2023-2024学年南京高二年级上册学期暑期自主学情调研测试数学模拟试卷（含答案）

2023-2024学年高二上学期暑期自主学情调研测试数学模拟

试卷（南京专用）

2023-2024学年度第一学期暑期自主学情质量调研测试

高二数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足（2—3i）z=l+i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（▲）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设办是两个不共线的向量，且向量%+万与（3/-M+B是平行向量，则实数2的值为

（▲）

222

A.—B.1C.1或—D.—1或—

333

3.假设第一次感染新冠病毒并且康复后3个月内二次感染的概率大约是0.03,在半年内二次

感染的概率是0.5.若某人第一次感染新冠病毒康复后，已经过去了三个月一直身体健康，在

未来三个月内此人二次感染的概率是（▲）

A.0.45B.0.48C.0.49D.0.47

4.直线（4+1〃-2砂+1=0的倾斜角的取值范围是（▲）

D.

sinacos2a

5.已知sina—2cosa=0,贝U亚sin（a+7tJ（▲）

A.-|c6

C-D.-

|5

6.A48C的面积为S,角4,B,C的对边分别是a,b,c,已知4屈=（“+6）?-c?,则sinC

的值是（▲）

A.立B.—C.—D.—

2322

7.在平行六面体Z8CO—48coi中，底面/BCD是菱形，ZBAD=60°,与底面

/BCD垂直，M,N分别在8。和5。上，且B\D\=3D\N,AB=3,AA\

=4,则异面直MN与Zd所成角的余弦值为（▲）

A7M口7折「3M3a

A.-------D.-------L.-------n\-）.----

34341717

8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,

他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，

阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点48的距离之比为2a

>0,2X1）,那么点〃的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点〃与两定点8（5,0）的距

3

离之比为:时的阿波罗尼斯圆为/+炉=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆

O:x2+V=4上的动点M和定点8(1,1),则2M+的最小值为(▲)

A.2+J10B.V21C.V26D.则

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，下列说法正确的是(▲)

A.若|zi|>㈤,!H!|Z12>Z22

B.若Z2WO,则二=二■-

Z2Z2

C.若z=-3+2i是关于x的方程丫2+0;(:+夕=0仍,蚱刈的一个根，则p+q=19

D.^l<|z-2i|<也,则点Z的集合所构成的图形的面积为兀

10.ZX/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法错误的是(▲)

A.若A>B,则cos/>cos8

B.若4=30。，b=4,”=3,则△48C有一解

C.若△ABC为钝角三角形，则/+62>。2

D.若4=60。，。=2,则4/BC面积的最大值为6

11.上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中

华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似

的六面体力设矩形/8CO和小SGG的中心分别为Oi和。2,若OQ_L

平面ABCD,0\02=6,AB=10,AD=2近，43=8,小。=4,ABHA\B\,BCHB\C\,ADHA\D\,

CDHCB,则(▲)

B.该六面体的外接球体积是2887t

C.直线/C与/1C1异面

D.二面角4—8C-G的余弦值是叵

37

12.已知点P是圆C：/+/=8上的动点，直线x+y=4与x轴和y轴分别交于48两点,

若△/MB为直角三角形，则点P的坐标可以是(▲)

A.(-2,-2)B.(-2,2)

C.(l+V3,1—Vsj+

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.南京某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人,

为了了解该校高中学生的健康状况,用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为n的样

本，已知从高三年级学生中抽取15人，则”为▲.

14.已知向量1=(3,3),5=(1,-1),若焉)，则实数4▲.

15.若两条平行直线Zi：x—2y+加=0(/n>0)与h：2x+〃y—6=0之间的距离是2石，则加+〃

16.如图，点尸为函数夕=厚(》>0)的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，OP半径为2,

高二数学试题第2页共4页

N（4,0）,8（8,0）,点。是。尸上的动点，点C是08的中点，则ZC的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数/（x）=sin函一cos4x+2后sinxcosx-1.

（1）求兀0的最小正周期和图象的对称中心：

TT27r

（2）当xe时，函数gfx）=q/（x）+b的最大值为II,最小值为3,求实数a,6的

63

值.

18.（12分）如图，在△48C中，。是8c的中点，E在边4B上,BE=2EA,AD与CE交

于点O.

（1）试用向量方，就表示向量皮，而；

4R

⑵若瓦就=6瓦反，求就的值.

19.（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如

图所示的四边形/8CD并修建两条小路4C,8。（路的宽度忽略不计），其中48=右千米,

49=2千米，△8CD是以。为直角顶点的等腰直角三角形.设/历1。=仇

（1）当sine=2时，求小路/C的长度（千米）；

5

（2）当草坪的面积最大时，求此时小路8。的长度（千米）.

C

高二数学试题第3页共4页

20.(12分)我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度,

已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，

则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.

己知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是《，且每名男生每跳相互独

立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件/,B,C.

(1)求尸(4)、P(B)、P(C)；

(2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.

21.(12分)如图，四棱锥。一/8。。中，底面48。为菱形，△以8为等边三角形，平面

以8_1底面/8。。，PA=2,PCLCD,。为的中点，E为线段PC上的动点.

(1)证明：ABLOE-,

(2)当。平面PC。时，求三棱锥产一8DE的体积.

22.(12分)圆O:N+/=1,/(0,1),尸(一2,1),过P直线/交圆。于8,C两点，且8在

P,C之间.

(1)记三角形N8尸与三角形/8C的面积分别为S与求务+号的取值范围；

325

(2)若直线/C分别交x轴于M,N两点，！MN|=4,求直线/的方程.

高二数学试题第4页共4页

2023-2024学年度第一学期暑期自主学情质量调研测试

高二数学答题卡

姓名：_____________准考证号

准考证号：_____________

[0][0][0][0][0][0][0][0]

考场/座位号：_____________[1][1][1][1][1][1][1][1]

[2][2][2][2][2][2][2][2]

[3][3][3][3][3]L3][3][3]

1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并用2B铅

[4][4][4][4][4][4][4][4]

笔认真填涂准考证号。

[5]⑸[5][5][5][5][5][5]

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字

笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。[6][6][6][6][6][6][6][6]

3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答[7][7][7][7][7][7][7][7]

案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。[8][8][8][8][8][8][8][8]

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。[9][9][9][9][9][9][9][9]

选择题（1-8题为单选题，每小题5分，共40分；9-12题为多选题，每小题5分，共20分）

1[A][B][C][D]5[A][B][C][D]9[A][B][C][D]

2[A][B][C][D]6[A][B][C][D]10[A][B][C][D]

3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]11[A][B][C][D]

4[A][B][C][D]8[A][B][C][D]12[A][B][C][D]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.14.

15.16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.（10分）

请在规定区域作答，超出矩形限定边框的答案无效。

第1页共4页

18.（12分）

19.（12分）

请在规定区域作答，超出矩形限定边框的答案无效。

第2页共4页

20.（12分）

21.（12分）

请在规定区域作答，超出矩形限定边框的答案无效。

第3页共4页

22.22分）

禁答区域

请勿在此处答题或做标记

请在规定区域作答，超出矩形限定边框的答案无效。

第4页共4页

2023-2024学年度第一学期暑期自主学情质量调研测试

高二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1-4BCBC5-8AABC

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BCD10.ABC11.BCD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.7514.±315.316.3a-1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

(1)T=n,对称中心是+万11(%eZ)

(2)。=2力=9或。=-2力=5

【详解】(1)函数/(x)=sin"无一costr+2gsinxcosx-1

=(sin2x-cos2xj^sin2x+cos2x)+Gsin2x-1

=-(cos2x-sin2%)+6sin2x-1

=一cos2x+V3sin2x-1

「1n11

122J

=2sin(2x一胃一1,

所以“X)的最小正周期7=当=九

由2x-&=E(AeZ)得x=g+R(keZ),

所以函数〃x)的对称中心是件+%1卜€Z).

(2)g(x)="2sinllx-—j-l+b=2asin\2x~—|-a+/>,

n2兀兀

由®2x--e---

6'3'倚62'6

则sin(2x_/]e

当a>0时,g(x)=4(x)+b的最大值为最小值为—3a+A,

。+力=11,a=2,

所以3+6=3解得

h=9,

当a<0时，g(x)=4(x)+b的最大值为-3a+b,最小值为a+6,

-3a+h=l1,a=-2.

所以。+8=3,解得

b=5,

高二数学参考答案及评分标准第1页共4页

综上所述，a=2,b=9或4=-2,〃=5.

18.(12分)

(1)EC=--AB+AC,AO=-AB+-AC-

344

⑵—=y/3

AC

【详解】(1)EC=AC-AE=-^AB+AC,

设A0=4A£)，EO=/JEC,则AO=4A£)=5(AB+4C),

y.Ad^AE+EO=AE+juEC=AE+/u^AC-AE^(<\-^AE+juAC=^-AB+/uAC,

2_J"[31

——-------A———

所以；23，解得?；，所以4O=1/3+1：AC；

A144

(2)6AOEC=6|-AB+-ACH--A54-AC|=6|-—AB2+-ABAC+-A€2

U4JL3)I1264

1.23--2

=——AB+ABAC+-AC,

22

贝1"丛4?=一；而+肪.4：+|/2,所以1月2=|近2,所以网2=3,。|2,所以

19.(12分)

(1)5千米；(2)1千米

【详解】(1)当sin6=^^,时，cosO=-Jl-sin?9=-咚,

^BD2=AB2+AD2-2ABADcos6»=5+4+2x75x2x—=13,

所以8。=而.

BDAB

由正弦定理得

sinNBA。sinZADB

解得：sinNAOB=^^,

13

因为△68是以。为直角顶点的等腰直角三角形,

所以NC£>8=],且CD=BD=屈,

cosZADC=cosINADB+^j=-sinNAOB=-2713

13

在sAC£>中，AC2=AD2+DC2-2AD-DC-cosZADC=25，

所以AC=5千米.

⑵SABCD=S△.D+S/XBC。

=-^-XA/5x2sin0+^BD2=^xV5x2sin0+^9-4>/5cos

=^+>/5sin-2A/5COS+5sin,

其中cos0=t，sine=^^,^?e(0,y),一*£(-],())

高二数学参考答案及评分标准第2页共4页

而夕兀｝所以夕一夕£（0,兀）,

当。-0=/时，四边形ABCD的面积最大,即。=8+5,

此时cos0=cos[e+gn]=-sin。=-

2

由(1)得：BD2=9-475cos

所以BO=9-4后X=】，即30=1千米.

20.(12分)

【详解】（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件小，Bi,Ci,记“甲、乙、丙

三名男生第2跳成功”分别为事件4，B2,C2.

记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件4B,C.

P（A）=P（A+AH）=P（A）+P（A4）=/匚匕=而，

P（8）=尸（与+瓦房）=P（即+P（瓦巴）+=.

——1<lA15

尸（C）=P（G+GG）=P（G）+P（GG）=3+l1-iJx5=9,

1535

甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率谈r-

（2）记“甲二q、_呼刍罡生在这型远挑四也恰有理△获得良好”为事件Q,

P（D）=P（ABC+ABC+ABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(8)P(C)+P(A)P(3)P(C)

15lx1-11-15

=­xxxXx—

16+T+T9

_77

~516

77

甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率一.

576

21.（12分）

（1）证明见解析；（2）|

【详解】（1）连接OCOP.

由&PA8为等边三角形，。为AB的中点,

故OP1AB,且。4=1,。/>=石，

因为平面PA31•平面ABCD,平面PA8c平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

故OP，平面ABC。，

因为OCu平面A8C。，所以OPLOC,

又因为PC，DC,8〃A8,

所以PC_LAB,

再由OP，A3,OPcPC=P,OP,PCu平面POC,

所以ABI平面POC,

因为OEu平面尸OC,所以AB_LOE,

（2）连接AC,8E,£>E,因为A5工平面POC,且OCu平面尸OC,所以A3_L0C,

因为AO=OB,OC公共边，所以工AOC0-BOC,所以AC=3C,

因为四边形ABC。为菱形，APAB为等边三角形,PA=2,

高二数学参考答案及评分标准第3页共4页

所以B4=P8=43=8C=C£)=AD=AC=2,

所以,PAB和..A8C是全等的等边三角形，所以P0=OC=6，

因为OE_L平面PC。，PCu平面PC。，所以OE