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文档简介
2023-2024学年黑龙江省高一下册期中数学模拟试题
一、单选题
1.在空间中,下列命题不正确的是()
A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点.且在一条直线上
B.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线
C.梯形可确定一个平面
D.任意三点能确定一个平面
【正确答案】D
【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.
【详解】对于选项A,若两个平面有一个公共点,则它们有经过该公共点的一条直线,即两平面有无
数个公共点,故选项A正确:
对于选项B,若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线,否则,若存在三点共线,则问题转化为
一条直线与直线外一点,则四点共面,故选项B正确;
对于选项C,因为两条平行直线确定一个平面,所以梯形可确定一个平面,故选项C正确;
对于选项D,共线的三点不能确定一个平面,故选项D错误;
故选:D.
2.已知复数Z满足(2+i)z=2-4i,则Z的虚部为()
A.-2iB.2iC.-2D.2
【正确答案】C
【分析】计算z=-2i,确定虚部得到答案.
2-4i(2-4i)(2-i)-IQj
【详解】2+i^^(2+i)(2-i)--Γ-故虚部为-2.
故选:C
3.在,,ABC中,角A,B,C所对的边分别为mb,c.已知“=及,b=6,e=p则角A为()
3ππ„πC兀一3π
A.—B.—C.-D.一或i一
43444
【正确答案】C
【分析】由正弦定理即可求解.
h万、.火
【详解】由正弦定理上7=-⅛,得"nA_asin8_VSmq.亚,
smAsinBsιnzι~—%一~一耳一—"y
又a<b,所以A<3,所以A为锐角,所以A=:.
4
故选:C.
4.向量α,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若e为与W同方向的单位向量,则
C.-4.5D.-3
【正确答案】D
【分析】首先建系,确定向量的坐标,根据向量数量积的坐标表示求解.
【详解】如图,建立平面直角坐标系,由图可知α=(T,l),6=(-2,-1),e=(l,0),
则α+h=(-3,0),所以(α+b卜e=-3.
5.在..ABC中,角A,8,C所对的边分别为α,b,c,已知a:b:c=3:3:4,则下列结论正确的是()
UUUUUU
A.sinA:sinB:sinC=4:3:3B.CA∙CB<0
C.若c=8,则一ABC的面积是8石D.若6+c=7,则一ΛfiC外接圆半径是拽
10
【正确答案】C
【分析】根据题意,由正弦定理可判定A错误;由余弦定理求得CoSC>0,结合向量的数量积的定义,
可判定B错误;由三角形的面积公式,可判定C正确;由正弦定理求得外接圆的半径,可判定D错
误.
【详解】由题意,在./BC中,满足。为:。=3:3:4,
对于A中,由正弦定理=所以SinA:sinB:SinC=3:3:4,
sinAsinBsinC
所以A不正确;
对于B中,设..ABC三边的长分别为α=3H7,b=3m,c=4∕%,
由余弦定理得cosC=(3m⅛3nt)∖(㈣2=1>0)
2×3m×3m9
所以CA∙C8=αbcosC>0,所以B错误;
对于C中,若c=8,可得。=。=6,可得COSC=则SinC=生叵,
99
所以,ABC的面积为S=La。SinC=Lχ6x6χ生叵=8百,所以C正确;
229
对于D中,设/3C三边的长分别为。=3加力=3∕%,c=4∕x,
由6+c=7,BP3m+4m=l,可得加=1,所以c=4,
2R;C4=96
设一ΛBC外接圆的半径为R,则^sinC^4√5^5,
9
所以R=地,所以D错误.
10
故选:C.
6.已知非零向量〃,b满足(a+b)~L(。-匕),且向量b在向量〃方向的投影向量是-;。,则向量〃与
。的夹角是()
A-B.工C.二D.至
6336
【正确答案】C
【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.
【详解】由题意,(α+⅛)∙(a-⅛)=0,则J=丁,即问=M,
设α与/7的夹角为6,则h在。方向的投影MCOS/百=-y,
17π
.∙.cos^=-—,0∈[θ,π],则9=7;
故选:C.
r3-sin50/、
7.------=()
2-cos-20
A.ɪB.—C.—D.2
222
【正确答案】D
【分析】根据降事公式及变名的诱导公式进行化简.
3-sin50_3-sin50_2(3-sin50)_2(3-sin50)_ɔ
【详解】2-COS2201+cos403-cos403-sin50∙
L-------------
2
故选:D.
8.已知函数/(x)=8SX,若存在实数2,%2,…,Z,满足0≤%ι…<乙<4兀,且
∣∕(xι)-∕(¾)∣+∣∕(x2)-∕(⅞)∣+∙∙∙+∣∕(⅞-∣)-∕(⅞)∣=8›n≥2,"∈N*,,则"的最小值为()
A.4B.5C.6D.7
【正确答案】B
【分析】由"x)=COSX的性质,根据|/(王)-〃々)|+|/伍)-〃玉)|++|/(%)-/(匕)|=8的特点
以及题意求解.
【详解】由题意,〃要尽可能地小,则等式If(XJT(X2)∣+∣"w)-f(玉)∣++∣∕(¾-l)-∕(⅞)∣=8φ,
每一项要尽可能地大,
ʃ(x)=cos%,.∙.∣/(xπ-1)-/(x,,)∣≤2,显然∣∕(x,ι)-∕(x,,)∣=2时,”最小,
∣∕(Λ∙I)-∕(X2)∣=∣∕(X2)-∕(X3)∣=.∙=∣∕(xπ.l)-∕(x,,)∣=2,即"-1=∣=4,.∙."=5,
此时不妨取XI=O,Λ2=兀,W=2兀,Z=3π,Λ5=4π,满足题意;
故选:B.
二、多选题
9.如图,正方形A8CZ)的边长为3,点E是线段48的靠近点3的一个三等分点,若边OC上存在点
凡使得EA∙EF=∕l成立,则下列选项中符合题意的力的值有()
【正确答案】ABD
【分析】以BABC为基底,设CT=Xa)(O≤x≤l),用基底表示出E4∙EF,根据X的范围可求得彳的
范围即可.
【详解】记8A=a,8C=b,设CF=XCi>(O≤x≤l),
由题知,忖=W=3,“小=0,
又因为E4=gq,E尸=E8+8C+CF=-gα+b+xα=[t-g]α+b,
所以E4∙EF=∙∣q∙(X-;)a+Z?=6x-2,
因为O≤x≤l,所以一2≤E4∙EF≤4,即一2≤2≤4.
故选:ABD.
10.已知不是函数y=2sin(ox+VCoS"+"WHO)的一个周期,则0的取值可能为()
A.-2B.1C.ɪD.3
【正确答案】ABD
【分析】根据三角恒等变换公式进行化简,根据周期函数定义求出。的表达式即可求解.
【详解】依题意得,
y=2sinωx-∖--cosωx+-=sin2ωx+—
I6;I6jI3)
由周期函数定义得:
f(x+π)=/(ɪ),即:sin^26υ(x+æ)+y=Sin(2GX+?)
gp:sin(2ωx+2ωπ+=sin(2ωx+
71Ji
2ωx+2ωπ+—=2s+—+2%m⅛∈Z
33
解得:ω=k,keZ
又'ω≠0
69=1或69=3,—2
故选:ABD.
11.在TIBC中,角A,B,C所对的边分别为〃,b,c.若h=ccosA,内角A的平分线交BC于点。,
AD=],cosA=J,以下结论正确的是()
O
3C.经=LD.ZiABD的面积为迈
A.AC=-B.AB—6
2BD84
【正确答案】BCD
【分析】首先根据题意结合余弦定理可得C=],并根据二倍角公式得到COS/CA。=?,依次计算
24
AC,AB的值,根据面积公式,分析判断选项C和D.
【详解】在一ABC中,
V⅛=CvosA,则…χ∕+c2-",整理得从+/=2,所以c=5,
2bc2
1ɜ
由二倍角公式得CoSNBAC=2COS2Z<CAD-I=-,解得cos/。。=
84
3
在RtZ∖AC0中,则AC=ADCOS/CAO=-,故选项A错误;
4
3
在RtAABC中,则AB=—⅛-=4=6,故选项B正确;
cosZBACɪ
8
由题意可知:^CAD=^BAD1即SinNC4D=SinNB4£),
W-CDAC-ACAD^nZCAD「「
由产-------=J---------------------------,解得累=喘=!,故选项C正确;
3ADBIJBDAC-ABADSinZBADBDAB8
22
在4A5Q中,
VCOsZBAD=^-,则sin∕B4f>=Jl-Cos=BAD=也,
44
/.5λβn=-AD-ABsinZBAD=-×↑×6×-=^-,故选项D正确•
abd2244
故选:BCD.
12.如图甲所示,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头
部有眼,阴鱼的头部有个阳殿,表示万物都在相互转化,互相涉透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,
相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律,其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDE打汨,
其中Q4=2,则()
A.y∕2OB+OE+OG=0B.OAOD=-2y∣2
C.∖AH+EH∖=4D.∣A∕∕+G∕7∣=4+2√2
【正确答案】ABC
【分析】分别以“28尸所在的直线为X轴和y轴,建立的平面直角坐标系,作AMJ结合向量
的坐标运算,逐项判定,即可求解.
【详解】由题意,分别以"RBF所在的直线为X轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为正八边形ABCDEFGH,所以ZAOH=/HOG=NAoB=NEoF=NFOG
=ADOE=ZCOB=ZCOD==45,
8
作AMLHD,则QW=AA7,
因为。4=2,所以OM=AΛ∕=,所以A(—∖∕Σ,—JΣ),
同理可得其余各点坐标,S(0,-2),f(√2,√2),G(-√2,√2),£>(2,0),W(-2,0),
对于A中,√2C>β+OE+OG=(0+√^+(-√2),-2√2+√2+√2)=0,故A正确;
对于B中,OA∙OQ=(-√Σ)χ2+(-√Σ)χO=-2√Σ,故B正确;
对于C中,A∕7=(-2+√2,√2),=(-2-√2,-√2),AH+EH=(-4,0),
所以∣A"+E"∣=用赤斤=4,故C正确;
对于D中,A∕7=(-2+√2,√2),G∕∕=(-2+√2,-√2),AH+G”=(-4+2√Σ,0),
∖AH+GH∖=√(-4+2√2)2+02=4-2√2,故D不正确.
三、填空题
13.若复数F为纯虚数,则|2+同=__________.
1—1
【正确答案】√5
【分析】由复数除法法则化简后求得。,再由复数模的定义求解.
α+i(α+i)(l+i)a—l+(α+l)icι—1〃+l.cι—1Ia+1
【详解】~~Γ=-一———=----ɔ--------=F—+f-1为纯虚数,则工一=O且一^―*0,∙,•«=1,
1-1(l-ι)(l+ι)22222
∣2+tzi∣=∣2+i∣=√5,
故√L
14.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。,底面圆的半径为6,则圆锥的侧面积为.
【正确答案】216π
【分析】运用扇形的弧长公式以及圆锥的侧面积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面周长为c,母线长为/,则c=2τrx6=12兀,
因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°,
所以TT尸C=↑2.7?1,解得/=36,
则圆锥的侧面积为1/c==x36xl2兀=216π,
22
故答案为.216π
四、双空题
15.已知e∣,e?是单位向量,且e∣∙e2=0,设向量a=2e∣+“e?,当2=〃=1时,(α,q)=;当
2+〃=4时,卜-N的最小值为.
【正确答案】£/45。迪∕j√∑
422
【分析】求出口,根据夹角公式可得卜咫),将表示为关于几的二次函数,求出最小值即可.
2
[详解]当丸=〃=]时,a=el+e2,p∕∣^=e,+2e1∙e2+e2^=2,即W=血,
/∖a∙e.(eι+e2Veι1∖∣2
因为α,e∣)e[0,τι],所以(a,q)=;;
当4+χz=4时,a-ei=(Λ-l)el+μe2=(Λ-l)e1+(4-Λ)e2,
则卜_ej=(义_〔J+(4々J=2(4__I)+∣,
当X=MkLd的最小值为半,
故;,3√2
五、填空题
16.在,ABC中,若AC=2,NB=60。,NA=45。,点力为AB边上的动点,有如下结论:
①不存在点。使得ABCD为等边三角形②存在点。使得COSNCD4=g
③存在点。使得BDOC=TLG④存在点。使得CD=I
上述结论中正确的有
【正确答案】②③
【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系,结合正弦函数的性质,对选项一
一判断,即可得到结论.
【详解】若C。为边长为X的等边三角形,可得
X22√6
丁解得X=<2,
sin45sin60~S^
满足AC>CD,所以存在点。使得ABCD为等边三角形,则①不正确;
因为CoSNCDA=;<;=cos60o,且0°<NCDA<180°,
可得∕CD4>B,所以AB上存在点。,则②正确;
sin/.BCDBD
由BQ:DC=√2r√3,可得√Σ
sin60~DC
可得SinNBeO=在,即有NBC£)=45o<NBCA=75。,则③正确;
2
cnAC
若CD=I,在二ACD中可得J⅛=.::、「,
sin45sinZADC
八点—
可得SinNAQC=X)=近>1,/4。C不存在,则④不正确.
I
故②③.
六、解答题
17.某广场内设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,如图
所示,若被截正方体的棱长是60cm.
(1)求石凳的体积;
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷,已知每平方米造价50元,请问粉刷一个石凳需要多少
钱?
【正确答案】(1)180000Cm3
⑵(54+186)元
【分析】(1)计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积,得到答案;
(2)计算出石凳的表面积,从而求出粉刷一个石凳的钱数.
【详解】⑴正方体的体积为万3=216000cπ√,
石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积,其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为3()cm,
故一个小正三棱锥的体积为∣χ→3O2×3O=45∞cm∙,,
故石凳的体积为216000-4500×8=180000cm,;
(2)石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成,其中正方形和正三角形的边长均为3θJ5cm,
则石凳的表面积为6×(30√2)^+-X30√2×30√2sin60o×8=(360OG+10800)cm2,
则粉刷一个石凳需要36°°G+1°8°°X50=(54+186)元.
10000'>
222
18._AeC角A,B,C对边分别为",4c,向量机=(αcos8+bcosA必C),«=(«+⅛-c,-l),Kw1«.
⑴求角C;
(2)若一ΛBC的周长为66,且ABC外接圆半径为2,求ASC的面积.
TT
【正确答案】(I)C=I
(2)3√3
【分析】(1)运用数量积以及三角函数和差公式,正弦定理,余弦定理求解;
(2)运用正弦定理余弦定理求出而,再利用面积公式计算.
【详解】(1)由得:(αcosB+6cosA)(a2+⅛2-c2)-α⅛c=0,由余弦定理知:
a2+h2-C2=2abcosC,
.,.2abcosC^acosB+bcosA)-abc=0,a≠0,b≠0,..2cosC(acosB-ι-bcosA)-c=0,
由正弦定理得:2cosC(sinΛcosB+sinScosA)-sinC=O,即
2cosCsin(A÷B)-sinC=0,2∞sCsinC-sinC=0,
C∈(0,π),.∙.sinC≠O,∙,∙C=-;
(2)由正弦定理得一-——=2R,.,.c=2×2×^-=2>/3,即α+b=4∖∕J,
SinC2
由余弦定理得/=Ci2÷⅛2-2abcosC=cΓ+b2-ab=(a+b)2-3ab=12,
s.ab=∖2,Sabc=^absinC=3Λ∕3;
即SABC=ʒʌ/ɜ.
19.已知点A(3,0),B(0,3),C(COSX,sinx),x∈R
⑴若且x∈[0,2π],求X的值
⑵设函数/(x)=AC∙3C,求〃%)的单调递增区间.
(3)对于(2)中的函数/(x),/(α)=l-√2,α{gθ),求SinC
【正确答案】(I)X=3或手
44
Tr5元
(2)增区间为2⅛π+-,2⅛π+-(ZWZ)
/2、.5/2-4
(3)sma=——一
6
【分析】(1)求得AC=(COSR-3,SinX),BC=(cosx,sinx-3),根据模长坐标公式并化简得到tanx=l,
结合x∈[0,2π]即可求解;
(2)化简得至lJ/(x)=-3&sin(x+;)+l,4∣+2⅛π≤x+^≤y+2⅛πΛ∈Z,即可得到增区间;
⑶代入可得sin(a+:)=g,由αe(gθ)得到a+从而得到
,而Sina=Sin+利用差角正弦公式即可求解.
【详解】(1)AC=(cosX-3,sinx),BC=(cosxysinx-3),
因为IAq==Bq,所以(COSX-3)2+si∏2χ=cos2χ+(sinx-3)2,
BPcos2x-6cosx+9+sin2x=cos2x+sin2x-6sinx+9,艮IJcosx=sinx,
所以tanx=l,又xe[(),2τt],所以或弓.
(2)f(x)=ACBC=(cosx-3)cosx+sinx(sinx-3)=Cos2x-3cosx+sin2x-3sinx
=-3(sinX÷cosx)+1=-3>∕2sinx+-+1,
7Γπ3JΓ
令一+2kπ≤x+-≤-——F2kπ,kwZ,
242
解得二+2E≤x42+2⅛π,A∈Z,
44
所以〃x)的单调递增区间为2E+^,2E+自(Z∈Z).
(3)f(a)=-3∖∕2sinfa+ɪ'j+1=1->/2,即Sinla+:)=;
因为α∈b/,θ),所以a+所以cos[二
兀、.(兀、兀(兀、.兀
、兀
所dL以t1S∙Ina=S∙lnIa+———=sιna+—cos——cosa+—sin—
I44j{4J4{4j4
1√22√2√2√2-4
=—X------×--=----.
32326
20.已知函数〃X)=ASin(2x+斗>0,o>0,M<郛J部分图像如图所示.∕W=√2,/[y]=0.
⑴求f(x)的解析式;
(2)将y=∕(χ)的图像先向右平移得个单位,再将图像上所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不
变),所得到的图像对应的函数为y=g(x),若Ig(X)-N≤2对于Xeθɪ恒成立,求实数加取值范
围.
【正确答案】⑴〃x)=2sin(2x+:).
⑵me[θ,2-6]
【分析XD根据图像求出函数的周期,进而求出0,再由特殊点以及求出夕,然后由
求出4,从而得出答案;
(2)利用图像的平移伸缩变换求出y=g(χ),再根据三角函数的性质即可求解.
T37ΓitTiT2π
【详解】(1)由图像可得:5=芋一£故T=同=π,且口>0,解得G=2,
可得/(%)=ASin(2x+0),
∙.∙∕(x)的图像过点(∣,θ),则ASin(2x3]πUQI=ASi3nπ+T=O,
84
可得Sin仁+9)=0,ππ3ππ5π
且夕e则丁凄
2,24,T
∙,∙τ+^=π>解得Y'
可得/(x)=ASin(2x+?J,
又;f(x)的图像过点仔,问,则Asin0X+:)=Asin⅛^A=√2
解得A=2,
故〃x)=2sin(2x+:]
(2)将y="x)的图像先向右平移,个单位,得到y=2sin21一号)+:=2Sin12》一1
再将图像上的所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不变),得到y=2sin(4x-∙^),
故g(x)=2sin(4x-1}
ʌ71_.TCTC2TT
.∙χ∈0,—,贝∣tJ4X-7∈,
4333
.,.sin^4x--j∈——,1,可得g(九)∈[―6,2],
Tr
故y=g(x)在Xe0,-上的最大值为2,最小值为-√L
因为Ig(X)r"∣M2对于Xe0,;恒成立,所以m-2≤g(x)≤m+2,可得g(x)-2≤m≤g(x)+2恒成立,
g(x)a-2≤"7≤g(x)mjn+2∕S∏等0≤"i≤2-√5'所以机w[θ,2-6].
21.目前,中国已经建成全球最大的5G网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到5G基
站的身影.如图,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AS已知基站高A3=5()m,
该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部8的
仰角为37°,测得基站顶场A的仰角为45。.
⑴求出山高BE(结果保留一位小数);
(2)如图,当该同学面向基站A8前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置M处(眼睛所在
位置)到基站AB所在直线的距离MO=Am,且记在M处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端
A的仰角为夕.试问当X多大时,观测基站的视角NAMB最大?
参考数据:sin8o≈0.14,sin37o≈0.6,sin45o≈0.7,sinl27o≈0.8.
【正确答案】(l)151.5m
(2)X=10()Gm
【分析】(1)在ABC中,利用正弦定理求出8C,再在RIBcD中,求出BZ)即可;
TT
(2)易得0<N4WB=/?-a<5,分别在在Rt和在Rtz∖AWL>中,求出tanα,tan/7,再根据两
角和的正切公式结合基本不等式求出tanNAMB取得最大值时,X的值,再根据正切函数的单调性即
可得解.
【详解】(1)由题意可知,NBCQ=37。,NAC£>=45。,NACB=8。,A=45。,
在58C中’—2^=—
所以BC=吧2'250'
0.14
在RtBCz)中,BD=BC-sinZBCD≈250×0.6=150,
所以出山高庞;=150+L5=15L5m;
(2)由题意知NAMo=A∕3MO=α,且0<α<夕<],
TT
则OC/一a<5,
一—BD150
在RtABMD中,tana=-----
MDX
,A…AD200
在RtZVLMD中,tanλ/=——=—
MDX
200150
tan0-tana
则tanNAMB=tan(jβ-a)=
1+tany0tana∣+200150
xx
50X50“50√3
S----,==-----
X2+300∞30000C,3000012,
v+2.Ix---------
XX
3ΩΩ∩∩
当且仅当x即X=I(X)6时,取等号,
X
所以tanZAMB取得最大值时,χ=∣()()√3,
TT
又因为°<NAMB<5,所以此时NA也最大,
所以当X=IOOGm时,NAMB最大.
22.在,48C中,内角A,B,C所对的边分别为4,h,c,请在①HCOSC=CSin8;
②(c+a)(c-α)=h(b-a);③丁等J∙=里这三个条件中任选一个,完成下列问题.
2sιnB-sιnΛcosΛ
⑴求角C的大小;
⑵若b=2,当sin8-cos(A+[取最大值时,求..ABC外
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