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文档简介
河南省平顶山市、许昌市、汝州2023-2024学年高三一诊考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.2.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.333.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()A.12个月的PMI值不低于50%的频率为B.12个月的PMI值的平均值低于50%C.12个月的PMI值的众数为49.4%D.12个月的PMI值的中位数为50.3%4.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.5.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()A.18种 B.36种 C.54种 D.72种6.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b7.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.48.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.39.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.610.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要11.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为()A.5 B.3 C. D.212.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知的展开式中含有的项的系数是,则展开式中各项系数和为______.14.(5分)已知,且,则的值是____________.15.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.16.设,满足约束条件,若的最大值是10,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.18.(12分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.19.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,角为锐角,的面积为.(1)求角的大小;(2)求的值.20.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0021.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.22.(10分)已知(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.2、C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.3、D【解析】
根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.4、B【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.5、B【解析】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇,则不同的分配方案有种.故选:.【点睛】本题考查排列组合,属于基础题.6、B【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值,得到幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,再利用幂函数f(x)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知,m﹣1=1,∴m=2,∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故选:B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质,以及利用函数的单调性比较函数值大小,属于中档题.7、D【解析】可以是共4个,选D.8、A【解析】,故,故选A.9、C【解析】
方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.10、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。11、D【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解:由抛物线方程可知,,即,.设则,即,所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.12、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由二项式定理及展开式通项公式得:,解得,令得:展开式中各项系数和,得解.【详解】解:由的展开式的通项,令,得含有的项的系数是,解得,令得:展开式中各项系数和为,故答案为:1.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式,属于中档题.14、【解析】
由于,且,则,得,则.15、【解析】
利用余弦定理计算,然后根据平方关系以及三角形面积公式,可得结果.【详解】设由题可知:由,,,所以化简可得:则或,即或由,所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,仔细观察,细心计算,属基础题.16、【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示:目标函数可转化为与直线平行,数形结合可知当且仅当目标函数过点,取得最大值,故可得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.18、(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】
(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的,都有恒成立,构造函数,通过求导判断它的单调性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,则,即,两边同除以得,,即,从而,两边取对数,然后再证明恒成立即可,构造函数,,通过求导证明即可.【详解】解:(Ⅰ)的定义域为,.由是减函数得,对任意的,都有恒成立.设.∵,由知,∴当时,;当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴在时取得最大值.又∵,∴对任意的,恒成立,即的最大值为.∴,解得.(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,∴,即.两边同除以得,,即.从而,所以①.下面证;记,.∴,∵在上单调递增,∴在上单调递减,而,∴当时,恒成立,∴在上单调递减,即时,,∴当时,.∵,∴当时,,即②.综上①②可得,.【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系,考查了函数的最值,考查了构造函数的能力,考查了逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.,19、(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值,进而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.详解:(1)∵,∴,∵为锐角,∴;(2)由余弦定理得:.点睛:本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.20、(1),,,;(2)【解析】
(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)令,求导,可知单调递增,且,,因而在上存在零点,在此取得最小值,再证最小值大于零即可.(2)根据题意得到在点处的切线的方程①,再设直线与相切于点,有,即,再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得,即,根据,转化为,,令,转化为要使得在上存在零点,则只需,求解.【详解】(1)证明:设,则,单调递增,且,,因而在上存在零点,且在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为.所以,即.(2),故,故切线的方程为①设直线与相切于点,注意到,从而切线斜率为,因此,而,从而直线的方程也为②由①②可知,故,由为正整数可知,,所以,,令,则,当时,为单调递增函数,且,从而在上无零点;当时,要使得在上存在零点,则只需,,因为为单调递增函数,,所以;因为为单调递增函数,且,因此;因为为整数,且,所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.22、(1)(2)函数有两个零点和【解析】试题分析:(1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化
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