2023年广东省汕尾市高一年级下册学期期末数学试题（含解析答案）

汕尾市2023-2022学年度第二学期全市高中一年级教学质量监测

数学

本真题共4页，考试时间120分钟，总分值150分

考前须知：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、精确，将精确粘贴在粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题地域内作答，超出答题地域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修

正带、刮纸刀.考试结束后，请将本真题及答题卡交回.

一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪

一项符合题目要求的.

1.已知集合/=卜|》之—|},5={xeZ|x2<1},则408=（）

「3-

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.--,1

（答案）B

（解析）

（分析）求出集合B,然后进行交集的运算即可.

3

（详解）A={x\x...--},5={xeZ|-l„x„1}={-1,0,1},

.・•/n8={0,1}.

应选：B.

2.已知实数b满足。<b,则以下关系式肯定成立的是（）

A.a1<b2B.ln（Z>-a）>0C.D.2a<2h

ab

（答案）D

（解析）

（分析）A、B、C三个选项只需要举出反例即可判定，D选项结合函数夕=2、的单调性即可推断.

（详解）A：当。=-3/=2满足但是/=9,〃=4,所以片>〃，故A错误；

31,,

B：当a=1,6=—满足a<b,但是a-b=—,所以In（b-a）<0,故B错误；

22

C：当a=-3,b=2满足,但是，=-：，=1,所以•！<:,故C错误；

a3b2ab

D：因为函数y=2*在7?上单调递增，且。<b,所以2"<2J故D正确，

应选：D.

3.已知口=M=1，向量£与区的夹角为60°,贝43%—4神=（）

A.5B.V19C.372D.历

（答案）D

（解析）

【分析）由己知先求出【秘，然后依据RZ—4/=/9同一24£%+16忸『，代值即可求解.

（详解）..•口=M=1,向量％与办的夹角为60°

J.a-h-1«|忖cos60°=—

；•旧-叫=J（31甸2=247B+16用=V9-12+16=V13

应选：D.

4.假设棱长为2夜的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的外表积为（）.

A.12兀B.24兀C.36兀D.144TI

（答案）B

（解析）

（分析）由于正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，从而求出体对角线，可得球的直径，进而可

求出球的外表积

（详解）解：设正方体外接球的半径为R,则由题意可得

（2火）2=3x（20y,得4R2=3X（20>=24,

所以球的外表积为4万火2=24万,

应选：B

5.在口Z8C中，已知/C=l,8C=Ji,8=工，则角。为（）

6

兀71

A.-B.一C、或仁D.1或1

24

（答案）C

（解析）

（分析）直接利用正弦定理即可得出答案.

（详解）解：在口/6。中，已知NC=1,8C=出,8=工

6

iACBC

因为二一-=-——

sinBsmA

Aj_

所以..BC-sinBVJX2G,

sin/=----=-----=——

AC12

所以/=3或4，

所以C=工或

26

应选：C.

+sina=,则cos［二2兀-+a］的值是（

6.已知cos|a——

I653

442732V3

A.----B.-C.

55r"I-

（答案）A

（解析）

（分析）使用整体处理以及两角和与差得公式解决问题.

.（兀）,4G

（详解）由cos|a——+sina=----得:

65

cosacos工+sinasin四+sina=3cosa+%na=Gcos但-a］=迪,

6622{3}5

7.如图，已矢口在=2加，贝I丽=（）

B

A.-OA--OBB.--OA+-OB

2222

1—3—

C.-OA+-OBD.——OA——OB

2222

（答案）B

（解析）

（分析）利用向量的加法和数乘运算法则，取万，砺为基底，通过运算，即可得答案;

—,—.—,—.3—►—►—►—►—►—►

（详解）・.•OP=OA+AP=OA+3AB=04+3BP=OA+3(OP-OB),

OP=--OA+-OB,

22

应选：B.

7T

8.一纸片上绘有函数/（x）=JIsin(OX——（6>>0）一个周期的图像，现将该纸片沿X轴折成直二面

4

角，原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离为2J2,假设方程/（x）=-1在区间（0,。）上有两

个实根，则实数。的取值范围是（）

A.(4,7)B.(4,7]C.[4,7)D.[4,7]

（答案）B

（解析）

（分析）由原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离得出口，再由正弦函数的性质得出实数。

的取值范围.

124

（详解）原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离为(扬2+I+(扬2=2万

2CD

7171

:.(o=g故/(x)=V^sin—X----

24

方程/（X）=—1在区间（0,。）上有两个实根，即缶由生―7=-1有2个解,

7万an兀-137_

——<----------<——，贝ij4<aW7,

4244

二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分.

9.下面是关于复数2=二一的四个命题，其中真命题为（）

-1+1

A.z?=2iB.|z|=2

C.z的虚部为一1D.z的共轨复数为1+i

（答案）AC

（解析）

（分析）利用复数的四则运算即可求解.

2

二］

（详解）Z=---------

-1+Z

所以z2=(—1—i)2=2i,故A正确;

回=及，故B错误；

z的虚部为-1,故C正确；

z的共粗复数为-1+i,故D错误.

应选：AC

10.已知a,〃是两条不同的直线，a,一是两个不同的平面，则以下说法正确的选项是（）

A.假设a/R,mua,nu。,则加〃“B.假设加_La,mlln,nA.J3,则a///?

C.假设a，加ua,nu0,则加_L〃D.假设〃?_La,相〃”，〃///7,则aJ_£

（答案）BD

（解析）

（分析）A选项，C选项依据面面平行，面面垂直关系很简单找到反例，B选项理解成法向量简单证明,

D选项利用线面平行的性质定理，面面垂直的判定定理证明.

（详解）A选项，两个平行平面内的两条直线，可能平行，或者异面，A选项错误；B选项，加la,

C0,可理解直线如〃对应的方向向量也〃可看作a,£的法向量，由于蓝〃兀又。，仅是两个不同

的平面，则a///?,故B选项正确；两个面垂直，那么在一个面内垂直于两个面交线的直线才垂直另一个

面，从选项中无法推断加，〃和交线的位置关系，因此朋，〃可能相交但不垂直，平行，异面但不垂直，C选

项错误；D选项，假设用u^,又掰J_a,依据面面垂直的判定，即有假设加也夕,由于

mlln,nll/3,则加□£,过加任作一个面，使其和仅相交于直线c,依据线面平行的性质定理，

加口c,又〃?_La则cla,结合cu〃，即a_L£,故D选项正确.

应选：BD.

11.正四棱台48CD-48CQ中，上底面4为。|"的边长为2,下底面N8CZ）的边长为4,棱台高为1,

则（）

A.该四棱台的侧棱长为有B.与8C所成角的余弦值为:

ITTT

C.与面48co所成的角大小为一D.二面角/—6C—4的大小为一

44

（答案）BD

（解析）

（分析）连接NC,作GN，平面/8CQ,由线面垂直的判定定理可得8cl平面GM0,得到

BCJLNM,求出G"可推断A；BCHAD,所以与3c所成角即为与/。所成的角，即

为所求，求出可推断B；NG。可即为CG与面N8CD所成的角，

由求出tanNC\CN可推断c；由BCJ.平面C{NM得出AC,MN即为平面BCCR与平面ABCD所成的

角，求出NqWN,依据正四棱台/8CQ-44Gq的四个侧面与底面所成的角相等，可推断D.

（详解）对于A,连接ZC,作CN_L平面/BCD,C、N=',因为/8CD-44G2为正四棱台，

则N在力。上，作8c交3C于M点，连接NM,因为£N，8C,所以

8C1平面NMu平面C]NM,所以8CJ.NM,

因为上底面44G2的边长为2,下底面/BCD的边长为4,所以CN=1,由/4。0=45°，所以

NM=1,C、M=6,故A错误；

对于B,因为3C〃4O,所以力4与6c所成角即为N4与/。所成的角，即乙4/。为所求，因为正四

棱台ABCDfCR的四个侧面为全等的等腰梯形，所以^AXAD=ZC.C5,

由。0=1,G"=&得GC2=CM2+MC2=3,所以4%与6c所成角的余弦值为1,故B正确；

对于C,因为GN_L平面/8C0,所以NGCN即为CG与面Z8CO所成的角，

由CA/=1,"N=l得OV=&，由GN=1得tanN£CN=V?=9wl，

7T

所以NGCNH^，因为/BCD-48cA为正四棱台，所以与面Z8CO所成的角与CG与面Z8CQ

所成的角相等，故C错误；

对于D,依据A选项，8C,平面GM0，所以NG"N即为平面8CG4与平面所成的角，且

MN=C]N=1,所以NGA/N=因为正四棱台的四个侧面与底面所成的角相等，二

JT

面角/—8C一4的大小为:，故D正确.

12.在口48。中，A,B,C的对边分别为a,b,c,R为LM8C外接圆的半径，LM8C的面积记为5“叱

,则以下命题正确的选项是（）

A.sin〃<sin8的充要条件是/<8

B.假设acos8-bcos/=c,则口/8C是直角三角形

C.假设b=3,〃=60。，51/死=36,则尺=半

IT

D.不存在口28。，满足a=5,b=10,/=—同时成立

4

（答案）ABD

（解析）

（分析）依据正弦定理边角互化即可推断A,B,依据三角形面积公式可求c=4,进而由余弦定理可求。，最

后由正弦定理可求外接圆半径，假设存在，依据正弦定理得到矛盾可求D.

（详解）在口48。中，由正弦定理可得：sin/<sinBoa<b<=>/<8,故A正确.

acosB-hcos/=cnsin4cos5-sin5cos/=sinC=>sin(/-5)=sinCn4-3=C或者

A—B+C=TI（不符合内角和，故舍去），因此4=8+C,又/+8+。=兀,

TC

A=—,故B正确.

2

由SARC-3G=』besinA=—x3x^-c=>c=4，由余弦定理可得:

222

a=yjb2+c2-2bccosA=^32+42-2x3x4x；=y/l3,

1a1V13V39

R---------——x------=------

因此2sin/2V33，故C错误.

T

1072

假设存在口Z8C,满足a=5,6=10,/=£同时成立，则.cbsin/2尻，矛盾，

4smB=--------=--------=<2>1

a5

7T

故不存在口N8C,满足a=5,6=10,4=:同时成立，故D正确.

4

应选:ABD

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分

13.已知向量a=（2,3）,b=（A,4）,假设a//B，则/=.

8c2

（答案）一2二

33

（解析）

（分析）依据向量平行的坐标公式求解即可

Q

（详解）由题意，2x4—34=0,解得4二一

3

Q

故答案为：一

3

[lgx,x>0（<1

14.已知函数/（x）={,则//—=_______.

[2A,x<01UOJJ

（答案）Jo.5

（解析）

(分析)分段函数解析式的正确使用，可迅速解决.

lgx,x>0

(详解)由/(%)=：八，得:

29x<0

小愠卜/尾卜，(T)=⑵"4

故答案为：;.

JT

15.已知函数/(x)=cos(4x+e)(owR),将y=/(x)图象上全部点向右平移一个单位，得到奇函数

6

»=g(x)的图象，则常数"的一个取值为一.

7171

(答案)一(满足9=一+%兀浦£2都正确)

66

(解析)

(分析)利用函数图象平移规则，得出g(x)的解析式，再依据奇函数的定义求出。的可能取值即可.

jr

(详解)将/(x)=cos(4x+。)图象上全部点向右平移一个单位，得:

Xvg(x)为奇函数,

—4x———卜（p=R-4xH———（p+2klt,kGZ,

兀

解得：（p=—+kjt、keZ,

6

7T

常数。的一个取值为

6

irir

故答案为：—（满足e=：+都正确）.

66

16.在平面四边形/8C。中，ABVAD,AB=6,AD=8,JC=18,AC交BD于点、0,假设

CA=mCB+[5—m）00,则的值为,0D的长为.

,14

（答案）①.—0.5；②.—2.8.

（解析）

（分析）设函=彳0，则的2wC5+/l|-wCD,利用。、0、8三点共线即可求出之，进而得

An

到一上的值；再在△Z。。中，分别求出ZO以及C0SN/D8的值，再利用余弦定理求出0。的长.

0C

（详解）依题意，如下图，

|一〃？jCD,

设函=20，则co=x|加C8+=AmCB+A,

Q。、0、8三点共线，，/1加+4(|—=解得：/1=|,

...函二京,的二土经」，

3OCC02

又/C=18,.,.NO=LC=L18=6,

33

,---------------,…4。84

,/BD=\JAB2+AD2=101cosN4DB=——.

AD1+DO1-AO164+。。2—364

在△Z。。中，由余弦定理得:cosZADB=

2ADD02x8xD(7-5

解得：。。=不或。0=10（舍），.・.OQ=《.

i14

故答案为：不；—.

5

四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在平而直角坐标系xQy中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为『和1,04=7+2；,

05=27-4).

（1）求向量方与瓦夹角的余弦值;

（2）假设点P是线段的中点，且向量而与力+左方垂直，求实数上的值.

3

（答案）（1）0—

⑵,

14

（解析）

（分析）（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；

（2）由向量而与方+左方的数量积为0可求得左.

（小问1详解）

___UH4

由已知得场=(1,2),08=(2,—4),

所以：方.法=lx2-2x4=-6,|a|=#+22=',阿82+(—4)2=2后,

UUULU

OAOB-63

=-

所以所求余弦值为O少A0乎B=<.5x207/557.

（小问2详解）

ULIuuuLLU（3、

因为。4+女08=（1+2左,2—4左），0P=-,-1,而向量而与向量有方+左砺垂直，

所以（况+左砺）•丽=0,所以^（1+2左）一（2—4左）=0.所以％=得

18.已知函数/（刀）=65m助；以）55：—以万20%+；,其中①〉0,毛，&是函数/（X）的两个零点，且

%-Xz|的最小值为

（1）求使/（x）取得最大值时自变量X的集合，并求/（制的最大值；

⑵求/（x）的单调递增区间.

（答案）（1）自变量的集合为：[x[x=]+E,kez},/（x）的最大值为1

、兀，兀71-7

（2）hkn，—Fku，%EZ

_63

（解析）

jr

（分析）（1）依据二倍角公式以及辅助角公式可化简/（x）=sin（2/x-:），依据题意可得周期，进而可

求/(X)的解析式，进而可求最值和自变量的值.

(2)整体代入法求单调增区间.

(小问1详解)

f(x)-V3sincoxcoscox-cos2a)x+—-——sin2cox——cos2a)x-sin(2dyx--)，

2226

由再，z是函数/(x)的两个零点，且归一到的最小值为5可知：/(X)的周期为T=2><5=7r,故

27rTF7T7T71

2a)=—=2=>刃=1,因此/(%)=$111(2%——),令2x——=—+2%兀=x=—+左兀，故自变量的集合

T'6623

为：{x|x=g+E,左wz},/(x)的最大值为1

(小问2详解)

TTTT冗7T7T

令——+2%兀<2x——<—+2阮=>——+—+%兀，故/J)的单调递增区间为

26263

7177t7.—

---1■既，一+E，KGZ

L63J

19.如图，是圆。的直径，点。是圆。上异于A,8的点，直线PCI平面Z8C,E,F分别是线

段上4,PC的中点.

(1)证明：平面平面尸8C；

(2)记平面6E/与平面N8C的交线为/,试推断直线所与直线/的位置关系，并说明理由.

(答案)(1)证明见解析；(2)EFHI,理由见解析.

(解析)

(分析)(1)推导出NC1PC,AC1BC,/C_L平面P8C,从而EF〃AC,进而Eb_L平面P8C

,由此能证明平面8£E_L平面P3C.

(2)推导出跖〃4C,EF//平面4BC,依据线面平行的性质，即能证明瓦7〃.

(详解)解：(1)因为PC_L平面/8C,4Cu平面N3C,

所以NCJ_PC.

因为C是以为直径的圆。上的点,

所以4C_L8C.

又PCcBC=C,

所以/C，平面P8C.

因为E，E分别是尸〃，PC的中点，

所以EF〃4c.

所以EF_L平面尸8C.

又EFu平面BEF,故平面8Eb_L平面尸8C.

（2）EF//1.

证明如下：由（1）,瓦7/4C.又/Cu平面/8C,EE仁平面48C,

所以EE〃平面/8C.

又EFu平面BEF,平面5EEI平面48C=/,

所以EF〃l.

20.设a,b,c分别为口48。三个内角4B,C的对边，已知bsinZ=acos（B-看）.

（1）求角以

（2）假设6=6,且sin8+sin（C-N）=2sin2N,求边c.

71

（答案）（1）一；

3

（2）当/=一时'c—2\/3;当Nw一时，，c=4\/3-

22

（解析）

（分析）（1）依据正弦定理一吼=一2一,将已知条件转化为asin8=acos（B-^\,再利用三角恒

sm力sin5\6y

等变换公式求出tan8=G，依据角5的取值范围求出角8；

(2)依据三角形内角和定理，将sin8+sin(C-Z)=2sin24化简为cosZsinC=2sinZcosZ,对

cos/的取值情况进行商量，再由正弦定理和余弦定理进行求解即可.

(小问1详解)

在口/8C中，由/一=-^,可得asin8=6sinZ.

sinAsinB

又由bsin/=QCOS(8—看;得asinB=QCOS/-£),

z.sin5=cosf5-y,sin5=—cos5+—sin5，

I22

/.tan5=73，又♦:0<8<兀，，5=］；

(小问2详解)

在口力8。中，/+8+。=兀，.•.sin5=sin(/+C)

sinB+sin(C-4)=sin(4+C)+sin(C-A)

=sinAcosC+cos/sinC+sinCcosA-cosCsinA

=2cos4sinC=2sin2A

二.cos^sinC=2sin4cos4.

假设cos4=0,即/=乌时，c=—^=2g；

2tan5

兀

假设COS/HO,即Z*一时，sinC=2sinZ,由正弦定理可知c=2a,

2

兀

由6?=/+M-2accos5及B=§可得，

a2+c2-b2=ac，

又b=6,c=2a,c=4v5，

综上，当/=5时，c=2V3；当力时，C=4>/3.

21.在直三棱柱/8C-4AG中，。，E分别是8G的中点，44=2,AC=BC=1,

AB=C，DC、上BD.

[1]求证：&E〃平面C/D；

[2]求点4到平面C&D的距离.

（答案）（1）见解析（2）巫

6

（解析）

（分析）（1）连接与。交于点尸，连接。由中位线定理以及平行四边形的性质证明

A.E//DF,再由线面平行的判定证明即可；

（2）由等体积法得出点同到平面C1BD的距离.

（小问1详解）

连接5.C交8G于点F,连接DF,EF,

・••4尸分别是片G，8G的中点，

：.EFHBB{,EF=\,

AXD//BB,,AXD=\,EF//A、D,EF=AQ,

即四边形4。依是平行四边形，A{EHDF,

♦.•/田仁平面。/。，。/（=平面。田。，

4E〃平面G8。；

（小问2详解）

设点4到平面C]BD的距离为d,

:CC[±平面ABC,■■BC1CC{,

-：AC2+BC2=AB2，：.ACLBC,

•:C\D=0BD=#）,且DCX1BD,^,-SC,D=%A©D

—5A