2023-2024学年山西省运城市河津小梁中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年山西省运城市河津小梁中学高一数学理上学期

期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知团二小，法卜2赤，万=一3,则a与占的夹角是()

A.30。B.60°C.120°D.

150°

参考答案：

c

略

2.(3分)函数f(x)=logzx+2x-1的零点必落在区间()

11111

A.(8,1)B.(4,2)C.(2,1)D.(1,

2)

参考答案：

C

考点：函数的零点.

专题：计算题.

分析：要判断函数f(x)=logzx+2x-1的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次

111

判断豆421,2的函数值，然后根据连续函数在区间(a,b)上零点，则f(a)与

f(b)异号进行判断.

1111

解答:解：(a)=log力+2X®-l=Z-4<0

1ill

f(4)=log24+2X4-1=2-3<0

11

f(2)-10g2\frac{l}(2)+2X2-1=1-2<0

f(1.)=log2l+2Xl-1=2-l>0

f(2)=log22+2X2-1=5-l>0

1

故函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间(21)

故选C

点评：本题查察的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间

(a,b)上零点，则f(a)与f(b)异号.

3.下列五个写法：①{0}w(L23)；②夕U{Q}；③{0,1,2)^(12.0).④

⑤其中错误写法的个数为()

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

C

4.下列给出的四个图形中，是函数图象的有()

参考答案:

B

5.某同学用收集到的6组数据对(电，％)(i=l,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散

点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线/的方程：

y"bx^a,相关指数为几现给出以下3个结论：①，＞0；②直线/恰好过点》

③%>1；其中正确的结论是

£(5.5)

*

血4.2)

•2X33)

,、•((223)

40,1.5)-5(12)

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

参考答案：

A

由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数r

0M+2+3+5+71542+2»3川<2

=17==3.

因为66所以回归直线］的方程必

过点(M0=G9,即直线，恰好过点Z)；

因为直线［斜率接近于AD斜率，而0-3,所以③错误，

综上正确结论是①②，选A.

6.已知4二(4,3),则4在W=(1,0)上的投影为()

A.-4B.4C.3D.-3

参考答案:

B

7.已知正项等比数歹！］｛4｝中，。1=3,%="3,若数列｛%｝满足%=1陀3%，则数列

1，

的前"项和凡=()

2月

A2n-1B2n+1

C.2n-1D.2X1+1

参考答案：

D

略

8.在AAOB中，3=(289.2«11。).3=(58$•.5寂11向.若如砺=_5,则

△AOB的面积为()

5招yf3

A.上B.2C.2D.54

参考答案：

B

略

9.1337与382的最大公约数是()

A.3B.382C.191

D.201

参考答案：

C

10.函数f(x)-a/a2(0<a<i)的单调递增区间是()

3333

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

参考答案：

B

【考点】复合函数的单调性.

【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解.

【解答】解：设t=g(x)=-x2+3x+2,则y=a\OVaVl为减函数，

若求f(x)=a-x'+3x+2(0<a<1)的单调递增区间，

则等价为求t=g(x)=-X2+3X+2的单调递减区间，

3_

,.，t=g(x)=-x?+3x+2的单调递减区间为(2,+oo),

二函数f(x)=a-x'+"+Z(0<a<l)的单调递增区间是(2,+a>),

故选：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

/(x)=$m”+示J的图象沿X轴向左平移12个单位，得到函数g(x)的

11.若把函数

图象，则g(K)的解析式为.

参考答案:

g(x)=stn(2x+y)

略

J2-x

12.函数2x2-3x-2的定义域为

参考答案：

13.若正方形池⑵边长为1,点尸在线段幺。上运动，则工F•1尸3+尸。)的最大值

是_____

参考答案：

£

4

略

14.满足化2)要"U(123.4.为集合M有个

参考答案：

7

小)=咄

15.若」x+2在区间(-2，他)上是增函数，则a的取值范围是。

参考答案：

A

解析:设/则/⑷A/®),而/5)・/(马)

_axj♦1_ax2+1_2ajj+-2ax2-xl_(X|-xa)(2a-1)

Xi+2M+2(X1+2)(XJ+2)(X)+2)(X2+2),则24-1>0

16.若圆锥的表面积是16开，侧面展开图的圆心角是120*,则圆锥的体积是

参考答案：

16点

-------n

3

略

17.正方体ABCD—AiBCiDi中，平面BiAC和平面BAC所成的二面角正切

为o

参考答案：

也

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本题满分12分)已知圆「十「十八"/"+3-0关于直线Ky「。对称，圆心

('在第二象限,半径为J2.

(1)求圆「的方程;

(2)是否存在直线,与圆('相切，且在K轴、J轴上的截距相等？若存在，求直线的方程;

若不存在，说明理由.

参考答案：

(I)(X4-I)74-£V-2),=5

(2)y=(2=+=0

».、sm4x+cos4x+sm2xcos2x

/(x)=

19.(本小题满分12分)求函数..2-sin2x的最小正周

期、最大值和最小值.

参考答案：

1(an2x+cos2x)2-sm2xcoJx

解：*2-2smXCOJX(4分)

1-5m2xcos3x

2(1-sinxcosx)

=(1+smxcosx)

1c1

=—sin2x+—

42(8分)

3

所以函数/U)的最小正周期是n,最大值是Z,最小值是Z.(12分)

略

20.对于数列a｝,如果存在正整数k,使得a—+a/k=2a”，对于一切nGN*,n>k都成立,

则称数列｛aj为k-等差数列.

(1)若数列a｝为2-等差数列，且前四项分别为2,-1,4,-3,求a*9的值;

(2)若｛aj是3-等差数列，且aF-n+sin3n(3为常数)，求3的值，并求当3取

最小正值时数列｛aj的前3n项和SM；

(3)若｛aj既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明｛aj是等差数列.

参考答案：

考点：数列递推式.

专题：点列、递归数列与数学归纳法.

分析：(1)由新定义结合已知求出女、a9的值，贝as+ao的值可求；

(2)由aF-n+sinan,且｛aj是3-等差数列，列式求出«的最小正值后求出，然后利

用分组求和求得S3"

(3)根据2-等差数列和3-等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明.

解答：(1)解：由数列｛aj为2-等差数列，且前四项分别为2,-1,4,-3,

.,.为=a2+3(@4-a2)—-1+3X(-2)--1,

a9=ai+4X(a3-ai)=2+4X2=10,

••班+私二-7+10—3；

(2)二，｛aj是3-等差数列，an+3+an-3-2an,

an=-n+sinon,

/.-(n-3)+sin(wn-3o)-(n+3)+sin(on+3o)=2(-n+sinon),

(n£N*),

即2sin3n=sin(wn+3w)+sin(con-3o)=2sinoncos3o(n£N*),

Asinwn=0,或cos3o=l.

由sin3n=0对n£N*恒成立时，3=kr(k£Z).

由cos3s=l时，3<o=2k兀（keZ）,

2kK

即3=3,k©Z,

2kH

这是3的值为3=kn或3,kGZ,

2-2n-

G)最小正值等于3,此时a„=-n+sin3,

2(3n-2)-2(3n-l)-2X3n冗

Vsin3+sin3+sin3=0,(nGN*),

a3n-z+as…+a3n=-3(3n-1)(nGN*).

n[-6-3(3n-l)]

•.SMN(ai+a2+a3)+(ai+as+ae)+,•,+(a3n-2+a3n-i+a3n)=2

3n(3n+l)

2

(3)证明:若｛嘲为2-等差数列,即am+ai=2a”,

则瓜一｝,｛①“｝均成等差数列，

设等差数列Em｝,的公差分别为4,d2.

｛aj为3-等差数列，即an+3+an-3=2an,

则｛a/』成等差数列，设公差为D,

3.1>a?既是｛azn-1｝中的项，也是｛a3n-2｝中的项，

3,7-ai=3di=2D.

a4,ai0既是中｛弧)的项,也是瓜一｝中的项，

aio-a4=3d2=2D；・3di=3d2=2D.

设di=d2=2d,贝！JD=3d.

a2n-i=ai+(n-1)di=ai+(2n-2)d(n£N*)，

a2n=a2+(n-1)d2=a2+(2n-2)d,(nWN*).

3^^=ai+D=ai+3d,二az+d2=a2+2d,

•・a2=ai+d,

.\a2n=ai+(2n-1)d(n£N*).

综合得：an=ai+(n-1)d,

・•・{aj为等差数列.

点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生

的运算和推理能力，综合性较强.

21.已知/(x)=-4/+4u-4a-a2在区间［0』内有一最大值一5,求口的值.

参考答案：

x_aa<0

解析：对称轴“一二，当厂“即“：0时，［刈是/⑶的递减区间，

则/(制.“=/(°)=_4。_<?=_5,得a=［或a=_5,而a<0,即a=-5；

当5’即a>2时，［0』是“X)的递增区间，则/(X)“=/Q)=T・4'=・5,

0S-S1

得4=1或4=-1,而