2024届开学摸底考试数学试卷

2024届高三开学摸底卷

时间：120分钟总分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={x∣χ2-χ<θ},N={x∣x>l},则()

A.MaNB.NqMC.MN=RD.MCN=0

2.已知z=，~^7，则Z-W=()

2÷2ι

A.-iB.iC.OD.1

3.已知向量α=(l,1)/=(1,7),若(α+4A),(α+W),则()

A.2+∕z=lB.4+〃=-1

C.λμ=∖D.λμ=-∖

4.已知函数f(x)=k)g2[x(α-x)]在区间(0,1)上单调递增，则〃的取值范围是()

A.(-∞,-2]B.[—2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)

5.从圆f-2x+y2-2y+l=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余

弦值为()

A.ɪ-B.-C.BD.6

252

2

6.若数列｛为｝满足攀=P(P为常数，〃eN,n≥∖∖则称｛%｝为“等方比数列甲：

数列｛%｝是等方比数列；乙：数列｛%｝是等比数列，则().

A.甲是乙的充分非必要条件B.甲是乙的必要非充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既非充分也非必要条件

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7.设椭圆C：5+*=l(">%>0)的左、右顶点为A、4,左、右焦点为《、尸2,上、

下顶点为用、B2,关于该椭圆，有下列四个命题：

甲：∣A4∣=1;乙：离心率为g；丙：∣4G∣=4;T：四边形ABiKB2的面积为3√L

如果只有一个假命题，则该命题是()

A.甲B.乙C.丙D.T

tanaIC

8.已知α∕∈(0,π),sin(a-∕7)=-,丽=-"贝小?=()

6

D.H

A.-πB.兀C.-π

666

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得2分.

9.有一组样本数据%,々，…，％，其中4是最小值，X6是最大值，则()

A.x2,x3,x4.⅞的平均数等于%，％，…，%的平均数

B.x2,Λ3,x4,x5的中位数等于X,当,…,*6的中位数

C.%，0七，*5的标准差不小于Χ，，…，*6的标准差

D.x2,x3,x4.¾的极差不大于x∣,%,…，毛的极差

10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级

的计算公式为M=Ig与(其中常数4是距震中100公里处接收到的0级地震的地震

波的最大振幅，AMX是指我们关注的这次地震在距震中io。公里处接收到的地震波的最

大振幅).地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能

量.已知E=10"X1()3"，其中M为地震震级.下列说法正确的是().

A.若地震震级M增加1级，则最大振幅Aw增加到原来的10倍

B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍

c.若最大振幅An”增加到原来的io倍，则放出的能量E也增加到原来的IoJnJ倍

D.若最大振幅4m增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的IOoO倍

11.已知连续函数“X)的定义域为R，且满足/(x+2)为奇函数，/(X+1)为偶函数，

/(1)=2,当Xe(0,1)时，/^x)>0,则()

A./(x)为偶函数B./(3)=-2

C.x=l为/(x)极大值点D∙Al)+∕(2)+∕(3)++/(50)=-2

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽

略不计)内的有()

A.体积为Jn?的球体

B.所有棱长均为1.4Im的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为lm,侧面积为叵π√的圆锥体

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同

学选修，则不同的选课方案有()

A.96种B.84种C.78种D.16种

14.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为2的球面上，上、下底面正方形

的外接圆半径分别为1和2,则此正四棱台的体积为.

15.将函数/(x)=COS5®>0)的图象向右平移S个单位长度后得到函数g(x)的图如

若函数F(X)=/(x>g(x)-/在xe[0,2句上有且只有3个零点，则。的取值范围

是.

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16.已知双曲线C:£-g=l(a>(U>())的左、右焦点分别为6,工.点A在C上，点B在

2

y轴上，F,ALFxB,F2A=--F2B,则C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤

17.已知JlBC中，-<cosA.

D

(I)求证：B是钝角：

(II)若48C同时满足下列四个条件中的三个：

①SinA=也；②a=2;③c=0;④SinC=

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请指出这三个条件，说明理由，并求出力的值.

18.已知函数/(x)=α(x+l)e∙i-g(x+2)2(。>0,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数/U)的单调性；

I3

(2)若/(x-l)≥lnx-∕χ2j在χe(0,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

19.如图，直三棱柱ABC-AgG中，底面是边长为2的等边三角形，。为棱AC上一

点，做〃平面BQG.

(1)求证：。为AC中点;

(2)若二面角片-BG-Z)的大小为三，求CC,.

2

20.设等差数列｛叫的公差为d,且d>l.令〃=与Y，记S,,(分别为数列｛叫,也｝

的前〃项和.

⑴若3a2=3at+a3,S,+T3=2∖,求也｝的通项公式；

(2)若也｝为等差数列，且S99-399,求d.

21.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚

筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.

由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

⑶若月(i=(),l,,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则6=0,《=1.

证明：｛舄-用(i=0,12,5)为等比数列.

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22.在平面直角坐标，直线/：