2023-2024学年黑龙江省高一年级下册册期中数学模拟试题

2023-2024学年黑龙江省高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.在空间中，下列命题不正确的是（）

A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.且在一条直线上

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.梯形可确定一个平面

D.任意三点能确定一个平面

【正确答案】D

【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.

【详解】对于选项A,若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无

数个公共点，故选项A正确：

对于选项B,若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为

一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确；

对于选项C,因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确；

对于选项D,共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；

故选：D.

2.已知复数Z满足（2+i）z=2-4i,则Z的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【正确答案】C

【分析】计算z=-2i,确定虚部得到答案.

2-4i(2-4i)(2-i)-IQj

【详解】2+i^^(2+i)(2-i)--Γ-故虚部为-2.

故选：C

3.在,,ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c.已知“=及，b=6,e=p则角A为（）

3ππ„πC兀一3π

A.—B.—C.-D.一或i一

43444

【正确答案】C

【分析】由正弦定理即可求解.

h万、.火

【详解】由正弦定理上7=-⅛,得"nA_asin8_VSmq.亚，

smAsinBsιnzι~—%一~一耳一—"y

又a<b,所以A<3,所以A为锐角，所以A=：.

4

故选：C.

4.向量α,b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e为与W同方向的单位向量，则

C.-4.5D.-3

【正确答案】D

【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知α=(T,l),6=(-2,-1),e=(l,0),

则α+h=(-3,0),所以(α+b卜e=-3.

5.在..ABC中，角A,8,C所对的边分别为α,b,c,已知a：b:c=3:3:4,则下列结论正确的是()

UUUUUU

A.sinA:sinB:sinC=4:3:3B.CA∙CB<0

C.若c=8,则一ABC的面积是8石D.若6+c=7,则一ΛfiC外接圆半径是拽

10

【正确答案】C

【分析】根据题意，由正弦定理可判定A错误；由余弦定理求得CoSC>0,结合向量的数量积的定义,

可判定B错误；由三角形的面积公式，可判定C正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D错

误.

【详解】由题意，在./BC中，满足。为:。=3:3:4,

对于A中，由正弦定理=所以SinA:sinB:SinC=3:3:4,

sinAsinBsinC

所以A不正确；

对于B中，设..ABC三边的长分别为α=3H7,b=3m,c=4∕%,

由余弦定理得cosC=(3m⅛3nt)∖(㈣2=1>0)

2×3m×3m9

所以CA∙C8=αbcosC>0,所以B错误；

对于C中，若c=8,可得。=。=6,可得COSC=则SinC=生叵，

99

所以，ABC的面积为S=La。SinC=Lχ6x6χ生叵=8百，所以C正确；

229

对于D中，设/3C三边的长分别为。=3加力=3∕%,c=4∕x,

由6+c=7,BP3m+4m=l,可得加=1,所以c=4,

2R；C4=96

设一ΛBC外接圆的半径为R,则^sinC^4√5^5，

9

所以R=地,所以D错误.

10

故选：C.

6.已知非零向量〃，b满足(a+b)~L(。-匕)，且向量b在向量〃方向的投影向量是-;。，则向量〃与

。的夹角是()

A-B.工C.二D.至

6336

【正确答案】C

【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.

【详解】由题意,(α+⅛)∙(a-⅛)=0,则J=丁，即问=M,

设α与/7的夹角为6,则h在。方向的投影MCOS/百=-y,

17π

.∙.cos^=-—,0∈[θ,π],则9=7；

故选：C.

r3-sin50/、

7.------=()

2-cos-20

A.ɪB.—C.—D.2

222

【正确答案】D

【分析】根据降事公式及变名的诱导公式进行化简.

3-sin50_3-sin50_2(3-sin50)_2(3-sin50)_ɔ

【详解】2-COS2201+cos403-cos403-sin50∙

L-------------

2

故选：D.

8.已知函数/(x)=8SX,若存在实数2,％2,…，Z，满足0≤%ι…＜乙＜4兀,且

∣∕(xι)-∕(¾)∣+∣∕(x2)-∕(⅞)∣+∙∙∙+∣∕(⅞-∣)-∕(⅞)∣=8›n≥2,"∈N*,,则"的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】由"x)=COSX的性质，根据|/(王)-〃々)|+|/伍)-〃玉)|++|/(%)-/(匕)|=8的特点

以及题意求解.

【详解】由题意，〃要尽可能地小，则等式If(XJT(X2)∣+∣"w)-f(玉)∣++∣∕(¾-l)-∕(⅞)∣=8φ,

每一项要尽可能地大，

ʃ(x)=cos%,.∙.∣/(xπ-1)-/(x,,)∣≤2,显然∣∕(x,ι)-∕(x,,)∣=2时，”最小，

∣∕(Λ∙I)-∕(X2)∣=∣∕(X2)-∕(X3)∣=.∙=∣∕(xπ.l)-∕(x,,)∣=2,即"-1=∣=4,.∙."=5,

此时不妨取XI=O,Λ2=兀，W=2兀，Z=3π,Λ5=4π,满足题意；

故选：B.

二、多选题

9.如图，正方形A8CZ)的边长为3,点E是线段48的靠近点3的一个三等分点，若边OC上存在点

凡使得EA∙EF=∕l成立，则下列选项中符合题意的力的值有()

【正确答案】ABD

【分析】以BABC为基底，设CT=Xa)(O≤x≤l),用基底表示出E4∙EF,根据X的范围可求得彳的

范围即可.

【详解】记8A=a,8C=b,设CF=XCi>(O≤x≤l),

由题知，忖=W=3,“小=0,

又因为E4=gq,E尸=E8+8C+CF=-gα+b+xα=[t-g]α+b,

所以E4∙EF=∙∣q∙(X-；)a+Z?=6x-2,

因为O≤x≤l,所以一2≤E4∙EF≤4,即一2≤2≤4.

故选：ABD.

10.已知不是函数y=2sin(ox+VCoS"+"WHO)的一个周期，则0的取值可能为()

A.-2B.1C.ɪD.3

【正确答案】ABD

【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出。的表达式即可求解.

【详解】依题意得，

y=2sinωx-∖--cosωx+-=sin2ωx+—

I6；I6jI3)

由周期函数定义得：

f(x+π)=/(ɪ),即：sin^26υ(x+æ)+y=Sin(2GX+?)

gp：sin(2ωx+2ωπ+=sin(2ωx+

71Ji

2ωx+2ωπ+—=2s+—+2%m⅛∈Z

33

解得：ω=k,keZ

又'ω≠0

69=1或69=3,—2

故选：ABD.

11.在TIBC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c.若h=ccosA,内角A的平分线交BC于点。,

AD=],cosA=J,以下结论正确的是()

O

3C.经=LD.ZiABD的面积为迈

A.AC=-B.AB—6

2BD84

【正确答案】BCD

【分析】首先根据题意结合余弦定理可得C=],并根据二倍角公式得到COS/CA。=?,依次计算

24

AC,AB的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.

【详解】在一ABC中，

V⅛=CvosA,则…χ∕+c2-",整理得从+/=2,所以c=5，

2bc2

1ɜ

由二倍角公式得CoSNBAC=2COS2Z<CAD-I=-,解得cos/。。=

84

3

在RtZ∖AC0中，则AC=ADCOS/CAO=-,故选项A错误；

4

3

在RtAABC中，则AB=—⅛-=4=6,故选项B正确；

cosZBACɪ

8

由题意可知：^CAD=^BAD1即SinNC4D=SinNB4£),

W-CDAC-ACAD^nZCAD「「

由产-------=J---------------------------，解得累=喘=!，故选项C正确；

3ADBIJBDAC-ABADSinZBADBDAB8

22

在4A5Q中，

VCOsZBAD=^-,则sin∕B4f>=Jl-Cos=BAD=也,

44

/.5λβn=-AD-ABsinZBAD=-×↑×6×-=^-,故选项D正确•

abd2244

故选：BCD.

12.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头

部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合,

相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDE打汨，

其中Q4=2,则()

A.y∕2OB+OE+OG=0B.OAOD=-2y∣2

C.∖AH+EH∖=4D.∣A∕∕+G∕7∣=4+2√2

【正确答案】ABC

【分析】分别以“28尸所在的直线为X轴和y轴，建立的平面直角坐标系，作AMJ结合向量

的坐标运算，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，分别以"RBF所在的直线为X轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形ABCDEFGH,所以ZAOH=/HOG=NAoB=NEoF=NFOG

=ADOE=ZCOB=ZCOD==45，

8

作AMLHD,则QW=AA7,

因为。4=2,所以OM=AΛ∕=，所以A(—∖∕Σ,—JΣ),

同理可得其余各点坐标，S(0,-2),f(√2,√2),G(-√2,√2),£>(2,0),W(-2,0),

对于A中，√2C>β+OE+OG=(0+√^+(-√2),-2√2+√2+√2)=0,故A正确；

对于B中，OA∙OQ=(-√Σ)χ2+(-√Σ)χO=-2√Σ,故B正确；

对于C中，A∕7=(-2+√2,√2),=(-2-√2,-√2),AH+EH=(-4,0),

所以∣A"+E"∣=用赤斤=4,故C正确；

对于D中，A∕7=(-2+√2,√2),G∕∕=(-2+√2,-√2),AH+G”=(-4+2√Σ,0),

∖AH+GH∖=√(-4+2√2)2+02=4-2√2,故D不正确.

三、填空题

13.若复数F为纯虚数，则|2+同=__________.

1—1

【正确答案】√5

【分析】由复数除法法则化简后求得。，再由复数模的定义求解.

α+i(α+i)(l+i)a—l+(α+l)icι—1〃+l.cι—1Ia+1

【详解】~~Γ=-一———=----ɔ--------=F—+f-1为纯虚数，则工一=O且一^―*0,∙,•«=1,

1-1(l-ι)(l+ι)22222

∣2+tzi∣=∣2+i∣=√5,

故√L

14.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。，底面圆的半径为6,则圆锥的侧面积为.

【正确答案】216π

【分析】运用扇形的弧长公式以及圆锥的侧面积公式计算即可求解.

【详解】设圆锥的底面周长为c,母线长为/,则c=2τrx6=12兀，

因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°,

所以TT尸C=↑2.7?1，解得/=36，

则圆锥的侧面积为1/c==x36xl2兀=216π,

22

故答案为.216π

四、双空题

15.已知e∣,e?是单位向量，且e∣∙e2=0,设向量a=2e∣+“e?,当2=〃=1时，(α,q)=；当

2+〃=4时，卜-N的最小值为.

【正确答案】£/45。迪∕j√∑

422

【分析】求出口，根据夹角公式可得卜咫)，将表示为关于几的二次函数，求出最小值即可.

2

［详解］当丸=〃=］时，a=el+e2,p∕∣^=e,+2e1∙e2+e2^=2,即W=血，

/∖a∙e.(eι+e2Veι1∖∣2

因为α,e∣)e［0,τι］,所以(a,q)=；；

当4+χz=4时，a-ei=(Λ-l)el+μe2=(Λ-l)e1+(4-Λ)e2,

则卜_ej=(义_〔J+(4々J=2(4__I)+∣,

当X=MkLd的最小值为半，

故；,3√2

五、填空题

16.在,ABC中，若AC=2,NB=60。，NA=45。，点力为AB边上的动点，有如下结论:

①不存在点。使得ABCD为等边三角形②存在点。使得COSNCD4=g

③存在点。使得BDOC=TLG④存在点。使得CD=I

上述结论中正确的有

【正确答案】②③

【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一

一判断，即可得到结论.

【详解】若C。为边长为X的等边三角形，可得

X22√6

丁解得X=<2,

sin45sin60~S^

满足AC>CD,所以存在点。使得ABCD为等边三角形，则①不正确;

因为CoSNCDA=；<；=cos60o,且0°<NCDA<180°,

可得∕CD4>B,所以AB上存在点。，则②正确；

sin/.BCDBD

由BQ：DC=√2r√3,可得√Σ

sin60~DC

可得SinNBeO=在，即有NBC£)=45o<NBCA=75。，则③正确;

2

cnAC

若CD=I,在二ACD中可得J⅛=.：：、「，

sin45sinZADC

八点—

可得SinNAQC=X)=近>1，/4。C不存在，则④不正确.

I

故②③.

六、解答题

17.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图

所示，若被截正方体的棱长是60cm.

(1)求石凳的体积;

(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少

钱？

【正确答案】(1)180000Cm3

⑵（54+186）元

【分析】(1)计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；

(2)计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.

【详解】⑴正方体的体积为万3=216000cπ√,

石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为3()cm,

故一个小正三棱锥的体积为∣χ→3O2×3O=45∞cm∙,,

故石凳的体积为216000-4500×8=180000cm,；

(2)石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为3θJ5cm,

则石凳的表面积为6×(30√2)^+-X30√2×30√2sin60o×8=(360OG+10800)cm2,

则粉刷一个石凳需要36°°G+1°8°°X50=(54+186)元.

10000'>

222

18._AeC角A,B,C对边分别为",4c,向量机=(αcos8+bcosA必C),«=(«+⅛-c,-l),Kw1«.

⑴求角C；

(2)若一ΛBC的周长为66,且ABC外接圆半径为2,求ASC的面积.

TT

【正确答案】(I)C=I

(2)3√3

【分析】(1)运用数量积以及三角函数和差公式，正弦定理，余弦定理求解;

(2)运用正弦定理余弦定理求出而，再利用面积公式计算.

【详解】(1)由得：(αcosB+6cosA)(a2+⅛2-c2)-α⅛c=0,由余弦定理知：

a2+h2-C2=2abcosC,

.,.2abcosC^acosB+bcosA)-abc=0,a≠0,b≠0,..2cosC(acosB-ι-bcosA)-c=0,

由正弦定理得：2cosC(sinΛcosB+sinScosA)-sinC=O,即

2cosCsin(A÷B)-sinC=0,2∞sCsinC-sinC=0,

C∈(0,π),.∙.sinC≠O,∙,∙C=-；

(2)由正弦定理得一-——=2R,.,.c=2×2×^-=2>/3，即α+b=4∖∕J，

SinC2

由余弦定理得/=Ci2÷⅛2-2abcosC=cΓ+b2-ab=(a+b)2-3ab=12,

s.ab=∖2,Sabc=^absinC=3Λ∕3；

即SABC=ʒʌ/ɜ.

19.已知点A(3,0),B(0,3),C(COSX,sinx),x∈R

⑴若且x∈[0,2π],求X的值

⑵设函数/(x)=AC∙3C,求〃％)的单调递增区间.

(3)对于(2)中的函数/(x),/(α)=l-√2,α{gθ),求SinC

【正确答案】(I)X=3或手

44

Tr5元

(2)增区间为2⅛π+-,2⅛π+-(ZWZ)

/2、.5/2-4

(3)sma=——一

6

【分析】(1)求得AC=(COSR-3,SinX),BC=(cosx,sinx-3),根据模长坐标公式并化简得到tanx=l,

结合x∈[0,2π]即可求解;

(2)化简得至lJ/(x)=-3&sin(x+；)+l,4∣+2⅛π≤x+^≤y+2⅛πΛ∈Z,即可得到增区间;

⑶代入可得sin(a+：)=g,由αe(gθ)得到a+从而得到

,而Sina=Sin+利用差角正弦公式即可求解.

【详解】(1)AC=(cosX-3,sinx),BC=(cosxysinx-3),

因为IAq==Bq,所以(COSX-3)2+si∏2χ=cos2χ+(sinx-3)2,

BPcos2x-6cosx+9+sin2x=cos2x+sin2x-6sinx+9，艮IJcosx=sinx,

所以tanx=l,又xe[(),2τt],所以或弓.

(2)f(x)=ACBC=(cosx-3)cosx+sinx(sinx-3)=Cos2x-3cosx+sin2x-3sinx

=-3(sinX÷cosx)+1=-3>∕2sinx+-+1,

7Γπ3JΓ

令一+2kπ≤x+-≤-——F2kπ,kwZ,

242

解得二+2E≤x42+2⅛π,A∈Z,

44

所以〃x)的单调递增区间为2E+^,2E+自(Z∈Z).

(3)f(a)=-3∖∕2sinfa+ɪ'j+1=1->/2,即Sinla+：)=；

因为α∈b/,θ),所以a+所以cos［二

兀、.(兀、兀(兀、.兀

、兀

所dL以t1S∙Ina=S∙lnIa+———=sιna+—cos——cosa+—sin—

I44j{4J4{4j4

1√22√2√2√2-4

=—X------×--=----.

32326

20.已知函数〃X)=ASin(2x+斗>0,o>0,M<郛J部分图像如图所示.∕W=√2,/[y]=0.

⑴求f(x)的解析式;

(2)将y=∕(χ)的图像先向右平移得个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不

变)，所得到的图像对应的函数为y=g(x),若Ig(X)-N≤2对于Xeθɪ恒成立，求实数加取值范

围.

【正确答案】⑴〃x)=2sin(2x+：).

⑵me[θ,2-6]

【分析XD根据图像求出函数的周期,进而求出0,再由特殊点以及求出夕，然后由

求出4,从而得出答案;

(2)利用图像的平移伸缩变换求出y=g(χ),再根据三角函数的性质即可求解.

T37ΓitTiT2π

【详解】(1)由图像可得：5=芋一£故T=同=π,且口＞0,解得G=2,

可得/(%)=ASin(2x+0),

∙.∙∕(x)的图像过点(∣,θ),则ASin(2x3]πUQI=ASi3nπ+T=O,

84

可得Sin仁+9)=0,ππ3ππ5π

且夕e则丁凄

2,24,T

∙,∙τ+^=π＞解得Y'

可得/(x)=ASin(2x+?J,

又；f(x)的图像过点仔,问，则Asin0X+：)=Asin⅛^A=√2

解得A=2,

故〃x)=2sin(2x+：]

(2)将y="x)的图像先向右平移,个单位，得到y=2sin21一号)+：=2Sin12》一1

再将图像上的所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不变)，得到y=2sin(4x-∙^),

故g(x)=2sin(4x-1}

ʌ71_.TCTC2TT

.∙χ∈0,—,贝∣tJ4X-7∈,

4333

.,.sin^4x--j∈——,1,可得g(九)∈[―6,2],

Tr

故y=g(x)在Xe0,-上的最大值为2,最小值为-√L

因为Ig(X)r"∣M2对于Xe0,；恒成立，所以m-2≤g(x)≤m+2,可得g(x)-2≤m≤g(x)+2恒成立,

g(x)a-2≤"7≤g(x)mjn+2∕S∏等0≤"i≤2-√5'所以机w[θ,2-6].

21.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基

站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AS已知基站高A3=5()m,

该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部8的

仰角为37°,测得基站顶场A的仰角为45。.

⑴求出山高BE(结果保留一位小数)；

(2)如图，当该同学面向基站A8前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在

位置)到基站AB所在直线的距离MO=Am,且记在M处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端

A的仰角为夕.试问当X多大时，观测基站的视角NAMB最大？

参考数据：sin8o≈0.14,sin37o≈0.6,sin45o≈0.7,sinl27o≈0.8.

【正确答案】(l)151.5m

(2)X=10()Gm

【分析】(1)在ABC中，利用正弦定理求出8C,再在RIBcD中，求出BZ)即可；

TT

(2)易得0<N4WB=/?-a<5，分别在在Rt和在Rtz∖AWL>中，求出tanα,tan/7,再根据两

角和的正切公式结合基本不等式求出tanNAMB取得最大值时，X的值，再根据正切函数的单调性即

可得解.

【详解】(1)由题意可知，NBCQ=37。,NAC£>=45。,NACB=8。,A=45。,

在58C中’—2^=—

所以BC=吧2'250'

0.14

在RtBCz)中，BD=BC-sinZBCD≈250×0.6=150,

所以出山高庞;=150+L5=15L5m;

(2)由题意知NAMo=A∕3MO=α,且0<α<夕<],

TT

则OC/一a<5,

一—BD150

在RtABMD中，tana=-----

MDX

,A…AD200

在RtZVLMD中，tanλ/=——=—

MDX

200150

tan0-tana

则tanNAMB=tan(jβ-a)=

1+tany0tana∣+200150

xx

50X50“50√3

S----,==-----

X2+300∞30000C,3000012,

v+2.Ix---------

XX

3ΩΩ∩∩

当且仅当x即X=I(X)6时，取等号,

X

所以tanZAMB取得最大值时，χ=∣()()√3,

TT

又因为°<NAMB<5,所以此时NA也最大,

所以当X=IOOGm时，NAMB最大.

22.在，48C中，内角A,B,C所对的边分别为4,h,c,请在①HCOSC=CSin8；

②(c+a)(c-α)=h(b-a)；③丁等J∙=里这三个条件中任选一个，完成下列问题.

2sιnB-sιnΛcosΛ

⑴求角C的大小；

⑵若b=2,当sin8-cos(A+［取最大值时，求..ABC外