山东省日照市东港区后村中心中学高二数学理月考试题含解析

山东省日照市东港区后村中心中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列积分中①dx；②；③；④，积分值等于1的个数是()．A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A.3

B.－2

C.1 D.参考答案：A略3.，则等于（）A．1 B．－1 C．51 D．52参考答案：A略4.若双曲线的一条渐近线为，则实数m=（）A. B.2 C.4 D.参考答案：C【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．【详解】双曲线中，，令，得，所以；又双曲线的一条渐近线为，则，解得，所以实数．故选：C．【点睛】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．5.函数的最小正周期为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.若函数在(－∞,0)上是增函数，则实数k的最大值是(

)A. B.－1 C. D.1参考答案：A【分析】利用分离求解即可【详解】在恒成立又，故即，则实数的最大值是故选：A【点睛】本题考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和三角函数值域，属于中档题．

7.正方体中，异面直线与所成角的正弦值为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.△ABC中，a2：b2=tanA：tanB，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知a2：b2=tanA：tanB，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断【解答】解：∵a2：b2=tanA：tanB，由正弦定理可得，==∵sinAsinB≠0∴∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选D9.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为(

)A．60° B．90° C．75° D．105°参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线及其所成的角．【专题】平面向量及应用；空间位置关系与距离．【分析】把问题转化为向量的夹角，由数量积为0可得结论．【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，?=（）?（）=+++=0+cos60°﹣12+0=0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B【点评】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键，属中档题．10.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γα⊥β；②α⊥γ,β∥γα⊥β；③l∥α,l⊥βα⊥β．其中正确的命题有A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，且，则

．参考答案：－612.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为______参考答案：5913.平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹图形是_____________参考答案：一条直线14.二项式展开式中的常数项为______．参考答案：60【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】解：的展开式的通项公式为，令，求得，所以展开式中常数项为．故答案：60．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a的取值范围为__________．参考答案：该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱锥得到，．16.直线被圆截得的弦长等于

▲

.参考答案：17.若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有

种（以数字作答）.参考答案：359三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值.参考答案：解法一：（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C前方程为.(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1.……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有

n(x0-1)-(m-1)y0=0,……②n(x0-4)+(m-4)y0=0,……③由②，③得x0=.

所以点M恒在椭圆G上.(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=|y1-y2|=令3t2+4=λ(λ≥4),则|y1-y2|＝因为λ≥4，0<|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN=解法二：（Ⅰ）问解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),

……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,

……②n(x-4)-(m-4)y=0,

……③由②，③得：当≠.

……④由④代入①，得=1（y≠0）.当x=时，由②，③得：解得与a≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.19.（本小题满分12分）已知向量，，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.参考答案：(1)，

4分

的最小正周期为.

6分(2)，，，

8分，，，， 10分

.

12分20.(本小题满分12分）已知函数在处取得极大值为9.（I）求a，b的值；（II）求函数f(x)在区间[－3,3]上的最值参考答案：解：（I）

………………2分依题意得，

………………4分即，解得

………………6分（II）由（I）得令，得；令，得

……………8分，，，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.

………………12分

21.已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而??又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22.(本小题共12分)把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为.（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.参考答案：解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----1分.则

.

-------------------------3分函数的定义域为.

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