6.1平面向量的概念3题型分类

6.1平面向量的概念3题型分类一、向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小没有方向的量称为数量．二、向量的几何表示1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．2．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→)))．3．模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．三、相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.（一）向量的概念1、向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．2、解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．题型1：利用向量有关概念判断命题11．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（

）A．质量 B．功 C．温度 D．力【答案】D【分析】根据向量的定义判断即可．【详解】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D．12．（2023下·甘肃武威·高一统考期中）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【分析】根据向量的定义即可判断.【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．13．（2023下·福建·高一福建师大二附中校考阶段练习）下列说法正确的个数为（

）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】①错误，只有速度，位移是向量．②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．③错误，④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．故选：A.14．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中，正确说法的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C15．（2023下·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（

）A．零向量只有大小没有方向 B．C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．16．（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题：①若，则；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是．【答案】③【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.【详解】①错误．若，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．故答案为：③【点睛】本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.17．（2023·江苏·高一专题练习）有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则，不是共线向量；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选：B.18．（四川省成都市第七中学20222023学年高一下学期3月月考数学试题）关于向量，，下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】取，验证A错误，当时，验证B错误，向量不能比较大小，C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：取，满足，不成立，错误；对选项B：当时，当不平行时，，也成立，错误；对选项C：向量不能比较大小，错误；对选项D：若，则，正确.故选：D19．（2023·高一课时练习）若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若是与同向的单位向量，则.其中正确的是.(填序号)【答案】（3）【分析】根据平面向量的模的概念和零向量、单位向量的概念判断（1）、（3）、（4），根据平行向量的概念即可判断（2）、（5）.【详解】由题意知，，.对（1），当时，，不一定有，故（1）错误；对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故（2）错误；对（3），非零向量的模必大于0，即，故（3）正确；对（4），向量的模非负，故（4）错误；对（5），与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故（5）错误.综上可知（3）正确.故答案为：（3）.（二）向量的几何表示及应用1．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).2．模、零向量、单位向量(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)长度为0的向量叫做零向量，记作0．(3)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．3.作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型2：向量的几何表示及应用21．（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)根据描述找出终点A即可；(2)根据描述找出终点B即可.【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：22．（2023·高一课时练习）一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地（1）在如图所示的坐标系中画出，，，.（2）求B地相对于A地的位置.【答案】（1）作图见解析（2）B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”【分析】（1）根据已知作出，，，；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，得，即得解.【详解】（1）向量，，，如图所示，（2）由题意知，所以，,则四边形ABCD为平行四边形.所以，则B地相对于A地的位置为“在北偏东60°的方向距A地6千米处”.【点睛】本题主要考查平面向量的概念和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．（2023下·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．【答案】答案见解析.【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，

为正三角形，所以．又，，所以为等腰直角三角形，所以，．故向量的模为，方向为东南方向．24．（2023·高一课时练习）如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（）A． B．C． D．与不能比大小【答案】A【分析】直接利用向量的摸和路程的定义的应用即可求解.【详解】如果一架飞机向东飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为,，所以.故选:A.（三）相等向量与共线向量相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.题型3：相等向量与共线向量的判定五、题型1：利用向量有关概念判断命题六、题型2：向量的几何表示及应用七、题型3：相等向量与共线向量的判定31．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A32．（2023·高一课时练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有个；（2）模为的向量有；（3）与相等的向量有；【答案】、、、、、、、;、、【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.故答案为：；、、、、、、、；、、33．（2023·高一课时练习）如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为的向量共有几个？【答案】24个；2个.【分析】根据共线向量的定义、以及模的计算和对应正方形的对角线即可.【详解】每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为，因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个.如图，与向量方向相同且模为的向量共有2个.34．（2023·高一课时练习）如图，四边形中，，则相等的向量是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【分析】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项．【详解】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，故，，，故选：D．35．（2023·江苏·高一专题练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：(1)写出与相等的向量；(2)写出的负向量；(3)写出与平行的向量；(4)写出与长度相等的向量．【答案】(1)，，(2)，，，(3)，，，，，，，，(4)，，，，【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案.【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：，，，，，，，，.（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.36．（2023·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，.【分析】（1）利用相等向量定义可得解；（2）利用共线向量定义可得解；（3）利用平行向量定义可得解.【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.一、单选题1．（2023·浙江·高三专题练习）给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若与同向，且，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④.【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；②正确．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝；③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当时，与可以为任意向量，满足λ＝μ，但与不一定共线．故选：.2．（山东省东营市利津县20222023学年高一下学期期中数学试题）设点是正三角形的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量【答案】B【分析】根据图形及正三角形的集合性质可得.【详解】解：如图：因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.故选：B.3．（2023上·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量C．若，则 D．任意向量的模都是正数【答案】B【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.4．（2023上·河北衡水·高二校考开学考试）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，，所以选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，所以选项C，D错误，故选：B5．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列命题中正确的个数是（

）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量，则四点共线或，故B错误，对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A6．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B7．（2011—2012学年陕西省太原五中高一下期中数学试卷（带解析））如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是A． B．∥C． D．【答案】D【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项A、B、C正确，故选D8．（2023·江苏·高一专题练习）有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则，不是共线向量；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选：B.9．（2023下·福建龙岩·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.10．（2023上·高二课时练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D.【详解】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;向量不能比较大小,C不正确;若，则,D,不正确.故选:B.【点睛】本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.11．（2023下·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）有下列命题：①若，则；②若，则四边形是平行四边形；③若，，则；④若，，则.其中，假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.【详解】，则的方向不确定,则不一定相等,①错误;若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;若,,则,③正确；若，，则时,不一定成立,所以④错误.综上,假命题的是①②④,共3个.故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.12．（2023下·高一课时练习）如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有A．12个 B．18个 C．24个 D．36个【答案】C【解析】利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.【详解】由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，的格点图中包含12个小正方形，所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式、正方形的对角线，考查了理解能力，属于基础题．13．（2023·江苏·高一专题练习）在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】由可得，结合可判断四边形ABCD的形状.【详解】∵

，∴

，又，∴

四边形ABCD是梯形，故选：A.14．（2023下·陕西商洛·高一校考阶段练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表示形式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，知A错误；当时，知与同向或反向，由此得到结论.【详解】当时，无意义，A错误；当时，BCD均正确；当时，由知：与同向或反向，知BC不全面，D正确.故选：D.15．（2023下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段

②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的

④任何向量的模都是正实数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可．【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等于0，故④错.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，属于基础题．16．（2023下·高一课时练习）下列结论中，正确的是（

）A．长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一人从A点向东走500m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B【解析】根据单位向量的定义、平行向量的定义、向量的定义直接判断即可.【详解】解析：一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D不正确.故选：B【点睛】本题考查了单位向量的定义，考查了平行向量的定义，考查了向量的定义，属于基础题.17．（2023下·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若，则与方向相同或相反【答案】B【分析】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.【详解】对于A选项：平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错；对于B选项：根据向量传递性，正确；对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错.故选：B.18．（2023上·青海西宁·高一统考期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相等向量的定义直接判断即可.【详解】与方向不同，与均不相等；与方向相同，长度相等，.故选：D.19．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（

）A．||=|| B．与共线C．与共线 D．与共线【答案】C【分析】结合平面图形的几何性质逐项分析即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；因为，且与共线，故与共线，所以B正确；直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；因为=，所以与共线，故D正确；故选：C.20．（2023·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形【答案】D【分析】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【详解】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D21．（2023下·广西·高二统考学业考试）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B22．（2023下·陕西西安·高一统考期末）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．向量与向量的长度相等C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，则【答案】B【分析】根据向量的相关概念即可逐一判断.【详解】对于A；当，则不一定平行，故A错，对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，故选：B23．（2023下·山西朔州·高一阶段练习）设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A．与的长度必相等 B．C．与一定不相等 D．是的相反向量【答案】C【分析】根据相反向量的定义，可知相反向量的长度相等，也共线，可判断A,B;当二者皆为零向量时，也是相等向量，判断C;根据相反向量的定义可判断D.【详解】根据相反向量的定义可知，与的长度必相等，相反向量为共线向量，故A，B正确；当与都为零向量时，它们是相反向量，此时相等，故C错误，是的相反向量，则是的相反向量，D正确，故选：C.二、多选题24．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市铁路中学校校考期中）给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若，则或B．若向量是向量的相反向量，则C．在正方体中，D．若空间向量，，满足，，则【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.25．（2023下·吉林延边·高一延边第一中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上C．与是非零向量，若与同向，则与反向D．设为实数，若，则与共线【答案】ABC【分析】A选项：根据相等向量的定义即可判断；B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；C选项：与同向，则与反向，显然正确;D选项：如果，则无法得知与共线.【详解】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向，且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确.与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确.与同向，则与反向，C正确.时，与不一定共线，D错误.故选：ABC26．（2023上·江苏无锡·高三统考开学考试）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.27．（2023下·广西贺州·高一统考期末）以下选项中，能使成立的条件有（

）A． B．或C． D．与都是单位向量【答案】BC【分析】对于A、D：取特殊向量分别为x、y轴上的单位向量，否定结论；对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断.【详解】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；对于C：因为，所以.故C正确.故选：BC28．（2023上·江苏无锡·高三统考开学考试）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.29．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）（多选）下列说法错误的有（

）A．共线的两个单位向量相等B．相等向量的起点相同C．若直线，则一定存在唯一实数t，有，D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上【答案】ABD【分析】平面向量共线定理、相等向量及共线向量的定义判断即可；【详解】解：对于A：共线的两个单位向量相等或互为相反向量，故A错误；对于B：相等向量的起点不一定相同，故B错误；对于C：因为直线，所以，且、均不为零向量，所以一定存在唯一实数，有，故C正确；对于D：向量，共线，即，所以或、、、在一条直线上，故D错误；故选：ABD30．（2023上·广东深圳·高二深圳市龙华中学校考阶段练习）给出下列命题正确的是（

）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.31．（2023·高一课时练习）(多选)下列说法错误的有（

）A．共线的两个单位向量相等B．相等向量的起点相同C．若，则一定有直线ABCDD．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上【答案】ABCD【分析】根据单调向量、相等向量的性质可判断A，B；根据共线向量的性质可判断C，D.【详解】对于A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故B错误；对于C，直线AB与CD可能重合，故C错误；对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线．故选：ABCD三、填空题32．（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：①向量与共线，则必在同一条直线上；②如果向量与平行，则与方向相同或相反；③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；④若，则、的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.其中正确的命题有个.【答案】0【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；对于③，，则四点可能共线，故③错；对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.所以正确的命题有0个，故答案为：033．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知点满足，若，，则点的坐标为．【答案】【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解.【详解】解：由可得，所以为、的中点，又，，所以点的坐标为.故答案为：.34．（2023·高一课时练习）下列各量中，是向量的是.（填序号）①密度；②体积；③重力；④质量.【答案】③【分析】由向量的概念判断即可.【详解】向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.故答案为：③.35．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）已知为内一点，且满足，则为的心．【答案】重【分析】如图，取的中点，利用向量的加减法运算得到与共线，进一步得到三点共线，且，结合重心的性质可判断为的重心．【详解】如图，取的中点由．得，又，故，则与共线，又，有公共点，故三点共线，且，因此可得为的重心．故答案为：重.36．（2023·高一课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有个元素．【答案】12【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：以为起点：，以为起点：，以为起点：，以为起点：，以为起点：综上所述，集合T有12个元素.故答案为：1237．（2023下·云南昆明·高一校考期中）中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有个.【答案】11【分析】画图列举即可【详解】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个.故填11【点睛】本题考查向量的概念，考查数形结合思想是基础题38．（2023下·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有个.【答案】39【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.【详解】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.故答案为：39个.39．（2023·江苏·高一专题练习）设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②；③与共线；④⊥.其中，所有正确结论的序号为．【答案】①②③④【分析】根据向量相等、平行（共线）和垂直等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】∵与方向相同，长度相等，∴＝，①正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴，②正确；∵，∴与共线，③正确；∵∠COD＝90°，∴⊥，④正确．故答案为：①②③④四、解答题40．（2023·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．【答案】答案见解析.【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，则向量，和如下所示：.41．（2023下·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【答案】（1）5；（2）2.【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.42．（2023下·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【答案】（1）5；（2）2.【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.43．（2023·江苏·高一专题练习）如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.【答案】证明见解析【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，故△BDE∽△DCF.44．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.【答案】见解析【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；【详解】解：因为，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且.又与的方向相同，所以.同理可证，四边形是平行四边形，所以.因为，，所以，又与的方向相同