一数学《函数奇偶性》教案

第三节函数奇偶性〔高一秋季班组第五次课10.05〕教学目标了解奇偶函数的概念，会推断函数奇偶性；奇偶性的应用奇偶性及单调性综合教学内容：一般地，假如对于函数的定义域内随意一个，都有，则函数就叫做偶函数。奇函数：一般地，假如对于函数的定义域内随意一个，都有，则函数就叫做奇函数。奇偶性：假如函数是奇函数或偶函数，则就说明函数具有奇偶性。正确理解函数奇偶性的定义：定义是推断或探讨函数奇偶性的依据，由定义知，假设是定义域中的一个数值，则-也必定在定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域假设不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。无奇偶性函数是非奇非偶函数；假设一个函数同时满意奇函数及偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。两个奇偶函数四则运算的性质：①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数及一个偶函数的积是奇函数。例1.判别以下函数的奇偶性：f(x)＝|x＋1|+|x－1|;f(x)＝;f(x)＝x＋;f(x)＝;f(x)＝x,x∈[-2,3]思索：f(x)=0的奇偶性？练习1.推断以下函数的奇偶性．f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx>0，,x2＋xx<0.))2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点(C)A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(eq\f(1,a)))解析∵f(－a)＝－f(a)，即当x＝－a时，函数值y＝－f(a)，∴必过点(－a，－f(a))．3．f(x)为奇函数，则f(x)－x为(A)A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析令g(x)＝f(x)－x，g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)．4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则以下结论恒成立的是(A)A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．5.设f(x)＝ax＋bx＋5，f(－7)＝－17,求f(7)的值。6.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。7．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，则f(x)＝________，g(x)＝________.答案eq\f(1,x2－1)，eq\f(x,x2－1)解析∵f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①∴f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1).又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1).②①＋②，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)，①－②，得g(x)＝eq\f(x,x2－1.)8.函数f(x)，对随意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。9.f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，则f(x)在[-7，-3]上是函数，且最值是。10.函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。11.设函数为奇函数，则．12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.答案13．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________.答案－5解析由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.∴f(－2)＝－5.2.奇函数、偶函数的图像的性质：假如一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形〔奇函数的图像不肯定过原点〕；反之，假如一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。由于奇函数的图像关于原点对称，则我们可以得出结论：假如奇函数的定义域为R时，则必有。假如一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，假如一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。f(x)＝f(|x|)例2.是偶函数，图像及轴有四个交点，则方程全部实根之和是〔〕〔A〕4 〔B〕2 〔C〕1 〔D〕0是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔－2，2〕在上为增函数，且，则不等式的解集为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________________．在上为减函数，且函数为偶函数，则〔〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5.下面四个结论：①偶函数的图像肯定及y轴相交；②奇函数的图像肯定通过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数肯定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是(a)A．1B．2C．3D．43.函数的奇偶性及单调性之间的关系：一般地，假设为奇函数，则在和上具有一样的单调性；假设为偶函数，则在和上具有相反的单调性。假设奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上增函数，且有最小值-M.例3.定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，假设，求实数的取值范围。练习1．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，假设f(1－m)<f(m)．求实数m的取值范围．答案m∈[－1，eq\f(1,2))解析∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)<f(m)可化为f(|1－m|)<f(|m|)，又f(x)在[0,2]上是减函数，∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<eq\f(1,2)，又f(x)定义域为[－2,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，))解之得－1≤m≤2，综上得m∈[－1，eq\f(1,2))．2,设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，假设f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(m)>f(1－m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，,m<1－m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2，,－1≤m≤3，,m<\f(1,2).))∴－1≤m<eq\f(1,2).3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，假设x1<0，且x1＋x2>0，则(A)A．f(x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)及f(x2)大小不定4..假设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(c)A．f(－1)<f(－1.5)<f(2)B．f(－1.5)<f(－1)<f(2)C．f(2)<f(－1.5)<f(－1)D．f(2)<f(－1)<f(－1.5)5．假设函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有(B)A．f(－1)<f(－2)B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(－2) D．不确定6．f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则以下各式中肯定成立的是(A)A．f(－1)<f(3)B．f(0)<f(5)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)解析∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．7．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)则大小依次是(a)A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(－π)<f(3)<f(－2)D．f(－π)<f(－2)<f(3)解析∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)<f(3)<f(－π)，∴f(－2)<f(3)<f(－π)．8．假设奇函数f(x)当1≤x≤4时的关系式是f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最大值是(D)A．5B．－5C．－2 D．－1解析当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，∵1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5.∴f(－x)＝x2＋4x＋5，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1,当x＝－2时，取最大值－1.9．假设奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(