数学人教A版必修2学案2-2-3直线与平面平行的性质

2．2.3直线与平面平行的性质[目标]1.理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题；2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题．[重点]直线与平面平行的性质定理及应用．[难点]线线平行与线面平行的转化．知识点直线与平面平行的性质定理[填一填][答一答]1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．类型一线面平行性质定理的理解[例1]下列说法中正确的是()①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③C．②③④ D．①②④[解析]①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．③可以作无数个平面与直线平行，故③错误．④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，故④正确，所以选D.[答案]Deq\a\vs4\al(解决本类问题的技巧是：,1明确性质定理的关键条件；,2充分考虑各种可能的情况；,3特殊的情况注意举反例来说明.)[变式训练1]过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(D)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：∵l⊄α，∴l∥α或l∩α＝A，若l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，∴由公理4可知，a∥b∥c…；若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选D.类型二线面平行性质定理的应用命题视角1：利用性质定理证明线面平行[例2]如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′.(1)要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？[解](1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线．(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC，因此eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EF∥BC,EF⊄平面AC,BC⊂平面AC))⇒EF∥平面AC.BE、CF显然都与平面AC相交．平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行.[变式训练2]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1命题视角2：利用性质定理证明线线平行[例3]如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作一平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[分析]由线面平行的性质定理可知，要证AP∥GH，只需证明AP平行于平面BMD.[证明]连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.应用线面平行的性质定理可以得到线线平行．解此类题的关键是找到过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需要作出辅助平面．必要时，可反复应用线面平行的判定定理和性质定理进行平行关系的转化．[变式训练3]如图，正方形AMDE中，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P­ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.求证：AB∥FG.证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.1．如果直线a∥平面α，b⊂α，那么a与b的关系是(B)A．相交B．不相交C．平行D．异面解析：a与b平行或异面，但不可能相交．2．若直线a∥平面α，直线b⊥直线a，则直线b与平面α的位置关系是(D)A．b∥α B．b⊂αC．b与α相交 D．以上均有可能解析：b与α的位置关系是平行、相交或在α内都可能．3．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与ABA．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：∵A1B1∥平面ABC，∴A1B1∥DE.又A1B1∥AB，∴DE∥AB.4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于eq\r(2).解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).5.如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．——本课须掌握的两大问题1．对线面平行性质定理的理解(1)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．(2)线面平行的性质定理的条件有三：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；