高考数学解析几何-第18讲 阿基米德三角形

高考数学解析几何

第18讲阿基米德三角形

知识与方法

阿基米德(约公元前287年一前212年)，是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、

物理学家,并且享有“力学之父”的美称.他在求体积或面积时采用的“平衡法''一档杆原理,被后

人命名为“阿基米德方法''.正是由于他对当时数学作出的突出贡献以及对后世数学发展的深

邃影响,他又被后人誉为“数学之神”.

本节主要探讨的阿基米德三角形指的是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的弦与过弦的端

点的两条切线所围成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究与抛物线有关的面积

问题时得出的一个结论:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过

弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.(结论的证明利用了“平衡法”)

该结论的变式叙述可见于《普通高中课程标准实验教科书•数学选修3-KA版):数学史选讲》

(人民教育出版社2007年1月第2版).

接下来，我们就去探讨一下阿基米德三角形中蕴藏的一些重要性质：

条件：已知抛物线C:广=2py(p>0),如图所示刀为某一直线，上的动点,过。作C的两条切线,

切点分别为4B,F为直线AB与y轴的交点,则有以下结论成立：

结论1.1直线AB的方程为(%ι+x2)x—2py—x1x2=0.

证明:设A(XI,yj,则好=2py1.

由于y'=今所以切线/X4的斜率为藁,故切线ZM的方程为%ι%=p(y+7ι)(l)

设B(%2,y2),同理可得DB的方程为不％=p(y+y2)Q)

(1)+(2)化简后,可得y=竽(3)

将（3）代入⑴,可得X=管,所以点。的坐标为（警,养）

故直线AB的方程为Qi+%2）%-2py-X1X2=O

2

说明:特别的,当。为直线y=-葭上的动点时,直线/8的方程为（%ι+x2）x-2py+p=O且该

直线过抛物线的焦点F.第二部分中的典例第（1）问考查的就是该性质的具体运用.

结论1.2kDF∙kAB=kDA∙kDB=

证明:由结论1.1的证明可知点尸的坐标为（o,-署）

又MF=急件？心B=*，MA=MMB=学所以结论L2得证•

Pl.x1-TX2）NPPP

说明:特别的,当D为直线y=-晟上的动点时，有DFJ_4B,Zλ4108；且此时△04B面积的达

到最小,其最小值为p2.第三部分中的第2题、第3题考查的均是该条性质及推论的运用,如若

我们对上述性质比较熟悉,则审题结束时答案或许已了然于心.

结论1.3在阿基米德△£MB中,有乙。凡4=乙DFB.

证明:如图,过点4B分别作抛物线准线的垂线A&,BBi,垂足为BI.连接ZlD,Bi。,DF,

4F,8F,4R则%讨=_$,∕ς=£∙

ɪχιwP

易知√4D1A1F.y,AA1=A凡所以40垂直且平分4ιF,故41。=DF1∆DA1A=∆DFA.

同理可得=DF,4DB[B=NDFB,所以4。=B1D=DF1∆DA1B1=zDB1Λ1.

进而4Zλ4遇=∆DB1B,^∆DFA=∆DFB.

说明:第三部分中的第4题的第（2）问恰恰就考查了这一结论.

结论1.4ZM,4B,DB的斜率成等差数列、4。B三点的横坐标成等差数列.

证明:结合结论1.2的证明过程以及点。坐标（坐,箸）,稍作运算，便可证得该结论.

说明:第三部分中的第5题的第（1）问中就涉及到了这一结论.

结论1.5线段%,FD,FB的长度之间的关系为吵=攀+号.必∙FB一p2.

证明:经过简单计算即可得到上述结果.

说明:特别的,当。为直线y=，上的动点时,有线段F4FD,FB的长度成等比数列.

结论1.6若以E为圆心的圆与直线AB相切于点7,则四边形TWBE的面积为

IXjI-X2户kι-X2I

-------------------XX-----------------

8p12p

证明:易知瓦5=（子,半尚），砺=（专1,也铲）

利用面积公式SAzMB=^JDA2-DB2-（DA-而）2,可得

_1Xl-•一%2（%2-Xl）_%2一%1Xl（Xl-%2）_1匕一句3

δdab=2-22p22p=-8p-

1X1x2

又SAEAB=∣∣FF∣∙∣x1-x2∣=∣（-ɪ+箸）•%一次I=-XiX2-p'

s|X121xx

所以S四边形ADBE=SA+∆A=8p-l2'ʒ^ɪ.

说明：当。为直线y=—W上的动点，且E（O，F）时，则四边形4DBE的面积为奥萨+

p∣x1-x2∣∙

结论1.7∆DAB的重心G满足的方程为4/一6py-x1x2=0.

证明:过程从略，感兴趣的读者可自行尝试证明.

说明:当。为直线y=上的动点时，△ZMB的重心G的轨迹方程为4久2-6py+p2=O

结论1.8若P为抛物线弧AB上一点,抛物线在点P处的切线与直线..分别交与MN两点,则

S&DMN：S“AB=1：2

所以%="="=%一心

MDPNNB%一工3「

、几AMMPDN

设而=方=而=α'S"M°=b

因为缪纪怒=α,所以SAPMA=ab

sAPMD

同理SAPNO=\，SAPNB=*所以SA。MN=b(1+^)-

D_MDDN_a(α+l)3

%所以SABAD=b♦

KOADBD(α+l)2

所以SAPBA=SbDAB—SADMN—^ΔPAM—SAPBN=。'ɑ

JjffWSΔDMJVI^Δ,PAB=1:2.

值得注意的是抛物线的性质远也不止这些，上述所列诸条,大多数是在区域模拟考试及高考

中经常出现的.众所周知,以阿基米德三角形为背景的直线的定点、三角形的面积、轨迹、最

值等相关问题是高考和模拟考考查的热点也是难点.纸上得来终觉浅,接下来我们不妨从多个

视角去赏析一道高考题,以进一步体会阿基米德三角形的相关性质.

典型例题

【例1】已知曲线Cy=D为直线y=W上的动点,过D作C的两条切线彻点分别为4B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线ZB相切，且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.

强化训练

2

1.如图抛物线Cl：/=4y,C2-.x=-2py(p>0).点M(Xo,y°)在抛物线C2上,过M作G的切线,

切点为4B(M为原点。时,4B重合于0).当a=1一企时,切线AM的斜率为一M

(1)求P的值；

(2)当M在C?上运动时,求线段4B中点N的轨迹方程(4B重合于。时,中点为0).

2.已知抛物线/=4y的焦点为尸,4,B是抛物线上的两动点,且荏=λFBQλ>0)过4B两点分

别作抽整吧线,设其交点为M.

(1)证明两•荏为定值；

(2)设4ABM的面积为S,写出S=/(4)的表达式,并求S的最小值.

3.如图,等边三角形04B的边长为8百,且其三个顶点均在抛物线E:/=2py(p>0)±.

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴

上某定点.

4.如图，设抛物线C:y=/的焦点为凡动点P在直线/：X-y-2=O上运动,过P作抛物线C的

两条切线P4PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.

(1)求44PB的重心G的轨迹方程；

⑵证明"E4=乙PFB.

5.如图,设抛物线方程为X2=2py(p>O),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切

线,切点分别为A1B.

(1)求证：4B三点的横坐标成等差数列；

⑵已知当M点的坐标为(2,-2P)时，∣4B∣=4√T0求此时抛物线的方程；

(3)是否存在点M,使得点C关于直线4B的对称点。在抛物线/=2py(p>0)上，其中点C满足

OC=OA+OB(。为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理

由.

参考答案

[例1]已知曲线C:y=：/,D为直线y=—；上的动点,过。作C的两条切线,切点分别为48.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线4B相切，且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.

【答案】(1)见解析;(2)3或4√Σ

【分析】分析题目可知,直线AB是切点所在的直线,只需找到初点的共同属性即可.故可采用

“设而不求”的思想就将该问题解决.

【解析】解法1：设而不求

设。(t,-J,4(xι,yι),则*=2y1.

由于y，=χ,所以切线ZM的斜率为％,故誓=X]即ZM的方程为2tX]—2%+1=0.

设B(X242)，同理可得DB的方程为2tJ(⅛~2y2+l=0.

故直线48的方程为2tx-2y+1=0,所以直线4B过定点他*).

(2)由⑴得直线AB的方程为y=w%+；.由I’,可得/—2tx—1=0

(y

-z2

于是X]+X2=2t,XlX2=1>71+)2=t(ɪl+X2)+1=2t+1,

2=222

∖AB∖=ʌ/l+t∣%ι—x2∣Λ∕1+tX7(xι+X2)—4∙XjX2=2(t+1)

设山刀2分别为点D,E到直线的距离,则di=√FF,d2=ɪ.

22

因此,四边形力CBE的面积S=ɪμβ∣(d1+d2)=(t+3)√t+1.

设M为线段AB的中点,则M(t,t2+ɪ).

由于两1荏,而前=(t,t2-2),而与向量(Lt)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或

C=±1.

当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√Σ因此,四边形ADBE的面积为3或4√Σ

分析:本题还可从寻找切点4B定宜线入手，将直线AB用参数表示，借助海伦秦九韶公式将

面积问题解决.

解法2：求切点定直线

(1)设。(t,-J,过D点与C相切的直线方程设为丫+3=代》一。切线4。,8。的斜率分别为

k],⅛2∙

y+-=∕c(x-t)

,可得/—2kx+2kt+1=O(I)

y=τ

由A=0,可得Q—2kt—1=0(2)于是Al+〃2=2t,AIk2=一1

将@代入⑴,可得4（k∕）,B（七月）,所以七B=空=t∙

故直线AB的方程为y=空工+：,即直线4B过定点（0,｛）.

⑵设线段ZB的中点坐标为r（x°,%）,则有

Xo=空X%=竽=〃+去所以*=芋

又纵B,^ET--1,解得t-。或t=±1

~DB=

利用面积公式S=3J湘2.AC2-(AB-AC)2=TlXIy2_X2%I可得

s_ɪ,,ɪ-ʧ

问理可得SAEAB=—七|

fe3+fek3

当t=0B⅛,∣fc1-k2∖=2,此时S冏边形ADBE=3伙1_2∣II-2∣=

3

当t=±l⅛,∣fc1-∕c2∣=2迎,此时Sf口边形ADBE=3伙1_Zc2I+Ikl-fc2∣=4√2

注:此处给出的这种方法是解决此类问题的通性通法,但注意不要漏掉斜率为0的情形.

解法3:设直线定“待参”

设直线AB的方程设为y=kx+m,A(x1,y1'),B(x2,y2)

P=fcx+m

2

由1_X,可得——2kx—2m=0.于是/÷X2=2k,x1x2=—2m

7=T

由于y'=》,所以切线D4BD的斜率分别为修,工2

所以切线8。的方程分别为Xι%=y+y~X2X=y+y2

联立可得。点的纵坐标％,=ɪX1X2=一τn,又。为直线y=-［上的动点,所以Tn=ɪ

故直线48过定点（0,3

Xi×ι2

设线段AB的中点坐标为T（XOJ。）,则有Xo=Lf=k

过4B分别作宜线y=的垂线,垂足分别为公,当,如图所示，

所以点。为必当的中点.记4B过的定点为匕则有4必=AF1BB1=BF

由(1)知ICAD-^BD=XiX2=-1,所以。41DB

N+2+加LMl_IXI-X213

易得SADA8=^S能殄MBlB

2―8

又SAEAB=IlEFl∙∣x1-x2∣=∣(∣-∣)∙∖×ι-x2∖=lɪi-X2I

以下计算同方法二.

解法四：设切点定截距

设411，蓑),8(如蔗),D(犯-J，直线4B：y=kx+b.

χ2

y=∖由韦达定理得以+「二合

联立nχ2-2kx-2b=0,

.y=kx+&

又y'=X,从而直线ZM,DB的方程分别为y=x1x-∣xf,y=x2x-∣xf∙

TnXl-∣xf=-1

因为切线过点。（弭-3,所以有,湖电不为方程/一2mx-1=O的两根,

mx-∖x2=~

22

即Xi∙X2=-1=-2bab=所以直线AB过定点(of.

2

(2)由(I)知占+x2=2k,则yι+y2=∕c(x1+x2)+1=2k+1,所以,AB的中点Tk+

当k=0时.M(O,]),此时,四边形ZDBE的面积S=3.

当k≠0时,由∕⅛E∙∣<AB=-1得彳=-X解得A?=1.

所以,|力22-2

81=√1÷k∙Λ∕(X1÷x2)4X1X2=2(fc÷1)=4.

又点E到直线AB的距离di=ɪ=√I,点。到直线4B的距离d2=√l+⅛2=√2

所以四边形40BE的面积S=i×∖AB∖X(dɪ+d2)=4√2.

综上，四边形4DBE的面积为3或4√Σ

强化训练

以阿基米德三角形为背景考查的高考题主要还有以下几种类型.

(―)轨迹问题

2

1.如图,抛物线=4y,C2-.x=-2py(p>0).点M(XO,y°)在抛物线C?上,过M作G的切线,

切点为4B(M为原点。时,4,B重合于0).当&=1一夜时,切线AM的斜率为一点

(1)求P的值；

(2)当M在C?上运动时,求线段48中点N的轨迹方程(4B重合于。时,中点为0).

【答案】(I)P=2;⑵见解析

【解析】(1)p=2过程从略；

(2)设N(X,y),AkI[2，§)，石≠刀2

由N为线段AB中点知X=野(1),所以y=应提(2).

28

22

所以，切线MAMB的方程分别为y=^(x-x1)+*(3)y=^(x-x2)+今(4)

由(3)(4)得,MA,MB的交点M(XO,%)的坐标为殉=ɪ,7o=平.

因为点M(Xo,%)在。2上,即以=4yo,所以XIX2=—9受.⑸

由⑴⑵(5)得χ2=iy,χ≠0.

当Xl=X2时AB重合于。时,中点N为。,坐标满足χ2=iy.

因此½B中点N的轨迹方程为"=gy.

2.已知抛物线/=4y的焦点为F,4B是抛物线上的两动点,且Q=λFB(λ>0)过4B两点分

别作推物线吧线,设其交点为M.

(1)证明丽•而为定值；

(2)设4ABM的面积为S,写出S=/(4)的表达式,并求S的最小值.

【答案】(1)见解析;(2)4.

【解析】(1)由已知条件,得f(0,l)4>0.

设A(Xl,月),8(如y2)∙由而=/夙4>0)

E∣J(-X1.1-y)=λ(x2,y2-l),⅛β∣4^

Li-yi=λ(y2-1)②

将①式两边平方并把好=4y1,xl=4丫2代入得71=储了2③

解②、③式得力=且有XIX2=-4,

抛物线方程为y=求导得y，=lz.

所以过抛物线匕4,B两点的切线方程分别是

11

y=2χ1(χ一χι)+%，y=2x2^x一犯)+%

易得M的坐标为("Y",—1).

所以丽∙AB=(詈,一2),3-%1，y2-%)=0

(H)由(/)知在AABM中,FM14B,因而S=∣∖AB∖■∖FM∖.

2

又丽I=J(夸)2+(-2)2=』+"2=」+苏∣ΛF∣=λ+i+2=(√Λ+⅛)

于是S=i∣∕lB∣∙∣FM∣=∣(√λ+⅛)3,

由√Σ+a》2知S≥2,且当4=1时,S取得最小值4.

3.如图,等边三角形04B的边长为8百,且其三个顶点均在抛物线E:/=2py(p>0)±.

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线I与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴

上某定点.

X

【答案】⑴*2=4y;⑵见解析.

【解析】（1）抛物线E的方程为/=4y,过程略.

χ

（2）设Poo,y0）,%≠0,由y=；刀2,得y，=[x,直线，的方程为y-y0=∣x0（一Xo），

即y=：与*一[诏•

联立卜=5~>x-WA°，即，”-2%,所以Qf五

b=-lLy=-II2%J

设M（O,月）,所以而N=（ɪo.yo-71）.MQ=（警Ll-yj

因为丽∙MQ=0,所以-y0~yoyι+为+*=。•又%=ɪɪo（ɪo≠0）,所以为=ι

故以PQ为直径的圆恒过M（0,1）.

4.如图，设抛物线C:y=/的焦点为尸,动点P在直线/：X-y_2=O上运动,过P作抛物线C的

两条切线P4PB,且与抛物线C分别相切于48两点.

（1）求4APB的重心G的轨迹方程；

⑵证明NPF4=乙PFB.

【答案】（I）y=g（4χ2-X+2）；（2）见解析.

【解析】（1）设切点4B坐标分别为（％就）和（Xi,好）（3≠沏）,

所以切线AP的方程为：2沏X—y—诏=0;

切线BP的方程为:2%%-y-瓷=0;

解得P点的坐标为:孙=誓Jp=XoXl所以△4PB的重心G的坐标为XG=x°+xfxp=Xp,

yo+yι+yp端+好+XOXl(XO+ɪl)2-XoXI4必-y

y∕=-----------=--------------=----------------=--------p

∙yrG3333

所以为=-3yσ+4好,由点P在宜线E上运动.

从而得到重心G的轨迹方程为：X-(-3y+4X2)-2=0,y=^(4x2-%+2).

(2)因为同=(x0lxξ-^,FP=(包∣2,Λ⅛XI,而=(ɪi,ɪi-ɪ).

由于P点在抛物线外,则I而I≠0.

而锚_'°广号0+(々)3一；)(好D_%o%ι+"

7

所以COSNJI/P=而i=府册+(止了=而

FPFB_"°；"%+(%0%1一—(瓷一；)_XQ×I^

同理有cos,B/7P=南南=西值+但淳=而'

所以4P尸力=乙PFB.

5.如图,设抛物线方程为%2=2py(p>O),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切

线,切点分别为A1B.

⑴求证：4",B三点的横坐标成等差数列；

(2)已知当M点的坐标为(2,-2P)时，∣4Bl=4，m,求此时抛物线的方程；

(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点。在抛物线/=2py(p>0)上，其中点C满足

OC=OA+OB(0为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理

由.

【解析】(1)证明：由题意设4<%2,M(%0,-2p).

2

由/=2Py得y=恭得V=所以—=藁，—