湖南省多所学校2024届高三年级上册第三次联考数学试卷及答案

高三数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知命题*e(°」)，3,则p的否定是()

A.V%e(O,l),人与B.3%e(O,l),//日

C.V%e(O,l),/=*D.Vx0(O,l),Vw*

答案：A

解析：因为命题mxe(O,l),/=¥，则其否定为Vxe(O,l),d/#.

故选：A

Y

2.定义集合A+B=jzz=],xeA,yeB).已知集合4={4,8},B={1,2,4},则A+5元素的个数

为()

A.3B.4C.5D.6

答案：B

解析：因为A={4,8},B={1,2,4},

所以4+3={1,2,4,8},故A+5的元素的个数为4.

故选：B.

3.已知函数/(x)=3x3—2x—L的图象在x=a(a>0)处的切线的斜率为左(。)，则()

A.左(。)的最小值为6B.左(。)的最大值为6

C.左(a)的最小值为4D.左⑷的最大值为4

答案：C

解析：左(a)=/'(a)=9储+'—222d—2=4,当且仅当/=g时，即。=岑时，等号成立，所以

M。）的最小值为4.

故选：C

4.己知某公司第1年的销售额为。万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公

司从第1年到第H年（含第11年）的销售总额为（）（参考数据：取1.2"=7.43）

A.35.15。万元B.33.15〃万元C.34.15〃万元D.32.15〃万元

答案：D

解析：设第,11）年的销售额为4万元，

依题意可得数列{4}[=1,2,,11）是首项为0,公比为1.2的等比数列，

则该公司从第1年到第11年的销售总额为—==""-I）=3215a万元.

1-1.20.20.2

故选：D

5.设函数八％）的定义域为R,且/（X+1）是奇函数，“2x+3）是偶函数，贝U（）

A./（0）=0B./（4）=0C./（5）=0D./（-2）=0

答案：C

解析：因为/（X+1）是奇函数，所以/（-x+l）=-/（x+l）,则/（l）=0.

又〃2x+3）是偶函数,所以/（—2%+3）=〃2%+3）,所以45）=/⑴=0.

故选：C.

6.设且tana+tan,=,则（）

jrjr7C7C

A.2a+/7=5B.2a-0=&C.1/3—oc=—D.2/7+a=—

答案：A

01

解析：因为tana+tan，=——

cosp

sinasinB1

所以——+一5二一丁，

cosacospcosp

所以sin。cos0+cosasinfi=cosa,

即sin(c+

又ae(0,5,

JTjr

所以a+/=]■—a,即2a+力=5

JIjr

或a+,+万一(Z=7l,即1=万(舍去).

故选：A.

7.已知函数/(x)=cos卜一.)，g(x)=sinf4x+^-j,则“曲线y=/(X)关于直线x=机对称”是“曲线

V=g(x)关于直线x=7〃对称”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：令7〃一看=左兀(匕eZ),得7〃=今+%兀化eZ),

所以曲线y=/(x)关于直线户1+占兀(匕eZ)对称.

令4根+[=]+左2兀(k2CZ),得7〃=eZ),

所以曲线丁=8(£)关于直线工=今+竽化eZ)对称.

因为{〃z|“2=吉+左兀(左1eZ)}{mIm--^+^^[k2e：

所以“曲线y=/(%)关于直线彳="对称”是“曲线y=g(x)关于直线了="对称”的充分不必要条件.

故选：A.

8.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如

图，在菱形ABC。中，/A3C=120。，AB=2,以菱形A5CD的四条边为直径向外作四个半圆，尸是四

个半圆弧上的一动点，若DP=2DA+〃DC,则彳+4的最大值为()

4

p

3

B.3C.5D.

2

答案：A

解析：连接AC.

若X+〃=0,则£>p=/DA_710c=%C4,

若X不为零，则上〃CA，这与题设矛盾，若2为零，则尸与。重合.

若■+〃#€),则=

x+〃x+"x+〃

设^—DA+-^—DC=DS,故OP=(X+〃)OS,且S,AC三点共线.

2+//2+/zv'

由对称可知只需考虑P在AD,AB对应的半圆弧上.

当P在AD对应的半圆弧上（除。外）时，S总在。P的延长线上,

故此时几+〃W1.

当P在AB对应的半圆弧上，S总在。P之间，故此时2+〃之1

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（TO）,AC：y=gx+g,D（0,A/3）,

设P（cos仇sin6）（—兀<0<0）,

当6>=—4时，|DS|=2x0=毡，而|。升=1+百,

233

,1+V33+65

此时22.

3

兀百一sin。

当0W——时，则QP：y=-------------x+凤-土…

2O-cos。

y=_G-sine七由空

=二可得“国j

,3*33cos6

33

百+8-sin6

3cos6

71尻

-----cos6+,—V|+，3

3I3）

.一2^3

丁

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(X)=3|必一》+?1贝U()

A./(%)最小值为1B.±eR,/(l)+/(x)=2

C./(log92)>/^D./卜-£|〉/。°」8-£|

答案：ACD

解析：/(x)=lg［x—j+10>lgio=l,当且仅当x=g时，取得最小值1,A正确.

因为当且仅当x=g时，/(%)取得最小值，且最小值为1,所以/⑴>1,所以/(l)+/(x)>2,B错误.

因为。<logg2=-^—,所以log92-〉：，X~~~~~<且/在(一°°，!］上单调递减,

1g91g8326326

在上单调递增，所以/(Iog92)〉/11］,c正确.

因为9。」=3°2>3°」8>1，所以9°」—工>3°」8—工>工，所以，D正确.

222

故选：ACD

10.若正项数列｛?｝是等差数列，且出=5,则()

A.当生=7时，％=15B.%的取值范围是［5,15)

C.当%为整数时，的的最大值为29D.公差d的取值范围是(0,5)

答案：ABC

解析：当/=7时，公差d=2,%=%+4d=7+8=15,A正确.

因为｛aj是正项等差数列，所以［=5-d>0,即d<5,且d、0,

所以公差d的取值范围是［0,5),D错误.

因为%=5+21,所以为的取值范围是［5,15),B正确.

%=5+5de［5,30),当为为整数时，%的最大值为29,C正确.

故选：ABC.

11.若函数的定义域为。，对于任意者£。，都存在唯一的使得〃％)〃%2)=1，则称/(%)

为“A函数”，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)=ln%是“A函数”

/、1/、1

B.已知函数/(%)，”行的定义域相同，若了(九)是“A函数”，则互耳也是“A函数”

C.已知〃%)，g(x)都是“A函数”，且定义域相同，则〃x)+g(x)也是%函数”

7171

D.已知根>0,若/(x)=zn+sinx,xe是“A函数”，则m=y[l

答案：BD

解析：对于选项A,当再=1时，/(玉)=0,此时不存在巧，使得/(%)/(%2)=1-A不正确;

对于选项B,由的定义域相同，若/(%)是“A函数”,则对于任意再eD,都存在唯一的x2eD,

/、/、11,1

使得/&)/伍)=1，则对于任意菁右。，都存在唯一的“使得不y7F)=i'所以冗J也

是“A函数”.B正确;

对于选项C,不妨取/(%)=、，g(x)=-,xe(0,+oo),令方(%)=/(1)+且(冗)=%+工22,则

%x

F(^)F(X2)>4,

故/(x)+g(尤)不是“A函数”.C不正确;

nn

对于选项D,因为"％)=m+sinx,xe，是“A函数”,

所以m+sinxwO在一夕(上恒成立.又m>0,所以加一1>0,且(m+sinX1)(m+sinx2)=1，

兀兀兀71兀7t1

即对于任意不£，都存在唯一的马£一，使得sin%2=----:-----m,

22m+sin玉

111

因为根一1Vzn+sin%[W根+1,所以------m<-----；-—--m<------m,

m+1m+smxxm-1

即一-——m#sinx2---—m

m+1m-1

1,

------m>-1

由<解得机=a.D正确.

------m<1

故选：BD

12.定义在(0,+8)上的函数〃％)的导函数为/'(九)，4％)>0且才//(力<[/(力了

恒成立，则()

A./(l)/(2)p(l)-1/(2)j>f(l)-f(2)

B.Vae(0,+co),函数y=(x>0)有极值

D.3aG(0,+oo),函数y=，,)+为单调函数

答案：AD

(、f(x)

解析：解法一:设函数g(x)=4^+

X2)

/'(X)—靖(x)[/(x)T—[/("丁―九'(司<0

则g'(x)N(x了⑴

Rx)T尤2"(切2

所以g(x)在(0,+8)上单调递减，故B错误，D正确.

从而g⑴〉g⑵，即?+7^>勺+右'

因为/(x)>0,所以/⑴>0,/(2)>0,

所以/(1)/(2)/(1)-1/(2)>/(1)-/(2),故C错误，A正确.

解法二：取/(X)=x(x>0),满足/(x)>0且矿丁-xV(x)<[/(x)T，则

3aG（0,+OO）,函数y=7,）+「；尤）（龙〉0）为单调函数.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

..1__

13.设向量AB=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量为一—AC,则犬=

答案：1

解析：向量A3=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量为

A3ACAC3x-8x4「i

廿。，则丁丁解…

故答案为：1.

14.若a£[0,—

cosla--则sin3a=

3

答案：£1##:百

99

解析：因为所以2ae(O,7i),所以sin2a=J1—(cos2a『=手，

因为cos2(z=2cos?o-l=，，所以cosa=逅，sina-—，

3I2j33

573

所以sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

~9~

故答案为：巫

9

15.若关于x的不等式/+7。＜（7+4）%的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是,这50

个整数元素之和为.

答案:①.[74,叫U(57,58]②.—925或1625

解析：不等式f+7a<（7+a）为等价于不等式（x—a）（x—7）<0.

当a=7时，（x—a）（x—7）<0的解集为0,不合题意；

当a<7时，（％-。）（％-7）<0的解集为（a,7）,

则50个整数解为-43,-42，…，5,6,

所以一44<a<-43,这50个整数元素之和为（“3+6）*50=；

2

当a>7时,（%-a）（x-7）<0的解集为（7,a）,

则50个整数解为8,9,56,57,所以57<a<58,

这50个整数元素之和（8+57）*5°=W25.

2

综上，。的取值范围是［T4,T3）（57,58］,这50个整数元素之和为-925或1625.

故答案为：［T4,T3）（57,58］；—925或1625

16.如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12,若四边形A5DE为正方形，且3C=CD,则当△BCD

的面积取得最大值时，AB=.

答案:27-3折

8

解析：过点。作垂足为设A5=x(x>0),则3D=AE=OE=x,

3

•：BC=CD,：.3AB+2BC=12,则BC=6——九，

2

由BC>0,BC+CD>BD,得0<x<3.

在△35中，CF=y/BC2-BF2=L-|xj一［gx)=V2%2-18%+36-

记△3CD的面积为S,则S=•CT=—7%4-9X3+18X2.

22

设函数/(%)=%"-9x3+18%2,贝ij尸(x)=4x3-27x2+36%=x(4x2-27x+36),

令/'(x)=0,得x=0或x=27±3j!7.当o<x<27—3jI7时,用@>0；

88

当27—；如<关<3时,r(x)<0.故当x=27—；而'时,"%)取得最大值，

则S取得最大值，此时45=27—3/17.

8

故答案为：27-3亚.

8

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，已知acos5-2〃cosA=〃+c.

（1）求tanA；

（2）若”=J万，A5C的面积为2拒，求；ABC的周长.

答案：（1）tanA=-2^2

⑵5+717

(1)

因为acos5—2Z?cosA=>+c,所以sinAcosB—2sin_BcosA=sin5+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin5cosA=sin5.

因为sin3。0，所以cosA=-，

3

又Ae(0,兀)，所以sinA=~~，tanA=-2^2-

(2)

_ABC的面积S=L/?csinA==2后，则6c=6.

23

。22,4

^a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+~^c，得他+c)'=cr+—be=25,

所以方+c=5,故；ABC的周长为5+JT7.

18.如图，在四棱锥尸—ABC。中，底面ABC。，底面ABC。为正方形，PA=AB，E,F,M分别

是PB,CD,尸。的中点.

(1)证明：EF〃平面B4D

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

答案：(1)证明见解析

⑵I

(1)

证明：取出的中点N,连接EN,DN,因为E是PB的中点，所以EN〃AB,EN=-AB.

2

又底面ABC。为正方形，尸是C。的中点，所以ENHDF,EN=DF,所以四边形END尸为平行四边形,

所以EF//DN.

因为£尸仁平面B4。，DNu平面B4D,所以EF〃平面B4D

(2)

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为无轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设AB=2,则E(L0,l),F(1,2,0),尸(0,0,2),£>(0,2,0),M(0,1,1).

从而5M=(—1,1,0),MF=(1,1,-1),AF=(1,2,0).

玉+2%=0人

设平面AMF的法向量为〃2=（尤1，必,马），贝卜,C，令％=1,得〃z=(—2,1,—1).

[xl+yl-z1=0

S+%-z,=0

设平面EMF的法向量为"=（%2，%，Z2），则，1-…2。，令为：1,得〃=(1,1,2).

/m・n1

cos(nt,n)-—n一r二—

故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为1.

19.已知数列｛。“｝满足区++%+%+%+,+二+-2+=n-2n.

23n

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列出|的前〃项和S”.

答案：(1)%="(〃+3)2"

(2)S,=(〃+2).2"T-1

(1)

当〃=1时，4=2.

nnl

当“22时，"1+J++%=n-2-(n-l)-2-=(n+l)-2"一，

即q+a2++c1rl=〃(〃+1)•2"i,

当〃=1时，上式也成立,

所以4=+1)•2"T—(“一1)分T--=n(n+3)-2"-2(n>2).

当〃=1时，也符合4=〃5+3)-2"-2,所以4=〃(〃+3)2-2.

(2)

由(1)知％=(〃+3)2-2.

n

s.=4x2-+5x2°++(〃+3)・2”-2,

1-1

2Sn=4x2°+5x2+.+(«+3)-2",

则—S“=2+(2°+21++2"-2)_(〃+3).2“T=2+(2"T—1)—(〃+3>2"T=—(〃+2)-2"T+1,

所以S“=5+2)・2"T_1.

20.某商场在6月20日开展开业酬宾活动.顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个

b

号码，第1个号码为。，第2个号码为反设X是不超过一的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代

a

金券(若X=0,则没有代金券)，代金券可以在活动结束后使用.

(1)已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；

(2)求X的数学期望.

答案：(1)1

⑵上

30

(1)

当内。时，该顾客能获得代金券.设%是偶数”为事件4%>〃”为事件2,

则0(附=(2。-6)+(2”乎+(20—18)=至二土

A»21015

4

8x14:所以。(引力=然吟，

产储)=J

AM

15

所以当顾客抽到a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为：.

(2)

X可能的取值为0,1,2,3.

当X=0时，b<a,则尸（X=O）=g.

当X=1时，a+l<b<2a-l,若则a+l<6<20.

对每一个历方有20—a种不同的取值，贝1（。㈤共有9+8++1=45种可能的取值.

若6VaV10,对每一个a,b有a—1种不同的取值，贝乂。,"）共有5+6+7+8+9=35种可能的取值，

n/v1\45+358

所以P（X=l）=kK

当X=2时，2aWbW3a—1.

若a»7,则2aWb〈20.对每一个a,b有21—2。种不同的取值，贝U（a,。）共有7+5+3+1=16种情况.

若a=6,则（a,。）共有6种可能的取值.所以P（X=2）==77G.

A]51U3

31

当X=3时，3a«b«4a—只有（6,18）,（6,19）,（6,20）这3种情况,所以尸”=3）=前=痴.

所以E（X）=0x」+lx§+2x二+3、!=空=史.

v72211057021030

21.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴椭圆过点C（0,-l）,D（-|,-g）.

（1）求椭圆的方程.

（2）设尸是椭圆上一点（异于C。），直线PC,。。与％轴分别交于M,N两点.证明在无轴上存在两点

A,B,使得MB.是定值，并求此定值.

答案：（1）—+y2=1；

4

（2）证明见解析，定值为T2.

（1）

(7=11

设椭圆方程为/2+分2=1,贝I」649，解得＜P=N,

—p+—q=l

q=i

所以椭圆的方程为三+丁=1.

(2)

则。/=（%」）,CP=（Xo，%+l）,由CM//CP，得%〃（贝）+D=%o，而%+1。0,于是“二-7

为十1

DN=国+-|9-|),£>^=(^o+[»。+'|)’同理人+:)(%+[)=](x°+g),而%+gwO,于是

38

.5%丁。

3

%+二

38

一%—为

则N4=(m_^——"£,0),M6=("--一^,0),

3_8

MB-NA=(n-(机-51。—5为)=(仅+〜/)(5%%+8%+3m-3%)

%+1v+。(%+1)(5%+3)

为5

令5根％+8%+3瓶=—3您o—3〃，而P（%,为）是椭圆上的动点，则5根+8=—3忆3相二一3〃，得

n=4,m=-4,

于是MB•附=-3](4%+4j]=—3[(4%+4)2—(4-4巾)]=-12(5、+8%+3)=n)

'(%+1)(5%+3)(%+1)(5%+3)5*+8%+3~

所以存在A(T,0)和3(4,0),使得