第九节 有理系数多项式

高等代数§1.9有理系数多项式第九节有理系数多项式第一章多项式

Polynomial

§1.9有理系数多项式一、本原多项式1.本原多项式的概念

任何一个有理系数多项式f(x)乘以适当的有理数r

后，可以使r

f(x)成为一个系数互素的整系数多项式.

而且多项式f(x)与rf(x)在有理数域上同时可约或同时不可约，在有理数域上同解.

因此，有理数域上多项式的可约性、因式分解及求根问题可以归结为系数互素的整系数多项式的可约性、因式分解及求根问题.§1.9有理系数多项式

定义1

若整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)是一个本原多项式.

注◆

任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r

与一个本原多项式g(x)的乘积r

g(x).◆与多项式f(x)对应的本原多项式除了差一个正负号是唯一的.§1.9有理系数多项式2.本原多项式的性质定理1(Gauss引理)

两个本原多项式的乘积还是本原多项式.证明任取两个本原多项式g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0,f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0

，考虑它们的乘积▼§1.9有理系数多项式如果h(x)不是本原多项式，那么一定存在素数p是h(x)的系数dn+m

,dn+m-1

,…,d0

的公因数，因为f(x)是本原的，所以p不会同时整除f(x)的每一个系数.令ai

是第一个不能被p

整除的系数，p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同样地，g(x)也是本原的，令bj是第一个不能被p

整除的系数，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.即§1.9有理系数多项式下面来看h(x)的系数di+j,di+j=a0bi+j+...+ai-1bj+1+aibj

+ai+1bj-1+...+ai+j

b0由上面的假设，p

整除等式左边的di+j

，p

整除右边aibj

以外的每一项，但是p

不能整除aibj

.矛盾.因此，h(x)一定也是本原多项式.证毕由多项式乘积的定义得§1.9有理系数多项式二、整系数多项式的分解定理证明略.

定理2

如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.

推论

设f

(x)，g

(x)是整系数多项式，且g

(x)是本原的.如果f

(x)=g

(x)h

(x)，其中h

(x)是有理系数多项式，那么h

(x)一定是整系数多项式.证明略.§1.9有理系数多项式三、整系数多项式的有理根的求法定理3

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中r,s

互素，那么必有s|an,r|a0.证明因为是f(x)

的一个有理根.因此从而§1.9有理系数多项式(sx-r)|f(x).因为

r,s

互素，所以sx-r是一个本原多项式.根据上述推论，可设f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0),其中bn-1,…,b0都是整数.比较两边系数，即得an

=sbn-1,a0=-rb0.因此s|an,r|a0.证毕§1.9有理系数多项式注◆

如果

f(x)的首项系数an=1，那么f(x)的有理根都是整数，而且是a0的因数.§1.9有理系数多项式例1

求多项式f(x)=3x4+5x3+x2+5x-2的有理根.解多项式f(x)的首项系数3的因数为±1、±3，常数项-2的因数为±1、±2.所以，多项式f(x)可能的有理根是用综合除法可得，-2与是f(x)的有理根.§1.9有理系数多项式例2

证明f(x)=x3-5x+1在有理数域上不可约.证明如果f(x)可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根.但是f(x)的有理根只可能是

1.直接验算可知

1都不是f(x)的根，因而f(x)在有理数域上不可约.§1.9有理系数多项式证明因为c

是f(x)的一个有理根,所以可设因为f(x)是整系数多项式，易证q(x)也是整系数多定理4

设f(x)是一个整系数多项式.如果有理数c(c≠±1)是它的一个根，那么和都是整数.f(x)=(x-c)q(x).项式.由于f(1)=(1-c)q(1)，f(-1)=(-1-c)q(-1)，§1.9有理系数多项式所以证毕例3

求多项式f(x)=2x3+7x2-5x+18的有理根.§1.9有理系数多项式解多项式f(x)的首项系数2的因数为±1、±2，常数项18的因数为±1、±2、±3、

±6、±9、±18.所以，多项式f(x)可能的有理根是因为f(1)=22≠0，f(-1)=28≠0，并且§1.9有理系数多项式都不是整数，所以f(x)的有理根只可能是3和.由综合除法知，是f(x)的有理根，是单根.§1.9有理系数多项式四、整系数多项式不可约的条件定理5(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p,使得1.p

|

an;2.p

|

an-1,an-2,…,a0;3.p2

|

a0;那么f(x)在有理数域上不可约.设▼§1.9有理系数多项式证明假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m<n,l+m=n).因此an=

bl

cm,a0=b0c0.因为p|a0,所以p能整除b0或c0.但p2|a0,所以p

不能同时整除b0及c0.因此不妨假设p|b0

§1.9有理系数多项式且p|c0.另一方面，因为p|an,所以p|bl.假设b0,b1,…,bl

中第一个不能被p

整除的是bk

.比较f(x)中xk

的系数，得等式ak=bkc0

+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,bk-1,…,b0

都能被p

整除，所以bkc0也必须能被p

整除.但是p

是一个素数，所以bk与c0中至少有一个被p

整除.矛盾.证毕§1.9有理系数多项式例4

证明多项式xn+2在有理数域上不可约.项式xn+2在有理数域上不可约.因此，多证明取p=2,则p︱1,p︱2,p2︱2.注◆

复数域上只有一次多项式才是不可约的，实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的，有理数域上存在任意次数的不可约多项式.◆有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.证毕§1.9有理系数多项式◆艾森斯坦判别法中的素数如果不存在，多项式有可能不可约.这时，可以用其他方法判别可约性,也可通过变换后使用艾森斯坦判别法.例5

证明多项式f(x)=x4+