2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类专题02 新知识学习型新定义问题之求函数的特殊点（原卷版）

专题02新知识学习型&新定义问题之求函数的特殊点（原卷版）通用的解题思路：先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个字，就是：先翻译、再联立。①联立之后若得到含参数的一元一次方程ax=b②联立之后若得到含参数的一元二次方程，首选十字相乘，其次韦达定理，最次公式法。1.（中考真题）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．

2．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．3.（中考真题）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．（1）当m＝0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

4.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（-2（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数5．（青竹湖）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．（1）①判断：函数y＝2x+3“青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图象上的青一点是；（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．

6．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为；②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为．（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和+＝﹣1且求k的值；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．7．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．①y＝2x﹣1；②y＝x2−1；③y＝x2+4．（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．

8．（麓山国际）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）．（1）直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝上的“麓点”是；（2）若抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；（3）若函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．

9．（中雅）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2，则称点P为函数图象上“梦幻点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．（1）求直线上的“梦幻点”的坐标；（2）已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．（3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．

10.（2022•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=（1）在①（﹣2，-1