第11讲二倍角的三角函数（七大题型）

第11讲二倍角的三角函数【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：知识点二：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．知识点三：辅助角公式1、形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）2、辅助角公式在解题中的应用通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】题型一：二倍角公式的简单应用【例1】（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【变式11】（2024·云南·高一校考期末）已知，(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，，所以，所以；（2）.【变式12】（2024·高一课时练习）利用二倍角公式求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）（4）题型二：给角求值【例2】（2024·广东佛山·高一统考竞赛）.【答案】/0.75【解析】故答案为：.【变式21】（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）．【答案】【解析】.故答案为：.【变式22】（2024·河北保定·高一校联考期末）．【答案】【解析】.故.故答案为：.题型三：给值求值【例3】（2024·全国·高一专题练习）若，则．【答案】/0.04【解析】因为，所以，所以．故答案为：【变式31】（2024·全国·高一专题练习）若，则的值为【答案】【解析】由，得，所以.故答案为：.【变式32】（2024·四川乐山·高一统考期末）若，则．【答案】【解析】由得，故，故答案为：【变式33】（2024·全国·高一专题练习）已知,则.【答案】/0.8【解析】因为,所以.故答案为:.题型四：利用倍角公式化简及证明【例4】（2024·全国·高一课堂例题）化简．【解析】法1：由倍角公式，得．原式．法2：．【变式41】（2024·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式．∵，∴，∴，∴原式．（2）原式．（3）原式．【变式42】（2024·高一课时练习）证明：.【解析】.【变式43】（2024·高一课时练习）证明：.【解析】左边右边．∴原等式成立．题型五：辅助角公式的应用【例5】（2024·全国·高一专题练习）函数y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域为．【答案】[－，1]【解析】，令，则，，因为函数在上单调递增，上单调递减，所以当时取得最大值，，当时取得最小值，，所以函数的值域为.故答案为：.【变式51】（2024·高一课时练习）关于点对称，则a的值为.【答案】【解析】由题设()的对称中心为，则，即，所以.故答案为：【变式52】（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知函数，，恒成立，则．【答案】【解析】，取，，当，即，取最大值，即，.故答案为：题型六：三角函数的实际应用【例6】（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）海安市实验中学校训镶嵌在墙壁上，上端距离地面15米，下端距离地面11米，现小明同学要拍摄校训照片，相机镜头离地面1米，要使得校训的上下端与镜头构成的视角最大，问相机镜头距离墙面应米.【答案】【解析】设镜头距墙面的距离为，则由题意可得，易知，由正切函数的单调性可知当，即时，取得最大值，此时.故答案为：【变式61】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将代入，可得.故选：C.【变式62】（2024·河北保定·高一校联考期末）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由三倍角公式有，化简得，，解得（负值舍去），.故选：B.【变式63】（2024·全国·高一专题练习）在解决问题“已知，请用m表示的值”时，甲的结果为，乙的结果为，则下列结论正确的是（

）A．甲、乙的结果都正确 B．甲的结果正确、乙的结果错误C．甲的结果错误、乙的结果正确 D．甲、乙的结果都错误【答案】A【解析】，故甲的结果正确；又，故乙的结果正确.故选：A.题型七：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例7】（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知函数，且(1)求常数的值；(2)求使成立的实数的取值集合．【解析】（1），所以（2）由（1）知，，由，即所以，所以，所以，则使成立的实数的取值集合为【变式71】（2024·吉林·高一校联考期末）已知函数．(1)求在上的最大值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1），，则，故在上的最大值为；（2）；（3）由（1）当则，，故.【变式72】（2024·黑龙江·高一校联考期末）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的单调性及最值.【解析】（1），所以的最小正周期.（2）由（1）知，因为，所以.当时，，单调递减；当时，单调递增，所以函数在单调递减，在单调递增，所以当即时，函数取得最小值；当，即时，函数取得最大值为.【变式73】（2024·宁夏银川·高一校考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求该函数的单调递增区间；(3)求函数在区间上的最小值和最大值.【解析】（1），所以函数的最小正周期.（2）令，则，故该函数的单调递增区间.（3）因为，所以，当，即时，；当，即时，，故函数在区间上的最小值为0，最大值为3.【变式74】（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）设函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)试讨论函数在上零点的个数.【解析】（1），∴的最小正周期是由，，解得，，所以该函数的单调递增区间，；（2）函数在上零点的个数，即方程在上的解的个数，∵，，当时，随增大而增大，此时，当时，随增大而减小，此时，故当时，无解，当或时，有一个解，当时，有两解，综上可得，当时，没有零点，当或时，有一个零点，当时，有两个零点.【过关测试】一、单选题1．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，即，故选：B.2．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由可得：，解得：，因，，故.故选：C.3．（2024·云南玉溪·高一统考期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.4．（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】原式，故选：C.5．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选:B6．（2024·河北邯郸·高一校考期末）若，则等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为，则，所以．故选：D．7．（2024·陕西铜川·高三校考期末）已知点是的终边与单位圆的交点，，若在第三象限，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为A是的终边与单位圆的交点，结合三角函数的定义可知，A的横坐标为，又因为A在第三象限，所以为第三象限角，即，又因为，解得，故选：B.8．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考期末）已知，，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，因为，所以，又因为,所以，所以.故选：A.二、多选题9．（2024·重庆北碚·高一统考期末）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A：因为，所以本选项不正确；B：因为，所以本选项正确；C：因为所以本选项正确；D：因为，所以本选项正确，故选：BCD10．（2024·湖南邵阳·高二校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数f(x)的最小正周期为C．函数f(x)的对称轴方程为 D．函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【解析】由对于选项A,由上分析可知，A项正确；对于选项B，因最小正周期,故B项正确；对于选项C，由，可知其对称轴可由求得，故函数的对称轴方程为，故C项正确；对于选项D，由的图象向左平移个单位长度得到而不是，故D项错误.故选：ABC.11．（2024·云南楚雄·高一统考期末）下列式子计算正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A中，由三角函数的诱导公式，可得，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，因为，所以，即，所以D正确.故选：BCD.12．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知函数，下列结论正确的是（

）A．的周期是B．的图象关于点对称C．的单调递增区间为D．要得到的图象，只需把的图象向右平移的单位【答案】AC【解析】由，对于A，的周期为，故A正确；对于B，当时，，所以的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，解得，，所以的单调递增区间为，故C正确；对于D，的图象向右平移的单位后，解析式为，故D错误.故选：AC.三、填空题13．（2024·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，．【答案】【解析】由题意得，.故答案为：14．（2024·吉林·高一统考期末）已知，则；．【答案】【解析】，.故答案为：；.15．（2024·广东深圳·高一校考期末）已知，，则.【答案】/【解析】，，，，即，，.故答案为：16．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知，则的值为.【答案】【解析】由得，平方可得，所以.故答案为：.四、解答题17．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知(1)化简；(2)若，且满足，求的值.【解析】（1）.（2），解得或，即或，，当时，且，有，解得，此时；当时，且，有，解得，此时；综上.18．（2024·云南玉溪·高一统考期末）若.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）因为，所以.（2），又，所以.故.19．（2024·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知，是第三象限角.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由题意：，，，其中，；；（2）由（1）得，，.20．（2024·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在上的最小值．【解析】（1）因为所以函数的最小正周期，由，得：，所以的单调递减区间为（2）因为，所以所以，所以，即时.21．（2024·吉林·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为.(1)求；(2)在①，②，③这三个条件中任选一个条件补充在下面（把序号填在答题卡对应位置的横线上）并解答问题.问题：已知，，求．（注：如