河南省南阳市卧龙区2023-2024学年数学九年级第一学期期末复习检测试题含解析

河南省南阳市卧龙区2023-2024学年数学九年级第一学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在中，，为上一点，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，同时点由点出发，沿方向以的速度匀速运动，设运动时间为，连接交于点，若，则的值为()A．1 B．2 C．3 D．42．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（）A． B． C． D．3．如图，小江同学把三角尺含有角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（）A． B． C． D．4．在正方形网格中，如图放置，则（）A． B． C． D．5．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产并进行治污改造，其月利润(万元)与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）A．4月份的利润为万元B．污改造完成后每月利润比前一个月增加万元C．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元D．9月份该厂利润达到万元6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（）A． B． C． D．7．方程x2-2x=0的根是（）A．x1=x2=0B．x1=x2=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-28．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（）A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移C．平移和旋转 D．旋转和轴对称9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，BC=2，则sin∠A的值为（）A． B． C． D．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A．点B B．点D C．点E D．点A二、填空题(每小题3分,共24分)11．某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．12．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是_____．13．如图，在中，，分别是，上的点，平分，交于点，交于点，若，且，则_______．14．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是_____．15．因式分解：______.16．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm1．17．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB的度数是______度．18．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：（1）请直接写出_______，_______，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度．（2）请补全上面的频数分布直方图．（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？20．（6分）在中，，，以点为圆心、为半径作圆，设点为⊙上一点，线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接、．（1）在图中，补全图形，并证明.（2）连接，若与⊙相切，则的度数为.（3）连接，则的最小值为；的最大值为.21．（6分）解方程：(1)(2)22．（8分）如图，在中，平分交于点，于点，交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，，，求的长．23．（8分）如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.（1）求证：（2）求证：24．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与X轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．（1）填空：m＝，n＝．（2）求一次函数的解析式和△AOB的面积．（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b≥（请直接写出答案）．25．（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．26．（10分）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.(1)若A，E，O三点共线，求CF的长；(2)求△CDF的面积的最小值.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF=10-2-t=8-t，证明△DFG∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．【详解】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，

∵DF∥CH，

∴△DFG∽△HCG，∴，∴CH=2DF=16-2t，

同理△ADE∽△CHE，∴，∴，解得t=2，t=（舍去）．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2、D【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．【详解】A．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键．3、B【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，∵孔洞的最长边为∴S==故选B.【点睛】此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.4、B【分析】依据正切函数的定义：正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值叫做正切．由中，，求解可得．【详解】解：在中，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握正切函数的定义．5、C【分析】首先设反比例函数和一次函数的解析式，根据图像信息，即可得出解析式，然后即可判断正误.【详解】设反比例函数解析式为根据题意，图像过点（1,200），则可得出当时，，即4月份的利润为万元，A选项正确；设一次函数解析式为根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）则有解得∴一次函数解析式为，其斜率为30，即污改造完成后每月利润比前一个月增加万元，B选项正确；治污改造完成前后，1-6月份的利润分别为200万元、100万元、万元、50万元、110万元，共有3个月的利润低于万元，C选项错误；9月份的利润为万元，D选项正确；故答案为C.【点睛】此题主要考查一次函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.6、D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．7、C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.8、D【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．故选：D．【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．9、C【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再求sin∠A的大小．【详解】解：∵在Rt△ABC中，，BC=2∴AB=∴sin∠A=故选：C．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．10、D【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．【详解】如图，连接CE，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝=3，∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴CD＝AC=2，CE＝AB=，∵⊙C的半径为3，BC=3，，，∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，故选：D．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．二、填空题(每小题3分,共24分)11、10%【解析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.12、＜a或﹣5＜a＜﹣1．【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x轴的交点坐标，可知交点坐标是由a表示的，再根据题中给出的交点横坐标的取值范围可以求出a的取值范围．【详解】解：∵y＝ax1+（a1﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴当y＝0时，x＝﹣a或x＝，∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），由题意函数与x轴的一个交点坐标为（m，0）且1＜m＜5，∴当a＞0时，1＜＜5，即＜a；当a＜0时，1＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜﹣1；故答案为＜a或﹣5＜a＜﹣1．【点睛】本题综合考查二次函数图象与与x轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键．13、3：1【分析】根据题意利用相似三角形的性质即相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题.【详解】解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，∴（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），AG：FG=3：2，∴AG：AF=3：1，∴DE：BC=3：1，故答为3：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，难度一般．14、a＜1【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．【详解】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜1．故答案为：a＜1．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．15、【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.【详解】解：故答案为：.【点睛】此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的结合是解决此题的关键.16、【解析】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．17、1【分析】根据题意易得∠AOB=70°，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．【详解】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°，∴；故答案为1．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．18、或【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由线段垂直平分线的性质得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行线的性质得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，则∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再证出FN＝EN＝3，即可得出结果；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，则∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，证出FG∥EN，则∠G＝∠GEN，证出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折叠的性质得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，证出∠NEF＝∠NFE，则FN＝EN＝3，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，∴AH＝DH，∴CA＝CD＝AB＝6，∴∠ACB＝∠B＝30°，∵FG∥AC，∴∠BFG＝∠ACB＝30°，∵点E是AB边的中点，∴BE＝3，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN+FN＝3+3；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）25，20，126；（2）见解析；（2）60万人．【分析】（1）用抽样人数－第1组人数－第3组人数－第4组人数－第5组人数，可得a的值，用第4组的人数÷抽样人数×100%可以求得m的值，用360°×第3组人数在抽样中所占的比例可得第3组在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）用市民人数×第4组(40～50岁年龄段)的人数在抽样中所占的比例可以计算出40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．【详解】（1）a=100﹣5﹣35﹣20﹣15=25，m%=(20÷100)×100%=20%，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°126°．故答案为：25，20，126；（2）由（1）知，20≤x＜30有25人，补全的频数分布直方图如图所示；（3）30060(万人)．答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20、（1）证明见解析；（2）或；（3）【分析】（1）根据题意，作出图像，然后利用SAS证明，即可得到结论；（2）根据题意，由与⊙相切，得到∠BMN=90°，结合点M的位置，即可求出的度数；（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，分别求出BN的值，即可得到答案.【详解】解：（1）如图，补全图形，证明：，∵，，；（2）根据题意，连接MN，∵与⊙相切，∴∠BMN=90°，∵△MNC是等腰直角三角形，∴∠CMN=45°，如上图所示，∠BMC=；如上图所示，∠BMC=；综合上述，的度数为：或；故答案为：或；（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；如图所示，∵AN=BM=1，∵，∴；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，如图所示，由AN=BN=1，∴BN=BA+AN=2+1=3；∴的最小值为1；的最大值为3；故答案为：1，3.【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的旋转模型，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的动点问题，注意利用数形结合和分类讨论的思想进行解题.21、(1)，；(2)，.【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可.【详解】解：(1)原方程可化为，移项得，分解因式得，于是得，或，，；(2)原方程化简得，，∴，，.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.22、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，证明与平行且相等，可得四边形是平行四边形，再说明，于是得出结论；（2）过点作于点，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：平分，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形．（2）解：，，，，，，．过点作于点，，，是等边三角形，，，四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形，，在中，，，，．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．23、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质可得AM=AN，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．在△ACD和△AEB中，∵，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，∴CD•AM=BE•AN，∴AM=AN，∴AF是∠DFE的平分线，∴∠DFA=∠AFE．∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，∴∠DFB=∠DAG=60°，∴∠GFE=120°，∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．∵∠DFB=60°，∴△DFK为等边三角形，∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，∴∠K=∠DFA=60°．∵∠ADB=60°，∴∠KDB=∠FDA．在△DBK和△DAF中，∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，∴△DBK≌△DAF，∴BK=AF．∵DF=DK=FK=BK+BF，∴DF=AF+BF，又∵CD=DF+CF，∴CD=AF+BF+CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．24、(1)﹣3，1；(2)y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.【分析】（1）已知反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n∴n=1故答案为﹣3，1（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）∴解得：∴解析式y=x+4∵一次函数图象与x轴交点为C∴0=x+4∴x=﹣4∴C（﹣4，0）∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4（3）∵kx+b≥∴一次函数图象在反比例函数图象上方∴﹣3≤x≤﹣1故答案为﹣3≤x≤﹣1【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．25、（1）；（2）存在，理由见解析；D(－4