2021年高等数学基础形成性考核册及答案

高等数学基本第一次作业第1章函数第2章极限与持续（一）单项选取题⒈下列各函数对中，（C）中两个函数相等．A.，B.，C.，D.，⒉设函数定义域为，则函数图形关于（C）对称．A.坐标原点B.轴C.轴D.⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.B.C.D.⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.B.C.D.⒌下列极限存计算不对的是（D）．A.B.C.D.⒍当时，变量（C）是无穷小量．A.B.C.D.⒎若函数在点满足（A），则在点持续。A.B.在点某个邻域内有定义C.D.（二）填空题⒈函数定义域是（3，+∞)．⒉已知函数，则x2-x．⒊e1/2．⒋若函数，在处持续，则e．⒌函数间断点是x=0．⒍若，则当时，称为无穷小量．（三）计算题⒈设函数求：．解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e⒉求函数定义域．解：由解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞)⒊在半径为半圆内内接一梯形，梯形一种底边与半圆直径重叠，另一底边两个端点在半圆上，试将梯形面积表达到其高函数．解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中∴⒋求⒌求 ⒍求⒎求．⒏求⒐求⒑设函数讨论持续性，并写出其持续区间．解：∴函数在x=1处持续不存在，∴函数在x=-1处不持续高等数学基本第二次作业第3章导数与微分（一）单项选取题⒈设且极限存在，则（B）．A.B.C.D.⒉设在可导，则（D）．A.B.C.D.⒊设，则（A）．A.B.C.D.⒋设，则（D）．A.B.C.D.⒌下列结论中对的是（C）．A.若在点有极限，则在点可导．B.若在点持续，则在点可导．C.若在点可导，则在点有极限．D.若在点有极限，则在点持续．（二）填空题⒈设函数，则0．⒉设，则(2/x)lnx+5/x．⒊曲线在处切线斜率是1/2．⒋曲线在处切线方程是y=1．⒌设，则2x2x(lnx+1)．⒍设，则1/x．（三）计算题⒈求下列函数导数：⑴y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex=(3/2x1/2+x3/2+3)ex⑵y＇=-csc2x+2xlnx+x⑶y＇=(2xlnx-x)/ln2x⑷y＇=[(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)]/x6⑸=⑹y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x⑺y＇=[(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3]/32x=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x⑻y＇=extanx+exsec2x+1/x=ex(tanx+sec2x)+1/x⒉求下列函数导数：⑴⑵⑶y=x7/8y＇=(7/8)x-1/8⑷⑸⑹⑺y＇=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx⑻⑼⑽⑾⒊在下列方程中，是由方程拟定函数，求：⑴方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2y＇e2yy＇=ysinx/(cosx-2e2y)⑵方程对x求导：y＇=y＇(-siny)lnx+(1/x)cosyy＇=[(1/x)cosy]/(1+sinylnx)⑶方程对x求导：2siny+y＇2xcosy=(2xy-x2y＇)/y2y＇=2(xy–y2siny)/(x2+2xy2cosy)⑷方程对x求导：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)⑸方程对x求导：1/x+y＇ey=2yy＇，y＇=1/x(2y-ey)⑹方程对x求导：2yy＇=exsiny+y＇excosyy＇=exsiny/(2y-excosy)⑺方程对x求导：y＇ey=ex-3y2y＇，y＇=ex/ey+3y2⑻方程对x求导：y＇=5xln5+y＇2yln2，y＇=5xln5/(1-2yln2)⒋求下列函数微分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⒌求下列函数二阶导数：⑴⑵⑶⑷（四）证明题设是可导奇函数，试证是偶函数．证明：由f(x)=-f(-x)求导f＇(x)=-f＇(-x)(-x)＇f＇(x)=f＇(-x)，∴f＇(x)是偶函数高等数学基本第三次作业第4章导数应用（一）单项选取题⒈若函数满足条件（D），则存在，使得．A.在内持续B.在内可导C.在内持续且可导D.在内持续，在内可导⒉函数单调增长区间是（D）．A.B.C.D.⒊函数在区间内满足（A）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升⒋函数满足点，一定是（C）．A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点⒌设在内有持续二阶导数，，若满足（C），则在取到极小值．A.B.C.D.⒍设在内有持续二阶导数，且，则在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸B.单调减少且是凹C.单调增长且是凸D.单调增长且是凹⒎设函数在点处获得极大值，则（）．A.B.C.D.（二）填空题⒈设在内可导，，且当时，当时，则是极小值点．⒉若函数在点可导，且是极值点，则0．⒊函数单调减少区间是(-∞，0)．⒋函数单调增长区间是(0，+∞)．⒌若函数在内恒有，则在上最大值是f(a)．⒍函数拐点是x=0．⒎若点是函数拐点，则，．（三）计算题⒈求函数单调区间和极值．解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y＇=0求得驻点x=1，5.列表x(-∞，1)1(1，5)5(5，+∞)y＇+0—0+y↑Ymax=32↓Ymin=0↑(-∞，1)和(5，+∞)为单调增区间，(1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。⒉求函数在区间内极值点，并求最大值和最小值．解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。x0(0，1)1(1，3)3y＇--0+y3↓2↑6⒊试拟定函数中，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点．⒋求曲线上点，使其到点距离最短．解：曲线y2=2x上点(x，y)到点A(2，0)距离d2=x2-2x+4，(d2)＇=2x-2，由(d2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：⒌圆柱体上底中心到下底边沿距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体体积最大？解右图为圆柱体截面，由图可得R2=L2-H2圆柱体体积V=πR2H=π(L2-H2)HV＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得，此时，圆柱体体积最大。⒍一体积为V圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：圆柱体表面积S=2πR2+2πRH由体积V=πR2H解得H=V/πR2∴S=2πR2+2V/RS＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2由S＇=0解得，此时答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。⒎欲做一种底为正方形，容积为62.5立方米长方体开口容器，如何做法用料最省？解：设长方体底面边长为a高为h表面积S=a2+4ah∵a2h=62.5，∴h=62.5/a2S=a2+250/a，S＇=2a-250/a2=(2a3–250)/a由S＇=0解得a=5m，h=2.5m，此时S=75m2⒏从面积为所有矩形中，求其周长最小者．⒐从周长为所有矩形中，求其面积最大者．（四）证明题⒈当时，证明不等式．证明：令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0∴当x＞0时f(x)＞0，即x＞ln(1+x)⒉当时，证明不等式．证明：令f(x)=ex/(x+1)，f＇(x)=[ex(x+1)-ex]/(x+1)2=xex/(x+1)2当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1∴当x＞0时f(x)＞1，即ex＞x+1高等数学基本第四次作业第5章不定积分第6章定积分及其应用（一）单项选取题⒈若一种原函数是，则（D）．A.B.C.D.⒉下列等式成立是（D）．A.B.C.D.⒊若，则（B）．A.B.C.D.⒋（D）．A.B.C.D.⒌若，则（B）．A.B.C.D.⒍由区间上两条光滑曲线和以及两条直线和所围成平面区域面积是（）．A.B.C.D.⒎下列无穷限积分收敛是（D）．A.B.C.