高三人教A版数学一轮复习练习第六章不等式推理与证明第4节

第六章第4节[基础训练组]1．(导学号14577548)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b解析：B[∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，A、C错误；eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，D错误，故选B.]2．(导学号14577549)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：B[∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4).当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时取等号．]3．(导学号14577550)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2解析：A[∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－1＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(x－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x－1))))＋2＝2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)时，取等号．]4．(导学号14577551)(2018·长春市质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值4 B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)解析：C[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴ab≤eq\f(1,4)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤1＋1＝2，所以eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)，故选C.]5．(导学号14577552)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元A．80元 B．120元C．160元 D．240元解析：C[设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq\f(4,x)m，依题意，得y＝20×4＋10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x×\f(4,x))＝160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(4,x)，即x＝2时取等号))，所以该容器的最低总造价为160元．]6．(导学号14577553)当x＞1时，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的最大值为________.解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.答案：37．(导学号14577554)(文科)设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________.解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a时等号成立．答案：87．(导学号14577555)(理科)(2018·济宁市一模)已知圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0关于直线ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)对称，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为_________.解析：∵圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0⇔(x－1)2＋(y－2)2＝2，圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0关于直线ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(1,2)．把圆心(1,2)代入直线ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)，得2a＋2b∴a＋b＝eq\f(3,2)，a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(b,a)·\f(2a,b))))＝2＋eq\f(4\r(2),3)，当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(b,a)，即b＝eq\r(2)a时取得最小值2＋eq\f(4\r(2),3).答案：2＋eq\f(4\r(2),3)8．(导学号14577556)(2018·天津河北区三模)已知a＞0，b＞0满足a＋b＝ab－3，那么a＋2b的最小值为____.解析：因为a＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3.又因为a＞0，b＞0，所以a＝eq\f(b＋3,b－1)，所以a＋2b＝eq\f(b＋3,b－1)＋2b＝eq\f(b－1＋4,b－1)＋2(b－1)＋2＝eq\f(4,b－1)＋2(b－1)＋3≥2eq\r(\f(4,b－1)·2b－1)＋3＝4eq\r(2)＋3，当且仅当eq\f(4,b－1)＝2(b－1)即b＝eq\r(2)＋1时取“＝”．答案：4eq\r(2)＋39．(导学号14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ab,c))＝2b，eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(ca,b)·\f(ab,c))＝2a.以上三式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.10．(导学号14577558)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,3xy＝x＋y＋1.))(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2eq\r(xy)＋1，∴3xy－2eq\r(xy)－1≥0，即3(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－1≥0，∴(3eq\r(xy)＋1)(eq\r(xy)－1)≥0，∴eq\r(xy)≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.[能力提升组]11．(导学号14577559)(2018·金丽衢市联考)若函数f(x)＝eq\f(2x2－a,x－1)(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为()A．0 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：B[由题意得f(x)＝eq\f(2x2－a,x－1)＝eq\f(2x－12＋4x－1＋2－a,x－1)＝2(x－1)＋eq\f(2－a,x－1)＋4≥2eq\r(2x－1·\f(2－a,x－1))＋4＝2eq\r(4－2a)＋4，当且仅当2(x－1)＝eq\f(2－a,x－1)，即x＝1＋eq\r(\f(2－a,2))时，等号成立，所以2eq\r(4－2a)＋4＝6，即a＝eq\f(3,2)，故选B.]12．(导学号14577560)(理科)(2018·平顶山市一模)若对于任意的x＞0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥eq\f(1,5) B．a＞eq\f(1,5)C．a＜eq\f(1,5) D．a≤eq\f(1,5)解析：A[由x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t＝x＋eq\f(1,x)，则t≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时，t取得最小值2，eq\f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq\f(1,5)，所以对于任意的x＞0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq\f(1,5)，故选A.]12．(导学号14577561)(文科)(2018·邯郸市调研)若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)的最小值为()A．16 B．25C．36 D．49解析：A[因为a，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，所以eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)＝eq\f(4b－1＋16a－1,a－1b－1)＝eq\f(4b＋16a－20,ab－a＋b＋1)＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝20＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥20＋4×2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝36，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝eq\f(3,2)，b＝3时取等号．所以eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)≥36－20＝16.]13．(导学号14577562)规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为____________，此时函数f(x)＝eq\f(k⊗x,\r(x))的最小值为________.解析：1⊗k＝eq\r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq\r(k)－2＝0，∴eq\r(k)＝1或eq\r(k)＝－2(舍去)，k＝1.f(x)＝eq\f(1⊗x,\r(x))＝eq\f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥1＋2＝3，当且仅当eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1时等号成立．答案：1314．(导学号14577563)(2018·安徽皖北片第一次联考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入－成本，∴L(x)＝(0.05×1000x)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入－成本，∴L