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文档简介
汕尾市2023-2022学年度第二学期全市高中一年级教学质量监测
数学
本真题共4页,考试时间120分钟,总分值150分
考前须知:
1.答题前,考生先将自己的信息填写清楚、精确,将精确粘贴在粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题地域内作答,超出答题地域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不得使用涂改液、修
正带、刮纸刀.考试结束后,请将本真题及答题卡交回.
一、选择题:此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪
一项符合题目要求的.
1.已知集合/=卜|》之—|},5={xeZ|x2<1},则408=()
「3-
A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.--,1
(答案)B
(解析)
(分析)求出集合B,然后进行交集的运算即可.
3
(详解)A={x\x...--},5={xeZ|-l„x„1}={-1,0,1},
.・•/n8={0,1}.
应选:B.
2.已知实数b满足。<b,则以下关系式肯定成立的是()
A.a1<b2B.ln(Z>-a)>0C.D.2a<2h
ab
(答案)D
(解析)
(分析)A、B、C三个选项只需要举出反例即可判定,D选项结合函数夕=2、的单调性即可推断.
(详解)A:当。=-3/=2满足但是/=9,〃=4,所以片>〃,故A错误;
31,,
B:当a=1,6=—满足a<b,但是a-b=—,所以In(b-a)<0,故B错误;
22
C:当a=-3,b=2满足,但是,=-:,=1,所以•!<:,故C错误;
a3b2ab
D:因为函数y=2*在7?上单调递增,且。<b,所以2"<2J故D正确,
应选:D.
3.已知口=M=1,向量£与区的夹角为60°,贝43%—4神=()
A.5B.V19C.372D.历
(答案)D
(解析)
【分析)由己知先求出【秘,然后依据RZ—4/=/9同一24£%+16忸『,代值即可求解.
(详解)..•口=M=1,向量%与办的夹角为60°
J.a-h-1«|忖cos60°=—
;•旧-叫=J(31甸2=247B+16用=V9-12+16=V13
应选:D.
4.假设棱长为2夜的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的外表积为().
A.12兀B.24兀C.36兀D.144TI
(答案)B
(解析)
(分析)由于正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线,从而求出体对角线,可得球的直径,进而可
求出球的外表积
(详解)解:设正方体外接球的半径为R,则由题意可得
(2火)2=3x(20y,得4R2=3X(20>=24,
所以球的外表积为4万火2=24万,
应选:B
5.在口Z8C中,已知/C=l,8C=Ji,8=工,则角。为()
6
兀71
A.-B.一C、或仁D.1或1
24
(答案)C
(解析)
(分析)直接利用正弦定理即可得出答案.
(详解)解:在口/6。中,已知NC=1,8C=出,8=工
6
iACBC
因为二一-=-——
sinBsmA
Aj_
所以..BC-sinBVJX2G,
sin/=----=-----=——
AC12
所以/=3或4,
所以C=工或
26
应选:C.
+sina=,则cos[二2兀-+a]的值是(
6.已知cos|a——
I653
442732V3
A.----B.-C.
55r"I-
(答案)A
(解析)
(分析)使用整体处理以及两角和与差得公式解决问题.
.(兀),4G
(详解)由cos|a——+sina=----得:
65
cosacos工+sinasin四+sina=3cosa+%na=Gcos但-a]=迪,
6622{3}5
7.如图,已矢口在=2加,贝I丽=()
B
A.-OA--OBB.--OA+-OB
2222
1—3—
C.-OA+-OBD.——OA——OB
2222
(答案)B
(解析)
(分析)利用向量的加法和数乘运算法则,取万,砺为基底,通过运算,即可得答案;
—,—.—,—.3—►—►—►—►—►—►
(详解)・.•OP=OA+AP=OA+3AB=04+3BP=OA+3(OP-OB),
OP=--OA+-OB,
22
应选:B.
7T
8.一纸片上绘有函数/(x)=JIsin(OX——(6>>0)一个周期的图像,现将该纸片沿X轴折成直二面
4
角,原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离为2J2,假设方程/(x)=-1在区间(0,。)上有两
个实根,则实数。的取值范围是()
A.(4,7)B.(4,7]C.[4,7)D.[4,7]
(答案)B
(解析)
(分析)由原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离得出口,再由正弦函数的性质得出实数。
的取值范围.
124
(详解)原图像上相邻的最gao点和最di点此时的空间距离为(扬2+I+(扬2=2万
2CD
7171
:.(o=g故/(x)=V^sin—X----
24
方程/(X)=—1在区间(0,。)上有两个实根,即缶由生―7=-1有2个解,
7万an兀-137_
——<----------<——,贝ij4<aW7,
4244
二、选择题:此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得5分,局部选对的得2分,有选错的得。分.
9.下面是关于复数2=二一的四个命题,其中真命题为()
-1+1
A.z?=2iB.|z|=2
C.z的虚部为一1D.z的共轨复数为1+i
(答案)AC
(解析)
(分析)利用复数的四则运算即可求解.
2
二]
(详解)Z=---------
-1+Z
所以z2=(—1—i)2=2i,故A正确;
回=及,故B错误;
z的虚部为-1,故C正确;
z的共粗复数为-1+i,故D错误.
应选:AC
10.已知a,〃是两条不同的直线,a,一是两个不同的平面,则以下说法正确的选项是()
A.假设a/R,mua,nu。,则加〃“B.假设加_La,mlln,nA.J3,则a///?
C.假设a,加ua,nu0,则加_L〃D.假设〃?_La,相〃”,〃///7,则aJ_£
(答案)BD
(解析)
(分析)A选项,C选项依据面面平行,面面垂直关系很简单找到反例,B选项理解成法向量简单证明,
D选项利用线面平行的性质定理,面面垂直的判定定理证明.
(详解)A选项,两个平行平面内的两条直线,可能平行,或者异面,A选项错误;B选项,加la,
C0,可理解直线如〃对应的方向向量也〃可看作a,£的法向量,由于蓝〃兀又。,仅是两个不同
的平面,则a///?,故B选项正确;两个面垂直,那么在一个面内垂直于两个面交线的直线才垂直另一个
面,从选项中无法推断加,〃和交线的位置关系,因此朋,〃可能相交但不垂直,平行,异面但不垂直,C选
项错误;D选项,假设用u^,又掰J_a,依据面面垂直的判定,即有假设加也夕,由于
mlln,nll/3,则加□£,过加任作一个面,使其和仅相交于直线c,依据线面平行的性质定理,
加口c,又〃?_La则cla,结合cu〃,即a_L£,故D选项正确.
应选:BD.
11.正四棱台48CD-48CQ中,上底面4为。|"的边长为2,下底面N8CZ)的边长为4,棱台高为1,
则()
A.该四棱台的侧棱长为有B.与8C所成角的余弦值为:
ITTT
C.与面48co所成的角大小为一D.二面角/—6C—4的大小为一
44
(答案)BD
(解析)
(分析)连接NC,作GN,平面/8CQ,由线面垂直的判定定理可得8cl平面GM0,得到
BCJLNM,求出G"可推断A;BCHAD,所以与3c所成角即为与/。所成的角,即
为所求,求出可推断B;NG。可即为CG与面N8CD所成的角,
由求出tanNC\CN可推断c;由BCJ.平面C{NM得出AC,MN即为平面BCCR与平面ABCD所成的
角,求出NqWN,依据正四棱台/8CQ-44Gq的四个侧面与底面所成的角相等,可推断D.
(详解)对于A,连接ZC,作CN_L平面/BCD,C、N=',因为/8CD-44G2为正四棱台,
则N在力。上,作8c交3C于M点,连接NM,因为£N,8C,所以
8C1平面NMu平面C]NM,所以8CJ.NM,
因为上底面44G2的边长为2,下底面/BCD的边长为4,所以CN=1,由/4。0=45°,所以
NM=1,C、M=6,故A错误;
对于B,因为3C〃4O,所以力4与6c所成角即为N4与/。所成的角,即乙4/。为所求,因为正四
棱台ABCDfCR的四个侧面为全等的等腰梯形,所以^AXAD=ZC.C5,
由。0=1,G"=&得GC2=CM2+MC2=3,所以4%与6c所成角的余弦值为1,故B正确;
对于C,因为GN_L平面/8C0,所以NGCN即为CG与面Z8CO所成的角,
由CA/=1,"N=l得OV=&,由GN=1得tanN£CN=V?=9wl,
7T
所以NGCNH^,因为/BCD-48cA为正四棱台,所以与面Z8CO所成的角与CG与面Z8CQ
所成的角相等,故C错误;
对于D,依据A选项,8C,平面GM0,所以NG"N即为平面8CG4与平面所成的角,且
MN=C]N=1,所以NGA/N=因为正四棱台的四个侧面与底面所成的角相等,二
JT
面角/—8C一4的大小为:,故D正确.
12.在口48。中,A,B,C的对边分别为a,b,c,R为LM8C外接圆的半径,LM8C的面积记为5“叱
,则以下命题正确的选项是()
A.sin〃<sin8的充要条件是/<8
B.假设acos8-bcos/=c,则口/8C是直角三角形
C.假设b=3,〃=60。,51/死=36,则尺=半
IT
D.不存在口28。,满足a=5,b=10,/=—同时成立
4
(答案)ABD
(解析)
(分析)依据正弦定理边角互化即可推断A,B,依据三角形面积公式可求c=4,进而由余弦定理可求。,最
后由正弦定理可求外接圆半径,假设存在,依据正弦定理得到矛盾可求D.
(详解)在口48。中,由正弦定理可得:sin/<sinBoa<b<=>/<8,故A正确.
acosB-hcos/=cnsin4cos5-sin5cos/=sinC=>sin(/-5)=sinCn4-3=C或者
A—B+C=TI(不符合内角和,故舍去),因此4=8+C,又/+8+。=兀,
TC
A=—,故B正确.
2
由SARC-3G=』besinA=—x3x^-c=>c=4,由余弦定理可得:
222
a=yjb2+c2-2bccosA=^32+42-2x3x4x;=y/l3,
1a1V13V39
R---------——x------=------
因此2sin/2V33,故C错误.
T
1072
假设存在口Z8C,满足a=5,6=10,/=£同时成立,则.cbsin/2尻,矛盾,
4smB=--------=--------=<2>1
a5
7T
故不存在口N8C,满足a=5,6=10,4=:同时成立,故D正确.
4
应选:ABD
三、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分
13.已知向量a=(2,3),b=(A,4),假设a//B,则/=.
8c2
(答案)一2二
33
(解析)
(分析)依据向量平行的坐标公式求解即可
Q
(详解)由题意,2x4—34=0,解得4二一
3
Q
故答案为:一
3
[lgx,x>0(<1
14.已知函数/(x)={,则//—=_______.
[2A,x<01UOJJ
(答案)Jo.5
(解析)
(分析)分段函数解析式的正确使用,可迅速解决.
lgx,x>0
(详解)由/(%)=:八,得:
29x<0
小愠卜/尾卜,(T)=⑵"4
故答案为:;.
JT
15.已知函数/(x)=cos(4x+e)(owR),将y=/(x)图象上全部点向右平移一个单位,得到奇函数
6
»=g(x)的图象,则常数"的一个取值为一.
7171
(答案)一(满足9=一+%兀浦£2都正确)
66
(解析)
(分析)利用函数图象平移规则,得出g(x)的解析式,再依据奇函数的定义求出。的可能取值即可.
jr
(详解)将/(x)=cos(4x+。)图象上全部点向右平移一个单位,得:
Xvg(x)为奇函数,
—4x———卜(p=R-4xH———(p+2klt,kGZ,
兀
解得:(p=—+kjt、keZ,
6
7T
常数。的一个取值为
6
irir
故答案为:—(满足e=:+都正确).
66
16.在平面四边形/8C。中,ABVAD,AB=6,AD=8,JC=18,AC交BD于点、0,假设
CA=mCB+[5—m)00,则的值为,0D的长为.
,14
(答案)①.—0.5;②.—2.8.
(解析)
(分析)设函=彳0,则的2wC5+/l|-wCD,利用。、0、8三点共线即可求出之,进而得
An
到一上的值;再在△Z。。中,分别求出ZO以及C0SN/D8的值,再利用余弦定理求出0。的长.
0C
(详解)依题意,如下图,
|一〃?jCD,
设函=20,则co=x|加C8+=AmCB+A,
Q。、0、8三点共线,,/1加+4(|—=解得:/1=|,
...函二京,的二土经」,
3OCC02
又/C=18,.,.NO=LC=L18=6,
33
,---------------,…4。84
,/BD=\JAB2+AD2=101cosN4DB=——.
AD1+DO1-AO164+。。2—364
在△Z。。中,由余弦定理得:cosZADB=
2ADD02x8xD(7-5
解得:。。=不或。0=10(舍),.・.OQ=《.
i14
故答案为:不;—.
5
四、解答题:此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在平而直角坐标系xQy中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为『和1,04=7+2;,
05=27-4).
(1)求向量方与瓦夹角的余弦值;
(2)假设点P是线段的中点,且向量而与力+左方垂直,求实数上的值.
3
(答案)(1)0—
⑵,
14
(解析)
(分析)(1)用坐标表示向量,然后由数量积的定义求得夹角余弦值;
(2)由向量而与方+左方的数量积为0可求得左.
(小问1详解)
___UH4
由已知得场=(1,2),08=(2,—4),
所以:方.法=lx2-2x4=-6,|a|=#+22=',阿82+(—4)2=2后,
UUULU
OAOB-63
=-
所以所求余弦值为O少A0乎B=<.5x207/557.
(小问2详解)
ULIuuuLLU(3、
因为。4+女08=(1+2左,2—4左),0P=-,-1,而向量而与向量有方+左砺垂直,
所以(况+左砺)•丽=0,所以^(1+2左)一(2—4左)=0.所以%=得
18.已知函数/(刀)=65m助;以)55:—以万20%+;,其中①〉0,毛,&是函数/(X)的两个零点,且
%-Xz|的最小值为
(1)求使/(x)取得最大值时自变量X的集合,并求/(制的最大值;
⑵求/(x)的单调递增区间.
(答案)(1)自变量的集合为:[x[x=]+E,kez},/(x)的最大值为1
、兀,兀71-7
(2)hkn,—Fku,%EZ
_63
(解析)
jr
(分析)(1)依据二倍角公式以及辅助角公式可化简/(x)=sin(2/x-:),依据题意可得周期,进而可
求/(X)的解析式,进而可求最值和自变量的值.
(2)整体代入法求单调增区间.
(小问1详解)
f(x)-V3sincoxcoscox-cos2a)x+—-——sin2cox——cos2a)x-sin(2dyx--),
2226
由再,z是函数/(x)的两个零点,且归一到的最小值为5可知:/(X)的周期为T=2><5=7r,故
27rTF7T7T71
2a)=—=2=>刃=1,因此/(%)=$111(2%——),令2x——=—+2%兀=x=—+左兀,故自变量的集合
T'6623
为:{x|x=g+E,左wz},/(x)的最大值为1
(小问2详解)
TTTT冗7T7T
令——+2%兀<2x——<—+2阮=>——+—+%兀,故/J)的单调递增区间为
26263
7177t7.—
---1■既,一+E,KGZ
L63J
19.如图,是圆。的直径,点。是圆。上异于A,8的点,直线PCI平面Z8C,E,F分别是线
段上4,PC的中点.
(1)证明:平面平面尸8C;
(2)记平面6E/与平面N8C的交线为/,试推断直线所与直线/的位置关系,并说明理由.
(答案)(1)证明见解析;(2)EFHI,理由见解析.
(解析)
(分析)(1)推导出NC1PC,AC1BC,/C_L平面P8C,从而EF〃AC,进而Eb_L平面P8C
,由此能证明平面8£E_L平面P3C.
(2)推导出跖〃4C,EF//平面4BC,依据线面平行的性质,即能证明瓦7〃.
(详解)解:(1)因为PC_L平面/8C,4Cu平面N3C,
所以NCJ_PC.
因为C是以为直径的圆。上的点,
所以4C_L8C.
又PCcBC=C,
所以/C,平面P8C.
因为E,E分别是尸〃,PC的中点,
所以EF〃4c.
所以EF_L平面尸8C.
又EFu平面BEF,故平面8Eb_L平面尸8C.
(2)EF//1.
证明如下:由(1),瓦7/4C.又/Cu平面/8C,EE仁平面48C,
所以EE〃平面/8C.
又EFu平面BEF,平面5EEI平面48C=/,
所以EF〃l.
20.设a,b,c分别为口48。三个内角4B,C的对边,已知bsinZ=acos(B-看).
(1)求角以
(2)假设6=6,且sin8+sin(C-N)=2sin2N,求边c.
71
(答案)(1)一;
3
(2)当/=一时'c—2\/3;当Nw一时,,c=4\/3-
22
(解析)
(分析)(1)依据正弦定理一吼=一2一,将已知条件转化为asin8=acos(B-^\,再利用三角恒
sm力sin5\6y
等变换公式求出tan8=G,依据角5的取值范围求出角8;
(2)依据三角形内角和定理,将sin8+sin(C-Z)=2sin24化简为cosZsinC=2sinZcosZ,对
cos/的取值情况进行商量,再由正弦定理和余弦定理进行求解即可.
(小问1详解)
在口/8C中,由/一=-^,可得asin8=6sinZ.
sinAsinB
又由bsin/=QCOS(8—看;得asinB=QCOS/-£),
z.sin5=cosf5-y,sin5=—cos5+—sin5,
I22
/.tan5=73,又♦:0<8<兀,,5=];
(小问2详解)
在口力8。中,/+8+。=兀,.•.sin5=sin(/+C)
sinB+sin(C-4)=sin(4+C)+sin(C-A)
=sinAcosC+cos/sinC+sinCcosA-cosCsinA
=2cos4sinC=2sin2A
二.cos^sinC=2sin4cos4.
假设cos4=0,即/=乌时,c=—^=2g;
2tan5
兀
假设COS/HO,即Z*一时,sinC=2sinZ,由正弦定理可知c=2a,
2
兀
由6?=/+M-2accos5及B=§可得,
a2+c2-b2=ac,
又b=6,c=2a,c=4v5,
综上,当/=5时,c=2V3;当力时,C=4>/3.
21.在直三棱柱/8C-4AG中,。,E分别是8G的中点,44=2,AC=BC=1,
AB=C,DC、上BD.
[1]求证:&E〃平面C/D;
[2]求点4到平面C&D的距离.
(答案)(1)见解析(2)巫
6
(解析)
(分析)(1)连接与。交于点尸,连接。由中位线定理以及平行四边形的性质证明
A.E//DF,再由线面平行的判定证明即可;
(2)由等体积法得出点同到平面C1BD的距离.
(小问1详解)
连接5.C交8G于点F,连接DF,EF,
・••4尸分别是片G,8G的中点,
:.EFHBB{,EF=\,
AXD//BB,,AXD=\,EF//A、D,EF=AQ,
即四边形4。依是平行四边形,A{EHDF,
♦.•/田仁平面。/。,。/(=平面。田。,
4E〃平面G8。;
(小问2详解)
设点4到平面C]BD的距离为d,
:CC[±平面ABC,■■BC1CC{,
-:AC2+BC2=AB2,:.ACLBC,
•:C\D=0BD=#),且DCX1BD,^,-SC,D=%A©D
—5A
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