《乘方（1）》名师教案

.5.1第一课时（李映）有理数的乘方一、教学目标（一）学习目标1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义．2.能进行有理数的乘方运算，掌握幂的符号法则．3.了解用计算器进行乘方运算．（二）学习重点正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则．（三）学习难点正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算，注意区别－an与（－a）n的意义．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．根据示例填空：示例：==8==9，==，==，==，==4，==－4.2.预习自测（1）=（）A.﹣2B.﹣4 C.2 D.4【答案】D．【解析】解：==4，选D.【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解．（2）（﹣3）2的值是（）A.﹣9 B.9 C.﹣6 D.6【答案】B．【解析】解：（﹣3）2=9，选B．【点拨】根据乘方的性质即可求解．（3）=（）A.﹣3 B.﹣9 C.3 D.9【答案】B．【解析】解：﹣32=﹣3×3=－9，选B．【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解．（4）=（）A. B. C. D.【答案】D．【解析】解：===，选D.【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解．（二）课堂设计1.知识回顾（1）几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为_____；当负因数的个数为偶数时，积为_____．（2）正方形的边长为2，则面积是_____，棱长为2的正方体，则体积为_____．2.问题探究探究一在现实背景中，理解有理数乘方的意义▲．●活动①小组合作，弄清定义师生活动：分小组学习教科书41页，要求能结合教产书中的示意图，用自己的语言表达下列几个概念的意义及相互关系．师问：通过自主学习，谈一谈在一个幂中，什么是底数？什么是指数？什么幂？学生抢答.（老师引导学生观察，发表自己看法）总结：底数是相同的因数，可以是任何有理数，指数是相同因数的个数，在现阶段中是正整数，而幂则是乘方的结果．【设计意图】通过小组学习，培养学生的阅读能力，通过对实例中发现的乘方运算的定义，让学生更容易掌握乘方运算的定义．●活动②区别易错点师问：和一样吗？为什么？师生活动：学生独立思考30秒，然后小组交流1分钟．生答：不一样！表示4个－2相乘，表示4个2相乘的相反数.师问：对的，还可以如何从底数上进行区别？生答：的底数是-2，的底数是2，“－”只是它的性质符号．总结：我们以后把读作“－2的4次方”，而读作“2的4次方的相反数”读法上有区别，意义也不一样．（请大家将两种不同的读法记在教科书P41上．）【设计意图】通过小组交流，从表示的意义不同，底数的不同，读法的不同进行区别，让学生能够深刻地掌握两者的不同之处，采用记笔记的方式，进一步加深易错点的印象．探究二能进行有理数的乘方运算，掌握幂的符号法则．▲★●活动①举例说明，回归本源例1．计算；（2）；（3）.【知识点】有理数乘方运算【解答过程】解：（1）==－64（2）==16（3）==-【点拨】在解决乘方的相关问题时，应将乘方运算回归到它的定义，根据定义列式计算．【答案】（1）－64；（2）16；（3）-.【设计意图】通过一组例题的讲解，在理解乘方运算的定义后，让学生进一步巩固乘方运算的定义．●活动②幂的符号法则师问1：通过例1，你发现负数的幂的正负有什么规律？当指数是_________，负数的幂是______数；当指数是_________，负数的幂是______数；师生活动：学生自行观察1分钟．学生举手抢答：当指数是奇数，负数的幂是负数；当指数是偶数，负数的幂是正数；总结：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．师问2：那么正数的幂与指数有关吗？生答：没有．师问3：那0呢？生答：也没有．总结：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．师问4：将幂运算对比前面所学的“几个不为0的有理数相乘”，有哪些异同？生答：相同之处是：都是乘法运算，不同的是：幂运算是“几个不为0的有理数相乘”的一种特殊运算，师问5：你认为在进行幂运算是，先做什么，后做什么？学生举手抢答.总结：和“几个不为0的有理数相乘”一样，先定符号，再定绝对值．练习1.（1）中的指数和底数各是多少？呢？中的－10叫做什么数？8叫做什么数？的结果是正数还是负数？2.计算；（2）；（3）；（4）；；（6）；（7）；（8）.【知识点】有理数幂的运算【解析】1.（1）的指数和底数分别是8，-7；的指数和底数分别是8，7；中的－10叫做底数，8叫做指数；结果是正数.2.计算：解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【点拨】在解决乘方的相关问题时，和前面“几个不为0的有理数相乘”一样，首先确定结果的符号问题，再将乘方运算回归到它的定义，根据定义列式计算．【答案】1．（1）8，-7；8，7；（2）底数，指数，正数．2．（1）1；（2）－1；（3）512；（4）－125；（5）0．001；（6）；（7）10000；（8）－100000．【设计意图】通过对负数的奇次幂和偶次幂的探讨，发现幂的符号规律，培养学生观察、归纳、表达的能力，加强学生对幂的进一步认识．通过练习，进一步加强学生对幂的简单运算的认识，提高对幂运算的熟练程度．探究三了解用计算器进行乘方运算．●活动①例2．用计算器计算（－8）5和（－3）6．师生活动：学生自学P42，老师多媒体示范【知识点】用计算器进行幂运算【解析】解：用带符号键（－）的计算器．开启计算器后按照下列步骤进行：（（－）8）∧5=显示：（－8）^5－32768即（－8）5=－32768（（－）3）∧6=显示：（－3）^6729即（－3）6=729用带符号转换键+/－的计算器：8+/－∧5=显示：－327683+/－∧6=显示：729所以（－8）5=－32768（－3）6=729【点拨】弄清计算器的输入顺序是关键.【答案】-32768，729.【设计意图】让学生了解用计算器进行幂运算，感受现代科技与数学的结合．3.课堂总结知识梳理幂的定义．幂的符号法则．和的区别．重难点归纳（1）幂的运算和和“几个不为0的有理数相乘”一样，先定符号，再定绝对值．（2）和从底数，实际意义，读法上的区别．（三）课后作业基础型自主突破1.计算﹣42的结果等于（）A.﹣8B.﹣16 C.16 D.8【答案】B.【解析】解：﹣42=﹣16，选B.【点拨】乘方就是求几个相同因数积的运算，﹣42=﹣（4×4）=﹣16．2.下列四个数中，是负数的是（）A.|﹣3| B.（﹣3）2 C.﹣（﹣3） D.﹣32【答案】D.【解析】解：A.|﹣3|=3，不符合题意；B.原式=9，不符合题意；C.原式=3，不符合题意；D.原式=﹣9，符合题意，选D.【点拨】各项利用绝对值的代数意义，乘方的意义，相反数的性质判断即可．3.中，底数是，指数是．【答案】，5．【解析】解：中，底数是，指数是5，【点拨】对于幂an中，底数是a，指数是n，据此可以解答此题．4.计算：﹣23=，=．【答案】﹣8；.【解析】解：﹣23=﹣8，=.【点拨】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．5.计算：=．【答案】﹣1．【解析】解：原式===﹣1．【点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果．6．计算．【答案】﹣35．【解析】解：=﹣8+9﹣9×4=﹣8+9﹣36=﹣44+9=﹣35．【点拨】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．能力型师生共研1.我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B．【解析】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为×1=尺，第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，如此反复，第99次截取后，木杆剩下的长度为×1=（尺），则此木杆剩下的长度为尺．【点拨】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可．2.若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a﹣b的值为．【答案】5或﹣5．【数学思想】分类讨论．【解析】解：∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2时，b=﹣3，a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5，a=﹣2时，b=3，a﹣b=﹣2﹣3=﹣5，所以，a﹣b的值为5或﹣5．【点拨】根据有理数的乘方求出a、b，再根据异号得负判断出a、b的对应情况，然后代入代数式进行计算即可得解．探究型多维突破1.若n是正整数，则的值为.【答案】0或1．【数学思想】分类讨论．【解析】解：当n为奇数时，原式==0；当n为偶数时，原式==1，所以的值为0或1．【点拨】分类讨论：当n为奇数或n为偶数时，再根据乘方的意义计算出，然后进行有理数的加减法运算和除法运算．2.观察下列各式：…（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；（2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．【答案】3025；.【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103，=，=×100×121，=3025；（2）13+23+33+43+…+n3=．【点拨】观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的形式，右边是与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这个数大1的相邻的整数，据此规律即可求解．自助餐1.计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（）A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.2【答案】A．【解析】解：（﹣1）2014+（﹣1）2015=1﹣1=0，选A．【点拨】直接利用有理数的乘方运算法则化简求出即可．2.一张厚度为0.1mm的纸，如果将它连续对折20次，它的高度接近于（）A.一本数学课本的厚度 B.篮球架的高度C.篮球场地的周长 D.400m跑到长度【答案】C【解析】解：根据题意得：0.1×220=104857.6mm=104.8576m，则它的高度接近于篮球场地的周长，选C．【点拨】根据题意列出算式，利用乘方的意义计算即可得到结果．3.（﹣0.125）2006×82005=．【答案】0.125．【解析】解：82005×（﹣0.125）2006=82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125）=（﹣8×0.125）2005×（﹣0.125）=0.125.【点拨】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质．4.已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×…，若14+=142×（a、b均为正整数），则a+b=．【答案】209．【解析】解：由已知得出：14+=142×，b=142﹣1，a=14，∴a+b=14+142﹣1=209．【点拨】根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出a，b，进而求出a+b的值．5.化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来．（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22【答案】1；﹣3.5；1.5；﹣2.5；﹣4；﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．【解析】解：（﹣1）2016=1；+（﹣3.5）=﹣3.5；﹣（﹣1.5）=1.5；﹣|﹣2.5|=﹣2.5；﹣22=﹣4．﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．【点拨】根据有理数的乘方、相反数、绝对值化简，即可解答．6.阅读题：根据乘方的意义，可得：22×23=（2×2）×（2×2×2）=25．请你试一试，完成以下题目：（1）53×52=（）×（）=5（）；（2）a3•a4=（）•（）=a（）（3）归纳、概括：am•an=（）（）==a（）（4）如果xm=4，xn=5，运用以上的结论计算xm+n=．【答案】（1）5×5×5）×（5×5），5；（2）（a•a•a）•（a•a•a•a）