.

16.在平面直角坐标系中，点AB的坐标分别是A（4,2）,B（5,0）,以点。为位似中心，相们比为;，把ABO缩小,

得到AtBtO,则点A的对应点Al的坐标为.

17.如图，在扇形OAB中，NAoB=90。，半径OA=L将扇形OAB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在延长线上

点D处，折痕交OA于点C,整个阴影部分的面积.

18.若关于X的方程X2-√2x+sinα=O有两个相等的实数根，则锐角a的度数为一.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示

旗杆的高，线段FG表示一堵高墙.

D

（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；

（2）如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗杆的高DE=15m,旗杆与高墙的距离EG=16m,请求

出旗杆的影子落在墙上的长度.

20.（6分）如图，AB是。。的直径，BD是。的弦,延长30到点。，使OC=3。，连结AC,过点。作OE_LAC,

垂足为E.

A

⑴求证：AB=AC;

⑵求证：DE为。的切线.

21.(6分)在下列网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，AABC在网格中的位置如图所示:

(1)在图中画出AABC先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的图形ΔA4C∣;

(2)若点A的坐标是(一4,一3),试在图中画出平面直角坐标系，坐标系的原点记作O；

(3)根据(2)的坐标系，作出ΔA4G以O为旋转中心，逆时针旋转90°后的图形A%4C2,并求出点A一共运动

的路径长.

22.(8分)如图，在AABC中，AB^AC,AO为BC边上的中线,OE_LAB于点E

(1)求证：BD∙AD=DE∙AC.

(2)若AB=I3,BC=I0,求线段DE的长.

(3)在(2)的条件下，求COSNBr)£的值.

23.(8分)如图，抛物线y=-g2+mχ+n与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交X轴于点D,

已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；

如果不存在，请说明理由；

(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作X轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形

CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

24.(8分)如图，直线y=Lχ+2分别交轴于A、C,点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB_LX

2

轴于B,且SAABP=L

(1)求证：△AOCS∆ABP;

(2)求点P的坐标；

(3)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RTj_X轴于T,当ABRT与AAOC

相似时，求点R的坐标.

/()∖BTX

25.(10分)综合与探究

如图，抛物线y=0χ2+∕7χ+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与)’轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点D的横

坐标为〃?(1＜加＜4).连接AC,BC,DB,DC,

⑴求抛物线的函数表达式；

3

(2)ABCD的面积等于AAOC的面积的二时，求的值；

⑶在⑵的条件下，若点M是X轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B,

D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

26.(10分)如图，四边形ABCo中，ZABD=NBCD=9。，DB平分NADC,BM//CD.

(D求证：BD2=ADCD;

(2)求证：点M是AO的中点；

(3)若CD=6,AO=8,求MN的长.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可.

BC=CD=AB,

【详解】解：①

ZBAC=ZCAD=ZACB,

ΛBCAD,故本选项正确;

②TBOCIADE,

ΛNBAC=NCAD=NDAE,

ΛZBAE=3ZCAD,故本选项正确；

③在AB4C和AEzW中，

BA=AE,BC=DE,NB=NE,

Λ∆BAC^∆EAD(SAS),故本选项正确；

@'：AB+BC>AC,：.2CD>AC,故本选项错误.

故答案为①②③.

【点睛】

此题考查圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系，理解定义是关键.

2、D

【分析】首先利用菱形的性质得出AB=BC,即可得出NABC=60。，再利用三角函数得出答案.

【详解】解：；四边形ABCD是菱形，

ΛAB=BC,

VCE±AB,点E是AB中点，

ΛZABC=60o,

二ZEBF=30o,

二ZBFE=60o,

ΛtanZBFE=√3.

故选：D

【点睛】

此题考查菱形的性质，关键是根据含30。的直角三角形的性质和三角函数解答.

3、C

【分析】根据已知条件得到丝=3,根据相似三角形的判定和性质可得”=匹，即可得到结论.

AB4ABBC

【详解】解：∙.∙AD=3BD,

AD3

..-------=—9

AB4

VDE/7BC,

Λ∆ADE∞∆ABC,

ADDE

"~AB~~BC,

.3_3

,,4^BC,

ΛBC=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似基本图形掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

4、B

【分析】过点O作OM_LDE于点M,连接OD,根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和

勾股定理进行计算，即可求出答案.

【详解】过点O作OMJ_DE于点M,连接OD.

ΛDE=DE,

VDE=8cm,

.∙.DM=4cm,

在Rt/^ODM中，VOD=OC=Scm,

Λ0J∕=-4：=3cm

.∙.直尺的宽度为3cm.

故答案选B.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.

5、D

【分析】先证明△AOESZV1BC,然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.

【详解】•：BC//DE,

AADEsAABC,

•••。£把4AHC分成的两部分面积相等，

.,.∆ADEt∆ABC=b2,

•丝=H=-L

∙∙ABV2√2'

故选D.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形

与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方.

6、B

3

【解析】分析：认真读图，在以NAoB的O为顶点的直角三角形里求tan/AOB的值：tanNAoB=一.故选B.

2

7,B

【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程.

【详解】原方程整理得：x,+x-6=0

(x+3)(x-l)=O

x+3=0或X-I=O

.∙.xι=-3,XI=L

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法.把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键.

8,C

【分析】用因式分解法课求得

【详解】解：MX—2)—(2—X)=O,(x—2)(x+l)=0,解得玉=T,/=2

故选C

【点睛】

本题考查了用因式分解求一元二次方程.

9、C

【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本

题.

【详解】T抛物线y=αχ2+fer+c(α≠l)与X轴交于点(-3,1),其对称轴为直线*=-；，

,b1

；・抛物线产0x2+fcr+c(α≠l)与X轴交于点(-3,1)和(2,1),且----=---,

2a2

•∙ci—bf

由图象知：a<l9c>l9⅛<1,

Λabc>l9故结论①正确；

:抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)⅛x轴交于点(-3,1),

：・9a-3、+C=L

•：a=b,

:∙c=-6α,

Λ3a+c=-3a>l9

故结论②正确；

∙.∙当X<—；时，y随X的增大而增大；当—；<X<1时，y随X的增大而减小，

故结论③错误；

:抛物线y=αx2+加什C(Q≠1)与X轴交于点(-3,1)和(2,1),

.∖y=ax2+bx+c=a(x+3)(x-2).

Vm,〃(7〃V〃)为方程a(x+3)(x-2)+3=1的两个根，

:・m，为方程α(x+3)(X-2)=-3的两个根，

,孙麓Vm为函数尸o(x+3)(X-2)与直线y=-3的两个交点的横坐标，

结合图象得：机V-3且〃>2,

故结论④成立；

1A-Cic-b?

・・•当X=——时，y=α∙>1,

24。

.b2-Aac

•.L•

40

故结论⑤正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=0χ2+bχ+c(αwi),二次项系数“决定抛物线的开口方向和大

小：当”>l时，抛物线向上开口；当α<l时，抛物线向下开口；一次项系数8和二次项系数“共同决定对称轴的位

置:当α与b同号时(即必>1),对称轴在y轴左；当α与8异号时(即袖VI),对称轴在y轴右；常数项C决定抛物线

与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(1,¢);抛物线与X轴交点个数由△决定：△="-4αc>l时，抛物线与X轴有2

个交点；^="-4αc=l时，抛物线与X轴有1个交点；4=62-44cVl时，抛物线与X轴没有交点.

10、C

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出8。=5,再由面积法求出AE的长即可.

【详解】解：四边形ABC。是矩形，

AD=BC=A,ZBAD=90。,

:.BD=sjAB2+AD2=√32+42=5，

,ΔABDKjffi⅞R=ɪBD×AF=—×AB×AD,

,22

“厂AB×AD3×4C

.∙.AF=-----------=------=2.4yl；

BD5

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的

关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、-

3

【分析】如图（见解析），连接OC根据圆的内接三角形和等边三角形的性质可得，ΔAQB的面积等于MOC的面积、

以及NAoC的度数，从而可得阴影部分的面积等于钝角NAOC对应的扇形面积.

【详解】如图，连接OC

由圆的内接三角形得，点O为AABC垂直平分线的交点

又因AABC是等边三角形，则其垂直平分线的交点与角平分线的交点重合

.∙.AB=AC,ZOAC=ZOCA=ɪZACB=30°,且点O到AB和AC的距离相等

2

oo

.-.ZAOC180-ZOAC-ZOCA=120,SMOB=SMOC

ElCC12032R

则S阴影=S扇形AOC=^IXr=y

故答案为：

【点睛】

本题考查了圆的内接三角形的性质、等边三角形的性质、扇形面积公式，根据等边三角形的性质得出ΔAO8的面积等

于MOC的面积是解题关键.

4

12、一・

3

【解析】试题分析：•••在AABC中，ZC=90o,COSA==3，.∙.ArC⅛=3:∙

5AB5

•••可设AC=3%AB=5k.

,根据勾股定理可得BC=4k.

,BC4k4

•∙tanAλ==—=一•

AC3k3

考点：L锐角三角函数定义；2.勾股定理.

13、2016

【分析】首先对m这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可.

2017(√2018-l)

201720171

【详解】Im=(^≡-)⅜-ι,

√2018+1-(√2018+1)(√2018-1)^

2018-1

,m+l=√2018,

:∙m1+2m+l=2018，

：•rrΓ+2w-2017=O»

.∙.原式=m3(nr+2m-2017)+2016=2016.

故答案为：2016.

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键.

14、14

【分析】如图，作点A关于CM的对称点A，，点6关于OM的对称点出，证明方为等边三角形，即可解决问题.

【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A',点3关于JDM的对称点8'.

NCMr)=120,

.∙.ZAMC+NoMB=60,

•••NCM4'+"MB'=60,

.∙.ZA'MB'=60,

MA'=MB',

.∙.ΔA'M3'为等边三角形

CD<CA'+A'B'+B'D^CA+AM+BD^∖4,

CO的最大值为14,

故答案为14.

D

々/I

AMB

【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段

最短解决最值问题

15、1.

【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可.

【详解】解：方程2/-%+4=0,

分解因式得：(2x-1)(x-4)=0,

解得：X=L或x=4,

2

当X=L时，l+2<4,不能构成三角形，舍去；

22

则三角形周长为4+4+2=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键.

16、(2,1)^(-2,-1)

【解析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以L和-L即可求解.

22

【详解】解：以点。为位似中心，相似比为;，把ABo缩小，点A的坐标是A(4,2)

则点A的对应点A1的坐标为(4x；,2x；M-4xg,-2X,即(2,1)或(-2,-1),

故答案为：(2,1)或(—2,-1).

【点睛】

本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.

17、9π-12√3.

【详解】解：连接OD交BC于点E,NAOB=90。,

1八

二扇形的面积=—*"x6-=9τr,

4

由翻折的性质可知：OE=DE=3,

在Rt∆OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知NoBC=30。,

在RtACOB中，CO=25

ΛACOB的面积=1百，

.∙.阴影部分的面积为=9π-12√3.

故答案为9π-12√3.

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键.

18、30°

【解析】试题解析：•••关于X的方程f一心+Sina=O有两个相等的实数根,

二产（-0）-4χlXSina=0,

解得：Sina=1，

2

.∙.锐角α的度数为30。；

故答案为30。.

三、解答题（共66分）

13

19、（1）作图见解析；（2）吊米.

【分析】（1）连接AC,过D点作AC的平行线即可；

（2）过M作MN_LDE于N,利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可.

【详解】（1）如图所示，线段MG和GE是旗杆在阳光下形成的影子.

F

⑵过点M作MN_LoE于点N.

设旗杆的影子落在墙上的高度为Xm,

由题意得AOMNS^AC5,

.DNMN

"~AB~~BC'

XVAB=1.6m,BC=2.4m,

ON=OE-NE=(15-X)m,

MN=EG-Iftm,

.15-x16初汨13

1.62.43

13

答：旗杆的影子落在墙上的高度为'm.

【点睛】

本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形.

20、（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）连接AD,则AD_LBC,再由已知Z）C=Bz）,可推出AD是BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性

质即可得出结论.

（2）连接OD,证明OD_LDE即可.根据三角形中位线定理和平行线的性质可以证明.

【详解】解：（1）证明：连接Ao

：AB是O。的直径

.".ZADB=90°

又BD=CD

∙∙.A。是BC的垂直平分线

..AB=AC

⑵连接8

Y点。、。分别是A5、BC的中点

ΛODHAC

又DELAC

J.ODYDE

:∙DE为。的切线；

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的判定等，准确作出辅助线是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)见解析；(3)图见解析，点A一共运动的路径长为(5+))

【分析】(1)根据平移的性质描点作图即可.

(2)根据A点坐标在图中找出原点，画出平面直角坐标系即可.

(3)利用旋转的性质描点画出图形，由于旋转所经过的路径是圆弧，因此利用弧长公式计算即可.

【详解】解：所作图形如下：

点A由A到A运动的路径长为5,

9()TT×2

再由4到A运动的路径长为一一=4

Λ点A一共运动的路径长为(5+万).

【点睛】

本题主要考查了图形的平移，旋转的性质，弧长的计算，熟记旋转时的路径是圆弧，利用弧的计算公式列式计算是解

题的关键.

22、(1)见解析；(2)DE=—；(3)cosZBDE=—.

1313

【分析】(1)先利用等腰三角形的性质证明∕B=NC,AD±BC,然后再证明4BDEsZ∖CAD即可；

(2)利用勾股定理求出AD,再根据(1)的结论即可求出DE；

(3)在RtABDE中，利用锐角三角函数求解即可.

【详解】解：(1)证明：∙.∙AB=AC,AD为BC边上的中线,

ΛZB=ZC,AD±BC,即NADC=90°,

又；DEJ_AB于点E,即NDEB=90°,

ΛZADC=ZDEB,

Λ∆BDE<^∆CAD,

.BDDE

••=9

ACAD

.∙.BD∙AD=DE∙AC;

(2)YAD为BC边上的中线，BC=IO,

ΛBD=CD=5,

在RtZkABD中，AB=13,BD=5,

-›-AD=√132-52=12>

由(1)得BD∙AD=DE∙AC,

XVAC=AB=13,

Λ5×12=13∙DE,

60

ΛDE=—；

13

(3)由(2)知，DE=—,BD=5,

13

60

.,.aRt∆BDEφ,..DEŋ12•

cosNBdtDλeE-------=-UL=——

BD513

【点睛】

本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及余弦的定义

是解题的关键.

23、(1)抛物线的解析式为：y=-：x4；x+l

aQqa《

(1)存在，P∣(—,2),P∣(—>—),P3(—,-—)

■)■))■■">■>

I2

(3)当点E运动到(1,1)时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大二——.

【解析】试题分析：(1)将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

(D根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于

Pi;以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点Pi,P35作CH垂直于对称轴与点H,由等腰三角形的性质及勾股定

理就可以求出结论；

(3)由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F

的坐标，由四边形CDBF的面积=SABCD+SACEF+SABEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

试题解析：(1);抛物线y=-Wx/mx+ii经过A(-1,O),C(0,1).

■

V,学

胸=二

解得：I；⅛,

∣k:=?

.∙.抛物线的解析式为：y=-+χ∣+三χ+l;

.∙.抛物线的对称轴是X=二.

一

.∙.OD=-.

VC(0,1),

ΛOC=1.

在RtAOCD中，由勾股定理，得

CD=-.

■

V∆CDP是以CD为腰的等腰三角形，

/.CPI=CPI=CP3=CD.

作CHaX轴于H,

AHPi=HD=I,

ΛDPι=2.

33<3<

/.Pi(_,2),Pi(二，二)，P3(—，-二);

)?1))

1a

(3)当y=O时，0=-；x】+：x+l

Λx∣=-1,xι=2,

ΛB(2,O).

设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象，得

0=学

,∙β

解得:

.∙.直线BC的解析式为：y=-Aχ+1.

如图1,过点C作CM_LEF于M,设E(a,--a+l),F(a,-二a∣+二a+l),

[a11

.*.EF=--a∣+二a+1-(--a+l)=--a,+la(0≤x≤2).

*∙*S四边形CDBF=SABCD+SACEF+SABEF=—BD∙OC÷ɪEF∙CM+JEF∙BN,

=-二1+Ja(-La1+la)+ɪ(2-a)(-二a1+la),

=-al+2a+—(0<x≤2).

(a-l)J

Iɔ

.∙.a=l时，S四边形CDBF的面积最大=E,

考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值

24、(1)详见解析；(2)P为(2,3)；(3)R(l+√13,O)或(3,())

【分析】(D由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

(2)先求出点A、C的坐标，设出A(x,0),C(0,y)代入直线的解析式可知；由^AOCsaABP,利用线段比

求出BP,AB的值从而可求出点P的坐标即可;

（3）把P坐标代入求出反比例函数，设R点坐标为（α,9）,根据aBRT与aAOC相似分两种情况，利用线段比建

a

立方程，求出a的值，即可确定出R坐标.

【详解】解：（1）VZCAO=ZPAB,NAoC=NABP=I0°,

Λ∆AOC^∆ABP;

(2)设A(x,O),C(O,y)由题意得:

L+2=0X=-4

2解得:

2

y=2,y=

ΛA(-4,O),C(0,2),BPAO=4,OC=2,

又：SAABP=I,

ΛAB∙BP=18,

XVPBlxft,

ΛOC∕7PB,

Λ∆AOC<^∆ABP,

AOOC42

•**---=----,即aπ----=----9

ABBPABBP

Λ2BP=AB,

Λ2BP2=18,

ΛBP2=I,

.φ.BP=3,

ΛAB=6,

・・・P点坐标为(2,3)；

k6

(3)设反比例函数为>=一，则左=6,即V=一,

XX

66

可设R点为(。,一)，贝IlRT=—，TB=α—2

aa

ʌErHAoOC

①要4BRTs^ACO,则只要——=——，

BTRT

42

∙,∙a—26,解得：a=∖+VH>

a

.6~6,vɪɜ-ɪ

"fl-l+√13-2，

.∙.点R的坐标为：(1+JI5，姮二I)；

2

(2)⅛∆BRT<×>∆CAO,则只要也=",

RTBT

42

工6Q-2，解得：。=3,

a

.66.

———=2,

a3

・•・点R的坐标为：(3,2)；

综合上述可知，点R为：(1+√13,^~1)或(3,2).

2

【点睛】

此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比

例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

2

25、(l)y=-∣x+∣%+6;(2)3；(3)M,(8,0),M2(0,0),Λ∕3(√i4,0),M4(-√14,0).

【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；

3

⑵作直线DE_LX轴于点E,交BC于点G,作CF_LDE,垂足为F,先求出SAoAC=6,再根据SABCD=-SAAOc,得到

9333

SABCD=彳，然后求出BC的解析式为y=--x+6,则可得点G的坐标为(m,--m+6),由此可得DG=--ιn2+3m,

再根据SABCD=SACDG+SABDG=-DGBO,可得关于m的方程，解方程即可求得答案；

2

⑶存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D

的坐标可得点N点纵坐标为土”，然后分点N的纵坐标为"和点N的纵坐标为一达两种情况分别求解；以BD为

444

对角线时，有1种情况，此时Nl点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BMl=NID=4,继而求得

OM1=8,由此即可求得答案.

【详解】⑴抛物线y=0χ2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),

4a-2b+6=Q

16a+4b+6=O

3

a=—

4

解得

b=—

2

33

.∙∙抛物线的函数表达式为＞=一〔/+2》+6；

⑵作直线DE_LX轴于点E,交BC于点G,作CFLDE,垂足为F,

V点A的坐标为(-2,0),.∙.OA=2,

由X=0,得y=6,.∙.点C的坐标为(0,6),.∙.OC=6,

：,SAOAC=-OA∙OC=-×2×6=6,

22

・.3

*∙*SABCD=­S∆AOC>

4

・3/9

•∙SABCD=—X6=—,

42

设直线BC的函数表达式为y=kx+n9

,3

r4k+n=0k=—

由B,C两点的坐标得乙，解得2,

〃=6/

.∙.直线BC的函数表达式为y=—∙∣x+6,

3

点G的坐标为(∕n,--m+6),

2

3333

：・DG=——m2+—λn+6-(——m+6)=——m2+3m,

4224

V点B的坐标为(4,0),ΛOB=4,

•：SΔBCD=SΔCDG+SΔBDG=—DG∙CFH—DG∙BE=—∙DG(CF+BE)=—DG∙BO

22