四川省遂宁市大安中学高二数学理上学期摸底试题含解析

四川省遂宁市大安中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的公差d≠0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】根据等差数列的通项公式表示出ak与a2k+1，由ak是a1与a2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：由a1=2d，得到ak=2d+（k﹣1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，又ak是a1与a2k+1的等比中项，所以[（k+1）d]2=2d[（2k+2）d]，化简得：（k+1）2d2=4（k+1）d2，由d≠0，得到：（k+1）2=4（k+1），即k2﹣2k﹣3=0，k为正整数，解得：k=3，k=﹣1（舍去），则k的值为3．故选：B．2.已知角的终边与单位圆相交于点，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】三角函数的定义【答案解析】D解析：解：，所以选D.【思路点拨】一般知道角的终边位置求角的三角函数值，可用定义法解答.3.一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（A）圆

（B）椭圆

（C）双曲线的一支

（D）抛物线参考答案：C略4.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．30π B．48π C．66π D．78π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体的表面积为=78π．故选：D．5.下列叙述错误的是（

）

A．若事件发生的概率为，则

B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

C．两个对立事件的概率之和为1

D．对于任意两个事件A和B，都有参考答案：D6.已知函数f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），则（）A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），∴f′（x）=xex﹣1﹣1，x＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极小值=f（1）=0，故选：D．7.设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜参考答案：C【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】利用微积分基本定理就看得出a=ln2，b=ln3，c=ln5．再利用幂函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵，∴=ln2，=ln3，c==ln5．∵，，，∴，∴，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴．∴．故选C．8.若满足，则与满足()A.

B.为常数C.=0

D.为常数参考答案：B略9.∣x-2|≥0的解集为（

）

A．{x|－2≤x≤2}

B．{x|x＜－2或x≥2}

C．{x|x∈R且x≠2}

D．R参考答案：D略10.在等差数列中，若，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题p：，则是______.参考答案：

12.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由an=Sn﹣Sn﹣1求解．【解答】解：由Sn=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，．所以．故答案为．【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由前n项和求通项，注意分类讨论，是基础题．13.已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是

.参考答案：14.不等式x(|x|-1)(x+2)<0的解集为。参考答案：（-2，-1）∪（0，1）

解析：x(|x|-1)(x+2)<0

0<x<1或-2<x<-1∴原不等式解集为（-2，-1）∪（0，1）15.设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是。

参考答案：16.两圆和的公共弦所在直线方程为

；参考答案：17.若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是．参考答案：（3，6）【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，画出可行域，如图所示，目标函数z=2+，表示2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合求得的范围，可得z的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，∴，即，画出可行域，如图所示：表示△ABC的内部区域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目标函数z=2+，即2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合可得，的最小值趋于KAM==1，的最大值趋于KBM==4，故z的最小值趋于2+1=3，最大值趋于2+4=6，故答案为（3，6）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，斜率公式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）给定正数，且，设，．（１）比较的大小；（２）由（１）猜想数列的单调性，并给出证明．参考答案：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得=a1＝，当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1，又S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝.当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝.即当n＝k＋1时结论成立．由①②知Sn＝对任意的正整数n都成立．19.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间与极值．参考答案：(1)(2)在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数．极小值f(5)＝－ln5.无极大值．试题分析：（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线可得，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得．（2）由（1）知，则，令，解得或．因为不在的定义域内，故舍去．当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数．由此知函数在时取得极小值，．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值20.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．21.已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0，构造函数设，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．【解答】解：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值为，a＞0．要证明，只须证明成立．

设，x∈（0，+∞）．

则，∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

设ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．22.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，