第九章 时间序列分析与预测

第九章时间序列分析与预测本章主要介绍以下内容：1、时间序列的意义、种类以及编制原则。重点掌握时间序列的分类以及各分类之间的关系。2、各类发展水平指标的计算方法及应用。着重了解序时平均数与一般平均数的区别，重点掌握序时平均数的各种计算方法。3、各类发展速度指标的计算方法及应用。重点了解平均发展速度。4、时间序列变动因素的分解和长期趋势变动的测定以及季节变动的测定。动态分析法因数分析法时间序列的分析方法：我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标（8）（9）（16）年份国内生产总值（亿元）第三次产业（亿元）年份国内生产总值（亿元）第三次产业（亿元）（1）（2）（1）（2）1985——199334634.411323.8198610202.22945.6199446759.414930.0198711962.53506.6199558478.117947.2198814928.34510.1199667884.620427.5198916909.25403.2199774462.623028.7199018547.95813.5199878345.225173.5199121617.87227.0199981910.927035.8199226638.19138.6我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标

（6）（10）(11)(13)年份第三次产业国内生产总值所占比重（%）年末社会从业人员人数（万人）年份第三次产业国内生产总值所占比重（%）年末社会从业人员人数（万人）（3）（4）（3）（4）1985—49873199332.7066373198628.8751282199431.9367199198729.3152783199530.6967947198830.2154334199630.3168850198931.9555329199730.9369600199031.3463909199832.1369957199133.4364799199933.0170586199234.3165554我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标年份国内生产总值（亿元）年末社会从业人员人数（万人）年份国内生产总值（亿元）年末社会从业人员人数（万人）（1）（4）（1）（4）1985—49873199334634.466373198610202.251282199446759.467199198711962.552783199558478.167947198814928.354334199667884.668850198916909.255329199774462.669600199018547.963909199878345.269957199121617.864799199981910.970586199226638.165554我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标

（13）年份按国内生产总值计算的社会劳动生产率（元/人·年）年份按国内生产总值计算的社会劳动生产率（元/人·年）（5）（5）1985—1993525119862017199470011987229919958654198827871996992519893084199710757199031111998112281991335919991165619924087我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标

（12）（16）（37）(38)年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）发展速度（%）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）发展速度（%）环比定基环比定基甲（1）（2）（3）甲（1）（2）（3）198523135.2—100199347818.2113.5206.7198625171.0108.8108.8199453843.3112.6232.7198728090.9111.6121.4199559496.9110.5257.2198831265.2111.3135.1199665208.6109.6281.9198932547.0104.1140.7199770946.9108.8306.7199033783.8103.8146.0199876480.8107.8330.6199136891.9109.2159.5199981910.9107.1354.1199242130.6114.2182.1第一节时间序列概述一、时间序列的概念和作用

时间序列（即动态数列）：构成时间序列有两个基本要素：①时间要素（用t表示）；②数据要素（用y表示）。

时间序列的作用：（3）

(14)二、时间序列的分类

绝对数时间数列相对数时间数列

平均数时间数列绝对数时间序列是基本序列，其余两类是派生序列。（一）绝对数时间序列绝对数时间序列：

（3）

1、时期序列：时期：绝对数时间序列时期序列时点序列

（4）时期序列具有两个主要特点：

2、时点序列：时点序列具有两个主要特点：

间隔：

（3）时期序列和时点序列的区别：（1）前者反映现象在各个时期内发展的总量，后者则反映现象在各个时点上所达到的水平。（2）前者各指标值可相加，后者则不能相加。（3）前者各指标值大小与所包括的时期长短有直接关系，后者各指标值大小与时点间隔无直接关系。（4）前者资料的取得需连续统计，后者为间断统计。

（4）(7)（5）

（二）相对数时间序列：

（三）平均数时间序列：时间序列的种类：(8)时间序列绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列时期序列时点序列三、编制时间序列的原则编制时间序列的基本原则是保证序列中各个指标数值的可比性。具体应遵循以下5点：

1、时期长短应该相等。

2、总体范围应该一致。

3、经济内容应该相同。

4、计算方法应该一致。

5、计算价格和计量单位应该一致。第二节、发展水平指标一、发展水平和增减水平（一）发展水平发展水平：

总量发展水平通常用或表示，相对或平均发展水平通常用c表示。

最初水平、最末水平、中间水平、基期水平、报告期水平。

（7）（二）增减水平（3）增减水平（又称为增减量）：（1）逐期增减量：

（2）累积增减量：

逐期增减量与累积增减量之间的关系：①②二、平均增减水平和平均发展水平（一）平均增减水平（平均增减量）：（1）水平法：（2）总和法：在消除季节变动的影响时，我们常用年距增减水平这一指标，该指标反映本期发展水平比上一年同期发展水平的增减绝对量。年距增减水平=本期发展水平－去年同期发展水平(36)

（二）平均发展水平（动态平均数或序时平均数）：序时平均数与一般平均数的共同之点：

序时平均数与一般平均数的主要区别：

在计算序时平均数时，由于时间数列的种类不同，其计算方法也有所不同。其中绝对数时间数列序时平均数的计算是基础。

1、由绝对数时间数列计算序时平均数（1）由时期数列计算序时平均数。其计算公式为：（2）由时点数列计算序时平均数：分连续时点数列和间断时点数列两种情况。

A、由连续时点数列计算序时平均数：分时间间隔相等和不相等两种情况。①由间隔相等的连续时点数列计算序时平均数，其计算公式为：②由间隔不相等的连续时点数列计算序时平均数，其计算公式为(例见P.224.)：例、某商场2004年1月营业员人数资料如下：日期1月1日～1月7日1月8日～1月11日1月8日～1月18日1月8日～1月20日1月8日～1月31日营业员人数（人）410414430424416该商场1月份日平均营业员人数

B、由间断时点数列计算序时平均数。同样分为间隔相等和间隔不相等两种情况。①由间隔相等的时点数列计算序时平均数，其算式经简化后为：②由间隔不相等的时点数列计算序时平均数，其计算公式为：

2、由相对数时间数列计算序时平均数：相对数时间数列中的各项（以表示）是根据两个有联系的总量数据（分别以和表示）对比而求得，用符号表示即。即相对数时间数列为：因此，由相对数时间数列计算序时平均数，应当符合该相对数时间数列本身的计算公式，即由而得到。而不应当由而得到。基本公式：作为一种平均数，也有权数的影响问题。根据实际情况，可以分为以下三类。（1）分子、分母同是时期数列，其计算公式为：（2）分子、分母同是时点数列，此时有四不同的情况，但其基本计算方法不变。具体计算时，应根据不同的情况采用相应的计算方法。总的原则是，先计算和，然后再计算。（3）分子、分母是两个不同性质的数列。基本原则仍然是先计算和，然后由求得。①数列中各个时期的时间长度相等：用简单算术平均法，即：（2）序时平均数：分为数列中各个时期的时间长度相等与不相等两种情况。（1）一般平均数：同相对数的情况。

3、由平均数时间数列计算序时平均数：分为一般平均数和序时平均数两种情况。

②数列中各个时期的时间长度不相等：此时以时间长度为权数，用加权算术平均法，即：发展水平指标:发展水平指标发展水平增减水平平均增减水平（水平法、总和法）

平均发展水平（序时平均数）逐期增减量累积增减量年距增减水平

根据不同的时间数列计算序时平均数：

(22)（序时平均数）平均发展水平绝对数时间数列相对数时间数列（分子分母数列）平均数时间数列连续时点数列时期数列不连续间隔相等间隔不相等间隔相等间隔不相等时期数列时点数列不同性质数列一般平均数序时平均数第三节、发展速度指标一、发展速度和增减速度（一）发展速度（1）定基发展速度为：（7）设有发展水平：分定基发展速度和环比发展速度（2）环比发展速度为：(7)（2）（1）

定基发展速度与环比发展速度两者间存在如下重要的换算关系：

定基发展速度与环比发展速度的图示：环比发展速度定基发展速度年距发展速度：以本期（月或季）发展水平与上年同期（月或季）发展水平相比，表示本期较上年同期发展的相对程度（也称为年距或同比发展速度）。用公式表示为：（二）增减速度增减速度：增减量与基期水平之比，或发展速度减1。（1）定基增减速度：（2）环比增减速度：

年距增减速度：每增减1%的绝对值指标：增减量计算表年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减量（亿元）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减量（亿元）逐期累计逐期累计甲（1）（2）（3）甲（1）（2）（3）198523135.2——199347818.25687.624683.0198625171.02035.82035.8199453843.36025.130708.1198728090.92919.94955.7199559496.95653.636361.7198831265.23174.38130.0199665208.65711.742073.4198932547.01281.89411.8199770946.95738.347811.7199033783.81236.810648.6199876480.85533.953345.6199136891.93108.113756.7199981910.95430.158775.7199242130.65238.718995.4速度指标计算表（51）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）发展速度（%）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）发展速度（%）环比定基环比定基甲（1）（4）（5）甲（1）（4）（5）198523135.2—100199347818.2113.5206.7198625171.0108.8108.8199453843.3112.6232.7198728090.9111.6121.4199559496.9110.5257.2198831265.2111.3135.1199665208.6109.6281.9198932547.0104.1140.7199770946.9108.8306.7199033783.8103.8146.0199876480.8107.8330.6199136891.9109.2159.5199981910.9107.1354.1199242130.6114.2182.1速度指标计算表年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减速度（%）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减速度（%）环比定基环比定基甲（1）（6）（7）甲（1）（6）（7）198523135.2——199347818.213.5106.7198625171.08.88.8199453843.312.6132.7198728090.911.621.4199559496.910.5157.2198831265.211.335.1199665208.69.6181.9198932547.04.1340.7199770946.98.8206.7199033783.83.846.0199876480.87.8230.6199136891.99.259.5199981910.97.1254.1199242130.614.282.1增减1%的绝对值年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减1%的绝对值（亿元）年份国内生产总值（亿元）（按可比价格计算）增减1%的绝对值（亿元）甲（1）（8）甲（1）（8）198523135.2—199347818.2421.31198625171.0231.35199453843.34789251.71199559496.9538.43198831265.2280.91199665208.6652.09198932547.0312.65199770946.9709.47199033783.8325.47199876480.8764.81199136891.9337.84199981910.9819.11199242130.6368.92二、平均发展速度和平均增减速度平均速度指标平均发展速度平均增减速度（一）几何平均法：平均发展速度的计算方法：几何平均法方程法例、1986年～1999年我国经济发展的平均速度为：平均增减速度为：（46）（二）方程法：设各期发展水平为：，平均发展速度为：。则有：上式是一个关于的n阶方程。解这个方程可用查表法；或用牛顿迭代公式（即切线法），即：其中三、计算和应用平均速度指标应注意的问题：

发展速度指标：发展速度指标发展速度增减速度定基发展速度环比发展速度年距发展速度

平均发展速度（几何平均法、方程法）平均增减速度定基增减速度环比增减速度年距增减速度增减1%的绝对值第四节、时间数列的趋势分析与预测一、时间数列变动因素的分解（60）

1、长期趋势变动（T）：

2、季节变动（又称为季节周期）（S）：

3、循环变动（又称为循环周期）（C）：

4、不规则变动（I）：我们一般用Y表示一个时间数列。由于Y是由上述四种不同的影响因素共同作用所至，对于这四种不同的影响因素的组合模型，我们可以用两种模型进行描述，即用加法模式和乘法模式进行描述。

1、加法模式：在假定四种变动因素是相互独立关系时，用加法模式进行描述，即

2、乘法模式：在假定四种变动因素是相互依存关系时，用乘法模式进行描述，即

在加法模式下分解时间数列的组合因素，一般用减法，如

在乘法模式下分解时间数列的组合因素，一般用除法，如某百货公司的年销售额趋势（56）

某百货公司的月销售额序列的分解二、长期趋势变动的测定

测定长期趋势的前提是必须掌握较长时期的完整资料（最好五年以上）。测定长期趋势的方法有：（一）间隔扩大法（时距扩大法）：时距扩大法移动平均法分段平均法最小二乘法例、某铁路区段1983～1985年按季统计的货物周转量如下表：货物周转量表（单位：百万吨）试测定货物周转量的变动的长期趋势。年份一季度二季度三季度四季度198319841985616744936400512656280360472320416576解：这个时间数列是：

616，400，280，320，744，512，360，416，936，656，472，576。用间隔扩大法，把时距扩大为年，得新时间数列：

1616，2032，2640

（二）序时平均法（三）移动平均法：

1、简单移动平均法：步长n=奇数偶数⑴步长n为奇数：下表为1997～1998年各国来华旅游人数资料：年份月时间序号（）旅游人数（万人）三期移动平均值七期移动平均值199711410.3——22411.1433.1—33477.9453.1—44470.4467.3451.055453.5456.9467.566446.8462.5480.3续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）三期移动平均值三期移动平均值199777487.1486.5486.288425.7504.5495.299500.8515.1505.11010518.9517.8513.91111533.8525.1506.71212522.5521.5501.8

续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）三期移动平均值七期移动平均值1998113508.2489.2512.6214436.8479.0512.0315491.9501.5505.7416575.8527.6508.1517515.0526.9517.8618490.0514.7528.6

续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）三期移动平均值七期移动平均值1998719539.1535.1539.9820576.1542.6535.2921512.5553.2545.71022570.9542.0—1123542.5567.5—1224589.1——若n为偶数（即采用偶数项移动平均），则所取得的平均值对正这n个数据的第项与第项之间，这称之为一次移动平均；然后由相邻两项一次移动平均值求二次移动平均，其值对正n个数据的第项。这种求偶数项移动平均的方法，称为二次移动平均法。⑵步长n为奇数：我们对第67页的1998年各国来华旅游人数资料求4个月的移动平均值如下表：年份月时间序号（）旅游人数（万人）四期一次移动平均值四期二次移动平均值1998123123508.2436.8491.9———503.2—504.9————504.1—

续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）四期一次移动平均值四期二次移动平均值1998456456575.8515.0490.0—518.2—555.0—555.1511.6—536.6—555.1—

续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）四期一次移动平均值四期二次移动平均值1998789789639.1576.1512.5—554.4—574.7—550.5554.8—564.6—562.6—

续表年份月时间序号（）旅游人数（万人）四期一次移动平均值四期二次移动平均值1998101112101112570.9542.5589.1—553.8————552.2—————例、某企业20年的利润总额观测数据如下表，求三年及五年移动平均数。（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）123456789101232123432–2.02.32.01.72.03.03.33.02.7––1.82.02.22.42.62.83.03.21112131415161718192034543456543.04.04.34.03.74.05.05.35.0–3.43.63.84.04.24.44.64.8––某企业20年的利润总额观测数据的移动平均曲线

2、加权移动平均法：直线趋势.....................（四）分段平均法：具体求解步骤如下：（1）将时间数列的各个时期按先后顺序编号，即令（2）把时间数列分为前后两个相等的部分，分别计算其指标数值的平均数，记作和。

应为奇数。（3）计算与对应的时间序号的平均数及与对应的时间序号的平均数为。（4）以得到的两点和用两点式求出直线方程上述两点式经整理后即得直线趋势方程：其中代表时间，代表趋势值。例、已知某地生产某种化肥历年产量的统计资料如下表，试用分段平均法拟合一条趋势直线。年份某种化肥产量（Y）年份某种化肥产量（Y）1989199019911992199319941995772780771776780782779199619971998199920002001780785779784785780某地某种化肥产量单位：万吨解：删去第一项，即1989年的数据。列表计算如下：年份时期编号（t）某种化肥产量（Y）199019911992199319941995123456780771776780782779合计214668单位：万吨续表年份时期编号（t）某种化肥产量（Y）199619971998199920002001789101112780785779784785780合计574693单位：万吨

由上表可得：由两点方程，得：

整理后得到直线趋势方程：附：曲线配合问题，即如何选择长期趋势模型：趋势模型是以时间作自变量，以社会经济指标

为因变量，为指标的趋势估计值。

A、直线趋势模型：其公式为

判断准则为：当时间数列中

的各期一阶差分

大体一致时，可选择直线模型拟合。

B、二次曲线（即抛物线）趋势模型：

其公式为

判断准则：当时间数列中的各期二阶差分（即二级增减量）

大体一致时，

C、指数曲线趋势模型：

其公式为

判断准则：当时间数列中

的各期一阶差分率（即环比增减速度）

大体一致或各期数据的对数一阶差分

大体一致时，可选择指数曲线模

可选择抛物线趋势模型。

型拟合。（五）最小平方法：好的趋势线应该满足下列两点要求：（1）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差平方和为最小，即；（2）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差总和为零，即。

1、直线趋势的拟合：如果时间数列呈直线趋势，即，则由最小二乘法的中心思想，这条直线趋势线必须满足以下两个条件：（1）（2）由微积分的有关知识，可得计算参数、的公式如下：例、已知某水泥厂1995～2000年水泥产量如下表，试以最小二乘法拟合趋势直线。某水泥厂水泥产量表单位：万吨解：列表计算如下：年份199519961997199819992000水泥产量58068581990010101160

最小二乘法计算表

单位：万吨将上表中的合计数代入：年份199519961997199819992000合计12345621580685819900101011605154580137024573600505069602001714916253691576.5689.5802.5915.51028.51141.5

解此联立方程，得：

则所求趋势直线为：我国1969年——1980年钢材消费量

（单位：万吨）年份时序钢材消费量年份时序钢材消费量196919701971197219731974123456102513161539156117651726197519761977197819791980789101112196019022013244627362825对我国1969年——1980年钢材消费量采用最小二乘法，得到趋势曲线：

1969年——1980年我国钢材消费量曲线

2、曲线趋势的拟合：（1）抛物线型（即二次曲线）：若时间数列呈二次曲线型，可用最小二乘法或分段平均法（三段平均法）定各参数。①由最小二乘法可得三个线性方程如下：联立求解，可得各个参数。

②分段平均法（三段平均法）：将时间数列数据按时间先后顺序分为三个部分，然后分别对这三个部分数据及对应的时间序号及进行平均，得到三组数据：，，；，，；，，。将这三组数据代入中联立求解，即可得到各个参数。（2）指数曲线型：若时间数列呈指数曲线趋势，即，则先对两边求对数，得：

然后对上式用最小二乘法，得：对上面两个方程联立求解，可定出和。三、季节变动的测定对于趋势模型和如果忽略周期因素C，则有：

测定季节变动的方法有两种：（1）按月（季）平均法：该法不考虑长期趋势的影响，采用按月（或按季）平均的方法；（2）趋势剔除法：该法考虑长期趋势的影响，采用移动平均法，借以剔除长期趋势的影响，也称为移动平均趋势剔除法。（一）按月（按季）平均法我们的目的是要求出各月（各季）的季节指数（即季节比率）：这是一个反映季节变动的相对指标，其计算步骤如下：①整理被研究现象若干年（一般要求五年以上）的月度资料或季度资料，将其编制成平行的时间数列；②在①的基础上，计算各年同期的平均数；③计算各年总的期平均数；④求出季节指数（季节比率）。

按月（按季）平均法的优点是计算简便，容易了解；缺点是所得季节比率有时不够精确。①搜集连续三年以上时间数列分期资料；②按季节变动周期长短求移动平均数，得出长期趋势值。如：月度资料按12个月移动平均，季度资料按4个季度平均，然后移正；③剔除长期趋势，求季节比率

或季节变差；（二）移动平均趋势剔除法：④消除不规则变动，求同期平均季节比率或同期平均季节变差，并求其校正数。求校正数，要先求调整数，然后根据调整系数计算校正数。

具体计算方法为：季节变差校正数的计算方法：若12个月（或4个季度）的平均变差之和不为零，将此数（平均变差之和）除以12（4），其值反号（正变负，负变正）即为校正数，将校正数分别加到各月（各季）的平均变差上，即得季节变差。季节比率亦称季节指数，是一个重要的综合指标。统计学中借助季节比率，用一个具体的数字说明季节变动情况。季节比率和季节变差其实质相同，但表现形式不同。后者表现为绝对数形式，以0为基准；前者表现为相对数形式，以100%为基准。例、某市肉类制品的销售资料如下表：单位：（百万元）季度年份一二三四1995——121619961814151819972015162219982116202419992427——要求：（1）以按季平均法求季节比率。（2）剔除长期趋势，求季节变差。（3）剔除长期趋势，求季节比率。解：（1）按季平均法求季节比率计算表

季度年份一二三四合计19951996199719981999—18202124—1415162712151620—16182224—